◎張府柱　杜　云　張文林

(六盤水師范學(xué)院，貴州　六盤水　553001)

地方新升本院校定位為應(yīng)用型本科院校時(shí)，這類學(xué)校在教育教學(xué)上基本模仿研究型大學(xué)辦學(xué).在教學(xué)過程中產(chǎn)生了諸多問題，例如，隨著實(shí)踐學(xué)分的增加，給理論教學(xué)在學(xué)時(shí)分配上提出了挑戰(zhàn)，以高等數(shù)學(xué)為例，升本前?？粕繉W(xué)期18周的上課時(shí)間，周學(xué)時(shí)達(dá)到6節(jié)，升本后的本科生每學(xué)期16周的理論授課時(shí)間，2周的實(shí)踐教學(xué)，高等數(shù)學(xué)的周學(xué)時(shí)一般是4學(xué)時(shí)，從108節(jié)減少到64節(jié)，反映出來的情況是理論掌握不好，計(jì)算能力薄弱，應(yīng)用能力較差，與應(yīng)用型的定位不相匹配.所以，在教學(xué)方法上要進(jìn)行相應(yīng)的改變.下面將以函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)為例，介紹一下我們的做法，以供同行參考交流.

用極限討論函數(shù)的分析性質(zhì)，連續(xù)性是第一個(gè).

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的高等數(shù)學(xué)第七版教材，是通過自然界中的一些連續(xù)的現(xiàn)象，如氣溫的變化、河水的流動(dòng)、植物的生長(zhǎng)等給學(xué)生一些連續(xù)的映象，然后分析變量的增量引入點(diǎn)連續(xù)的概念，然后介紹右、左連續(xù)的概念，很多教材基本上以它為藍(lán)本進(jìn)行編寫.而對(duì)地方新升本的應(yīng)用型本科學(xué)生來說，還是不能適應(yīng)，依然不知道連續(xù)性是什么？連續(xù)性有什么用處？

下面介紹一下我們的處理方式.

一、由觀察幾個(gè)函數(shù)圖形，在學(xué)生的腦海中產(chǎn)生直觀的函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的映象

提問：根據(jù)你們對(duì)“連續(xù)”的理解，說說下面幾條曲線的連續(xù)性.

學(xué)生都能說出圖1、圖2和圖3的曲線都不連續(xù)，圖4的曲線連續(xù).其實(shí)學(xué)生對(duì)連續(xù)的直觀映象是正確無誤的.

圖1　不連續(xù)

圖2　左連續(xù)

圖3　右連續(xù)

圖4　連續(xù)

提問：前三條曲線不連續(xù)，它們之間有什么區(qū)別？

第一條曲線在x0是斷開的，第二條曲線在x0處也是斷開的，但是，點(diǎn)(x0，f(x0))和左邊的曲線是連在一起的，教師引導(dǎo)學(xué)生這就是左連續(xù).這時(shí)，學(xué)生就能正確地回答圖3的曲線是右連續(xù)，圖4是連續(xù)的.

從這一問一答中，學(xué)生基本上對(duì)函數(shù)的連續(xù)性有了正確的直觀映象.

二、用語(yǔ)言來描述函數(shù)在一點(diǎn)的左連續(xù)、右連續(xù)和連續(xù)

先這樣啟發(fā)學(xué)生，設(shè)想一個(gè)人沿著曲線行走，不連續(xù)的曲線從左端能走到右端嗎？左連續(xù)、右連續(xù)和連續(xù)情況如何？學(xué)生基本上能回答：不連續(xù)的曲線從左端不能走到右端；左連續(xù)的曲線可以從左邊到達(dá)(x0，f(x0))點(diǎn)，右連續(xù)的曲線可以從右邊到達(dá)(x0，f(x0))點(diǎn)，連續(xù)的曲線可以從左端走到右端.通過這樣的設(shè)想，在啟發(fā)學(xué)生回憶一下函數(shù)極限，函數(shù)的連續(xù)性就與極限過程聯(lián)系起來，于是得到了下面的一些關(guān)系.

左連續(xù)?點(diǎn)(x0，f(x0))左邊的圖形連接起來?

右連續(xù)?點(diǎn)(x0，f(x0))把右邊的圖形連接起來?

到了這里，函數(shù)的連續(xù)性已經(jīng)在學(xué)生的腦海里基本建立起來了，而且三者之間的關(guān)系也被揭示出來了，連續(xù)?既左連續(xù)又右連續(xù).上述直觀定義還缺少嚴(yán)格性，我們需要附加一些條件才能得到嚴(yán)格的定義.

三、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性

那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).

其本質(zhì)就是極限值等于函數(shù)值，于是我們得到下面的等價(jià)定義.

定義1′函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)??ε>0，?δ>0，當(dāng)|x-x0|<δ時(shí)，有|f(x)-f(x0)|<ε.

提醒學(xué)生注意這個(gè)定義與極限的ε-δ定義的區(qū)別與聯(lián)系，并類比函數(shù)極限的幾何意義寫出函數(shù)連續(xù)性的幾何意義.

若記Δx=x-x0，稱為自變量x在點(diǎn)x0處的改變量(或增量)，函數(shù)對(duì)應(yīng)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，則有下面的等價(jià)定義.

這個(gè)定義可以很好地解釋動(dòng)物和植物的生長(zhǎng)是連續(xù)地變化著的，因?yàn)楫?dāng)自變量時(shí)間趨于無窮小時(shí)，因變量高度也趨于無窮小，所以我們看不到它們?cè)谕咛幧L(zhǎng).

類似地，我們可以定義單側(cè)連續(xù)以及單側(cè)連續(xù)與連續(xù)的關(guān)系.

四、函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)連續(xù)性

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義.

單側(cè)連續(xù)性也同樣具有連續(xù)類似的等價(jià)定義，可以由學(xué)生作為練習(xí).

定理1連續(xù)?既左連續(xù)又右連續(xù).

五、總　結(jié)

以上的教學(xué)過程，打破了傳統(tǒng)的先給出一系列的定義，再舉若干例子，最后到若干定理的教學(xué)過程.它首先通過觀察圖形，給學(xué)生連續(xù)與不連續(xù)的直觀認(rèn)識(shí)，通過教師不斷啟發(fā)，用自己的語(yǔ)言對(duì)函數(shù)的連續(xù)性進(jìn)行描述，通過一個(gè)設(shè)想和前面學(xué)習(xí)的極限過程對(duì)比，得出了用極限來給連續(xù)性下定義.再由極限的變形得出函數(shù)連續(xù)性的其他形式的定義.從教學(xué)效果來看，學(xué)生對(duì)函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的連續(xù)性有了深刻的理解，對(duì)下一步學(xué)習(xí)函數(shù)的間斷點(diǎn)的區(qū)間連續(xù)打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

地方應(yīng)用型本科院校的教學(xué)目標(biāo)與研究型大學(xué)的教學(xué)目標(biāo)不同，對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，前者需要掌握是什么?了解為什么?重點(diǎn)是怎么做(應(yīng)用)?后者遵循一種不完全的公理化線索，不但要掌握是什么，而且通過嚴(yán)格的邏輯推導(dǎo)為什么，了解怎么辦(應(yīng)用).所以，根據(jù)不同的教學(xué)目標(biāo)，選擇不同的教學(xué)方法，這才是真正的因材施教.