于　瑤，劉仍奎，王福田

(北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國家重點實驗室，北京 100044)

軌道不平順狀態(tài)對于列車運行安全和旅客乘車舒適度至關(guān)重要[1]。隨著鐵路快速發(fā)展，列車速度大幅提升，軌道結(jié)構(gòu)承受來自列車荷載作用，會加速軌道的劣化。對軌道不平順的發(fā)展規(guī)律進行預(yù)測是近代軌道力學(xué)的基本課題，也是合理安排養(yǎng)修周期，全面推進軌道的“狀態(tài)修”，降低養(yǎng)修成本，保證線路安全和平順的關(guān)鍵，可為軌道養(yǎng)護維修計劃提供決策參考[2]。目前，許多專家和學(xué)者將線性回歸[3]，綜合因子[4]，灰色理論方法[5]等方法引入到軌道不平順預(yù)測研究中，并取得了良好的效果。白文飛等[6]通過利用 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強非線性能力，采用遞推合成BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對軌道不平順進行預(yù)測，提高了預(yù)測精度。李巍[7]針對所采集的軌道不平順狀態(tài)數(shù)據(jù)異常的問題，在灰色預(yù)測與回歸分析預(yù)測的基礎(chǔ)上，利用熵值法，計算組合預(yù)測加權(quán)平均系數(shù)，提出了基于熵值法的軌道狀態(tài)組合預(yù)測模型。林懷青等[8]采用主成分分析和支持向量機相結(jié)合的方法對軌道不平順狀態(tài)進行識別，并通過對不同軌道不平順下軸箱加速度的分析，驗證該方法的有效性。為了快速預(yù)測軌道列車的振動狀態(tài)，徐磊等[9]提出基于PCA-SVM方法的車體振動狀態(tài)分類預(yù)測模型。支持向量機的方法可以得到全局最優(yōu)解，具有很強的非線性擬合的能力，可以解決神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢和無法避免局部最優(yōu)的問題。該方法的基本思想是，通過非線性映射，把樣本空間映射到一個高維的特征空間，使在特征空間中可以應(yīng)用線性學(xué)習(xí)的方法解決樣本空間中的高度非線性分類和回歸等問題[10]。本文針對軌道不平順預(yù)測問題，通過利用支持向量機的泛化能力，將此方法引入到軌道不平順狀態(tài)的研究中，并建立支持向量機軌道不平順預(yù)測模型。然后利用此模型對測試樣本進行建模并預(yù)測，并將結(jié)果與文獻[6]進行了比較。從對比結(jié)果可以明顯看出，該模型在軌道不平順預(yù)測中具有良好的可靠性和適用性。

1　軌道不平順狀態(tài)描述

軌道整體不平順狀態(tài)通過軌道質(zhì)量指數(shù)(TQI)來表示。實踐證明，該指數(shù)對于維護鐵路的軌道質(zhì)量狀態(tài)、保證列車平穩(wěn)安全運行起到了重要作用。我國的軌道質(zhì)量指數(shù)是通過對200 m單元區(qū)段內(nèi)的軌距、高低、軌向、三角坑等7個項目的不平順幅值做標(biāo)準(zhǔn)差求和得到的。這7個項目的數(shù)據(jù)是由軌檢車對軌道進行動態(tài)檢測得到的，每當(dāng)軌檢車檢測完成后，會自動形成軌道線路的原始檢測數(shù)據(jù)以及每200 m長度的TQI數(shù)據(jù)檢測結(jié)果，一段時間后，就會形成一個TQI序列集。TQI計算公式如下：

其中：σi為各單項軌道不平順的標(biāo)準(zhǔn)偏差；為連續(xù)采樣的平均值；xij各單項不平順的幅值。從式(1)可知，TQI值的大小與軌道平順狀態(tài)密切相關(guān)，即其數(shù)值越大，表明軌道的平順程度越差。管理者通過觀察該指數(shù)數(shù)值大小，不但可以了解軌道的劣化程度，而且可以通過對所有軌道單元區(qū)段TQI數(shù)值排序來確定需要重點維修的軌道區(qū)段。

