曹玉萍

摘 要：作為算術(shù)思維到代數(shù)思維的有效過渡，準變量思維是一種整體性思維、關(guān)系性思維、結(jié)構(gòu)性思維。在教學中，教師要發(fā)掘教材的準變量因子，萌發(fā)兒童的準變量意識，引領(lǐng)兒童的準變量思維。

關(guān)鍵詞：小學數(shù)學 準變量思維 代數(shù)思維

準變量思維是算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡，是兒童代數(shù)思維的啟蒙。在兒童數(shù)學教學中，教師要培養(yǎng)兒童形成“代數(shù)的眼光”，發(fā)展兒童的代數(shù)思維。教師必須精心呵護兒童的準變量思維，讓兒童不僅擁有思維的程序模式，更能初步形成思維的關(guān)系模式。準變量思維彌合了算術(shù)思維和代數(shù)思維的人為割裂，架設(shè)了從算術(shù)思維到代數(shù)思維的橋梁。

一、準變量思維的內(nèi)涵及其培養(yǎng)意義

小學階段的數(shù)學教學主要是算術(shù)的教學，即兒童主要是運行一種計算程序，將多個已知數(shù)量經(jīng)由四則運算而得出未知數(shù)量的過程。例如中低年級段“一步計算的應用題”和“兩步計算的應用題”等，在設(shè)計意圖與解決方法上基本上都是遵循一種算術(shù)思維。運用算術(shù)思維解決數(shù)學問題主要運用數(shù)學的分析法和綜合法，即“執(zhí)果索因”和“由因?qū)Ч保溟g夾雜著轉(zhuǎn)化、倒推等解決問題的策略。直到教學“簡易方程”，兒童才開始接觸到一種全新的思維方式——代數(shù)思維，或者說是關(guān)系思維。和算術(shù)思維比較，代數(shù)思維是一種整體性的思維模式，所以在列方程時，學生對方程兩邊都含有未知數(shù)很不適應。在解方程時，學生對方程左右兩邊同時加或減去相同的數(shù)也很不適應，甚至有許多學生往往習慣性在方程前也加上“=”。因為在他們的心里，“=”號指示著一種運算程序、解題程序，他們對“=”號所指示的等價關(guān)系沒有清晰的認知?；诖耍P者認為，在小學尤其是低中年級學段，教師應當有意識地將數(shù)學的“準變量特性”，融入到兒童日常學習中去，進而有效防止兒童的算術(shù)思維與代數(shù)思維間的斷裂。

所謂準變量思維，是指兒童能夠運用數(shù)學中所隱含的代數(shù)結(jié)構(gòu)或代數(shù)關(guān)系，對數(shù)學中的問題進行準變量式、準代數(shù)式的思考。例如計算“54-26-8”，當兒童亦步亦趨地按照計算順序進行數(shù)學計算時，兒童的思維方式是一種程序性的算術(shù)思維；而當兒童從整體的關(guān)系入手，減去一個數(shù)后再減去一個數(shù)，其實也就是減去了這兩個數(shù)的和，那么盡管兒童的思考對象仍然是算術(shù)，但兒童卻潛在地運用著一種關(guān)系思維，一種著眼整體、全局的準變量思維。由此不難發(fā)現(xiàn)，準變量既不是常量（靜止不變的量），也不是變量（運動變化的量），而是介于常量和變量之間的一種數(shù)字關(guān)系或結(jié)構(gòu)解釋。而在這些數(shù)字關(guān)系或結(jié)構(gòu)解釋中卻蘊含著鮮明的代數(shù)意義，其解決問題的過程體現(xiàn)著代數(shù)思維的色彩?？梢?，準變量思維標志著兒童代數(shù)思維的萌芽。

二、兒童準變量思維的培養(yǎng)路徑

如上所述，準變量思維是兒童從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維的“最近發(fā)展區(qū)”。因此，在教學中，教師應引導兒童對數(shù)學的潛在關(guān)系或結(jié)構(gòu)進行識別、表達、轉(zhuǎn)換，讓兒童提煉出數(shù)學問題中的等量關(guān)系或等量結(jié)構(gòu)，從而讓兒童展開準代數(shù)式的思考。

（一）基于教材，發(fā)掘準變量因子

小學數(shù)學中蘊含著豐富的準變量因子。在教學中，教師要善于發(fā)掘。準變量因子是萌發(fā)兒童準變量意識、培植兒童準變量思維的良好載體。為此，教師要向兒童提供準變量思考的豐富素材。例如一年級的“湊十法”“破十法”等就蘊含著準變量因子。

在教學蘇教版小學數(shù)學教材第1冊“8加幾”時，筆者首先出示一組“8加幾”的算式，讓孩子們運用“湊十法”解決問題。然后筆者著重引領(lǐng)兒童理解“無論是8加幾，都可以先給8加一個2，再從后一個數(shù)中減去一個2，讓加上來的2和減去的2相互抵消”。由此，兒童獲得一種基于相等關(guān)系的整體視角。同樣，教學“7加幾”“9加幾”等都可以向兒童有意識地滲透準變量意識。又如蘇教版小學數(shù)學教材第5冊“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”同樣也蘊含著準變量因子。筆者在教學“32×12”時，首先創(chuàng)設(shè)一個情境，賦予“32×12”以實際意義，結(jié)合實際意義讓兒童理解“32×12”的算理：10個32和2個32的和。然后筆者讓兒童舉例，在豐富的例子中形成兒童的準變量理解：只要12不變，不管前一個數(shù)是多少，都可以用前一個數(shù)乘10加上前一個數(shù)乘2。這里，一種左右兩邊相等的恒等變形意識被有效地植入教學之中。實踐證明，這樣的教學能夠有效提高兒童的心算能力。