2　支持向量機軌道不平順預(yù)測模型建立

由于每個軌道單元受各種異質(zhì)性因素影響，各個軌道單元的TQI數(shù)據(jù)的變化規(guī)律是不同的。本文的建模思路是針對每一個單元區(qū)段個性化的建立一個其自身的數(shù)據(jù)變化規(guī)律模型，利用該單元區(qū)段的歷史數(shù)據(jù)所形成的序列來尋找該單元區(qū)段的變化規(guī)律，具體的思路是采用支持向量機的方法來建模。支持向量機的回歸擬合的思想是尋找一個最優(yōu)分類面使得所有訓(xùn)練樣本離該分類面的誤差最小。本文所構(gòu)建的基于支持向量機的軌道不平順預(yù)測模型建立以及性能評價，可以分為以下幾個步驟，如圖1所示。

圖1　支持向量機的軌道不平順預(yù)測模型建立流程Fig.1　Process of prediction for track irregularity based on support vector machine

其中：()tΓ為非線性映射函數(shù)。ω和a是2個變量，支持向量機思想是通過優(yōu)化算法，選取支持向量機參數(shù)求解對變量ω和a的最優(yōu)化問題。

定義ε為線性不敏感損失函數(shù)，線性不敏感損失函數(shù)具有較好的稀疏特性，通過選取恰當(dāng)?shù)摩趴梢允菇Y(jié)果有較好的泛化能力，選取損失函數(shù)為：

其中： f (t)為回歸函數(shù)返回的TQI預(yù)測值，TQI為對應(yīng)的TQI真實值。

為了得到式(2)中的ω和α，引入松弛變量τi，構(gòu)造如下約束條件：

其中：C為懲罰因子，C越大表示對訓(xùn)練誤差大于ε的樣本懲罰越大。求解式(4)可得

其中：N為支持向量個數(shù)。

3) 數(shù)據(jù)預(yù)測。通過利用第1部分TQI數(shù)據(jù)建立的模型，來預(yù)測軌道質(zhì)量狀態(tài)未來的發(fā)展趨勢。

結(jié)合式(4)，式(5)和式(6)，可得回歸函數(shù)為

從式(7)可以看出支持向量機的結(jié)構(gòu)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)比較類似，其結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2　支持向量機的結(jié)構(gòu)圖Fig.2　Structure of support vector machine

4) 性能評價。根據(jù)選取的性能指標(biāo)對預(yù)測結(jié)果進行評價。

為了檢驗預(yù)測模型的預(yù)測效果，選取評價指標(biāo)均方誤差E和決定系數(shù)R2，來對建立的預(yù)測模型進行性能評價。均方誤差的值越小，說明預(yù)測模型具有較好的精度。決定系數(shù)越接近 1，表示所建立的模型參考價值越高；相反，越接近0時，表示參考價值越低。其計算公式如下：

3　案例分析

3.1　TQI預(yù)測模型建立

本文利用濟南鐵路局管轄范圍內(nèi)京九線 2008年2月～2010年7月的軌檢車檢測數(shù)據(jù)，選取100個200 m長的軌道單元區(qū)段的TQI數(shù)據(jù)，分析其軌道不平順發(fā)展趨勢，建立基于支持向量機的軌道不平順預(yù)測模型，將預(yù)測結(jié)果與文獻[6]中的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法預(yù)測結(jié)果進行對比，以說明其有效性。首先以具有代表性的2008年2月～2010年7月的京九線下行 K467+400～K467+600單元區(qū)段為例說明建模過程，該單元區(qū)段的TQI檢測數(shù)據(jù)如表1所示。

從表1可以看出，在第10次(2008年11月)和第11次(2008年12月)2次檢測之間，軌道的TQI值急劇減小，說明第 10次檢測之后對軌道進行了維修作業(yè)，使得軌道質(zhì)量狀態(tài)轉(zhuǎn)好。以此為分界點，將TQI數(shù)據(jù)按照2個周期考慮。本文針對京九線下行K467+400～K467+600單元區(qū)段TQI的變化，通過利用Matlab分別對表1中的軌道質(zhì)量指數(shù)進行模型建立和預(yù)測。

表1　京九線下行K467+400～K467+600單元區(qū)段TQI數(shù)據(jù)表Table1　TQIs of Jingjiu Railway Line’s K467+400～K467+600

在第1個周期內(nèi)，選取前7個數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，在第2個周期內(nèi)選取前17個作為訓(xùn)練樣本，分別建立預(yù)測模型，預(yù)測模型結(jié)果如圖3(a)和3(b)所示。

3.2　對TQI發(fā)展趨勢預(yù)測

通過利用3.1中所建立的預(yù)測模型，在第1個周期內(nèi)選取后3個樣本為性能觀測指標(biāo)。在第2個周期內(nèi)后3個樣本作為觀測指標(biāo)，得到的預(yù)測結(jié)果圖如圖4(a)和4(b)所示。

通過預(yù)測結(jié)果可以計算得到性能評價指標(biāo)，如表2所示。根據(jù)式(8)計算，2個周期預(yù)測模型的均方誤差和決定系數(shù)分別為 E=0.012，R2=0.98和E=0.008，R2=0.97，可以明顯看出該方法均方誤差比較小，而且決定系數(shù)接近 1，可以證明該方法建立的預(yù)測模型是有效的。

3.3　預(yù)測結(jié)果的對比

與京九線下行 K467+400～K467+600單元區(qū)段的模型建立與預(yù)測過程類似，選取 2008年 2月～2010年 7月京九線下行 K425+000～K475+000的100個軌道單元區(qū)段的TQI數(shù)據(jù)進行預(yù)測，并將預(yù)測結(jié)果與文獻[6]的遞推合成BP網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法的預(yù)測結(jié)果進行比較。

圖3　2個周期TQI預(yù)測模型結(jié)果Fig.3　Predictive model results of TQIs for the two periods

圖4　2個周期支持向量機TQI預(yù)測值與TQI實測值對比圖Fig.4　Comparison of the prediction values of support vector machine and factual values for the two periods

表2　基于支持向量機的軌道不平順預(yù)測性能評價結(jié)果Table2　Performance evaluation results of prediction for track irregularity based on support vector machine

隨機抽取其中的3個軌道單元區(qū)段K467+400～K467+600，K472+600～K472+800 和 K430+800～K431+000，其利用支持向量機的預(yù)測方法得到的預(yù)測結(jié)果與文獻[6]的遞推合成BP網(wǎng)絡(luò)方法的預(yù)測結(jié)果比較見表3。從表3中數(shù)據(jù)得出，本文方法所得該3個軌道單元區(qū)段TQI預(yù)測值的平均相對誤差為0.97%，文獻[6]方法所得TQI預(yù)測值的平均相對誤差為2.04%。采用本文方法所建立的預(yù)測模型的誤差精度相比于文獻[6]中的預(yù)測模型的預(yù)測精度有所改善。

經(jīng)過建模預(yù)測京九線下行 K425+000～K475+000的100個軌道單元區(qū)段的TQI數(shù)據(jù)，將預(yù)測結(jié)果與文獻[6]的遞推合成BP網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法的預(yù)測結(jié)果進行比較。利用支持向量機方法得出100個軌道單元區(qū)段的TQI預(yù)測值的平均相對誤差為0.85%，文獻[6]方法所得 TQI預(yù)測值的平均相對誤差為3.29%。從預(yù)測結(jié)果可以明顯看出，相比于文獻[6]中的預(yù)測方法，支持向量機的預(yù)測方法較為符合軌道不平順的發(fā)展趨勢，能夠很好地反應(yīng)軌道質(zhì)量指數(shù)隨時間變化的規(guī)律。

表3　2種算法的TQI預(yù)測結(jié)果比較Table3　Comparison of two algorithms for TQI prediction results

4　結(jié)論

1) 通過利用支持向量機強泛化能力，將其引入軌道不平順預(yù)測研究中，通過對TQI序列建模預(yù)測，給出了支持向量機方法建立軌道預(yù)測模型的一般步驟和仿真預(yù)測。以京九線下行3個軌道單元區(qū)段的實際TQI檢測數(shù)據(jù)為算例進行驗證，該方法均方誤差比較小，而且決定系數(shù)接近 1。結(jié)果表明，無論是在模型建立還是預(yù)測過程，支持向量機都具有較強的逼近能力，可以有效地對TQI進行建模預(yù)測。

2) 通過結(jié)合支持向量機的預(yù)測方法，對軌道不平順 TQI值進行單周期預(yù)測，選取京九線下行K425+000～K475+000的100個軌道單元區(qū)段的TQI數(shù)據(jù)。利用支持向量機方法得到100個軌道單元區(qū)段的預(yù)測值的平均相對誤差為0.85%，利用文獻[6]中遞推合成BP網(wǎng)絡(luò)所得TQI預(yù)測值的平均相對誤差為3.29%。相比于遞推合成BP網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測方法，基于向量機的軌道不平順預(yù)測精度相對有所提高。