（二）基于兒童，萌發(fā)準變量意識

培養(yǎng)兒童的準變量思維不是一蹴而就的，在教學時，教師要善于捕捉機會，引導兒童的準變量思維，萌發(fā)兒童的準變量意識。

例如教學蘇教版小學數(shù)學教材第9冊“解決問題的策略——列舉”時，筆者讓學生從日常生活中兩種常見的現(xiàn)象入手：打電話和寄賀卡。首先讓學生嘗試畫圖，尋求解決2個人、3個人、4個人通電話和寄賀卡的簡單情形。其次引導兒童展開準變量思考：2個人之間互通電話總次數(shù)是1，3個人之間互通電話總次數(shù)是3，2個人之間互寄賀卡張數(shù)是2，3個人之間互寄賀卡張數(shù)是6……再次是引領(lǐng)兒童展開準變量推理：8個人通電話、寄賀卡，10個人通電話、寄賀卡……50人通電話、寄賀卡。盡管筆者沒有引導兒童用抽象的數(shù)學符號表達關(guān)系，但是孩子們通過總次數(shù)與總?cè)藬?shù)之間的變化規(guī)律，能夠自主地進行合情推理，并能夠用具體的算式揭示出規(guī)律。再如教學蘇教版小學數(shù)學教材第5冊“找規(guī)律——間隔排列”時，當孩子們在解決具體問題，如“從1樓到6樓需要75秒，那么從1樓到10樓需要多少秒”時，筆者總是要求學生“退下來”，從1樓、2樓逐層進行探索。在孩子們自主建構(gòu)，明晰了樓數(shù)、樓梯之間的關(guān)系后，他們自然能解決問題。筆者認為，其實這里就孕育著準變量思維。孩子們在解決這類問題的過程中，也就能萌生準變量意識。

（三）基于教學，引領(lǐng)準變量思維

在兒童數(shù)學教學中，教師不僅要敏銳地捕捉教材中的準變量因子，萌發(fā)兒童的準變量意識，而且更要清晰、明確地培養(yǎng)并引領(lǐng)兒童的準變量思維，以便讓小學數(shù)學教學與中學代數(shù)教學進行無縫對接。在遵循兒童思維規(guī)律、把脈兒童認知基礎(chǔ)和思維特質(zhì)的基礎(chǔ)上，教師可以引領(lǐng)兒童拾級而上，基于兒童的算術(shù)思維，引領(lǐng)兒童的準變量思維，并積極導向兒童的代數(shù)思維。

例如在教學蘇教版小學數(shù)學教材第10冊“認識方程”時，筆者首先讓學生觀察天平，天平平衡的秘密就在于“天平兩邊是相等的”，以此誘發(fā)兒童的準變量意識。然后，筆者從三個角度展開教學：一是將天平上左邊有刻度的砝碼換成沒有刻度的勾碼，讓天平保持平衡；二是將天平右邊有刻度的砝碼換成沒有刻度的勾碼，讓天平保持平衡；三是將天平左右兩邊的部分有刻度的砝碼同時換成沒有刻度的勾碼，讓天平保持平衡。如此，孩子們發(fā)現(xiàn)，未知數(shù)不僅可以在方程的左邊，也可以在方程的右邊，還可以既在方程的左邊，同時也在方程的右邊。盡管天平左右兩邊的砝碼換成了勾碼，但只要天平平衡，方程兩邊就相等，方程的等式性質(zhì)就不會發(fā)生變化。一旦孩子們對方程有了這樣的理性認識，在后續(xù)學習解方程時，他們對方程中未知數(shù)的位置，對于靈活運用、反復運用等式的性質(zhì)解方程都會游刃有余。在這里，筆者充分利用天平建構(gòu)了方程中等號的關(guān)系性質(zhì)，發(fā)展了兒童關(guān)于等號的關(guān)系解釋，讓兒童識別了方程中等號的關(guān)系結(jié)構(gòu)，讓兒童洞識了方程的數(shù)學本質(zhì)，由此引領(lǐng)兒童的準變量思維，發(fā)展兒童的代數(shù)思維。

總之，在兒童數(shù)學教學中，算術(shù)思維是兒童的現(xiàn)實發(fā)展水平 ，而代數(shù)思維是兒童的可能發(fā)展水平?；跍首兞克季S的誘導，能夠?qū)和伤阈g(shù)思維積極導向代數(shù)思維。因此，準變量思維完全可以看成是小學算術(shù)思維向初中代數(shù)思維的積極過渡，其操作核心是運用算術(shù)中所隱含的代數(shù)結(jié)構(gòu)、關(guān)系，對算術(shù)問題展開簡單初步的代數(shù)式思考。（作者單位：江蘇省啟東市桂林小學）

責任編輯：胡波波