上海市嘉定區(qū)第二中學(xué) (201800) 牟忠智 劉國(guó)平

一、教學(xué)片斷

指數(shù)函數(shù)是高中階段繼冪函數(shù)后研究的第二個(gè)具體函數(shù).指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)常常被用來(lái)開設(shè)展示課，觀摩教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，教師對(duì)指數(shù)函數(shù)定義中底a的規(guī)定原因的解釋差強(qiáng)人意.

案例1:“指數(shù)函數(shù)概念”教學(xué)片斷.

引入：

問(wèn)題1 某種細(xì)胞分裂時(shí),由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè),……,一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次后,得到的細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)y與x之間構(gòu)成一個(gè)函數(shù)關(guān)系,能寫出x與y之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？

學(xué)生:y與x之間的關(guān)系式,可以表示為y=2x.

問(wèn)題2 一種放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì),每經(jīng)過(guò)一年剩留的質(zhì)量約是原來(lái)的84%.設(shè)最初的質(zhì)量為1,時(shí)間變量用x表示,剩留量用y表示.求出這種物質(zhì)的剩留量隨時(shí)間(單位:年)變化的函數(shù)關(guān)系.

學(xué)生:y與x之間的關(guān)系式,可以表示為y=0.84x.

概念形成：

指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.

對(duì)規(guī)定“a>0,a≠1”的討論：

師：指數(shù)函數(shù)定義中，為什么規(guī)定a>0,a≠1？

學(xué)生分組討論，開始時(shí)比較茫然.教師提示：如果不這樣規(guī)定會(huì)出現(xiàn)什么情況？老師將問(wèn)題分解為：

(1)若a<0時(shí)會(huì)有什么問(wèn)題？

(2)若a=0會(huì)有什么問(wèn)題？

(3)若a=1又會(huì)怎么樣？

學(xué)生似有所悟，各組大都得出以下結(jié)論：

(2)若a=0時(shí)，對(duì)于x≤0，ax無(wú)意義，對(duì)于a>0,函數(shù)值都是0，沒有研究的必要.

(3)若a=1時(shí)，1x無(wú)論x取何值,它總是1,太簡(jiǎn)單，沒有研究的必要.

師：為了避免上述各種情況的發(fā)生,所以規(guī)定a>0,a≠1.

……

二、案例分析

案例1中，教師對(duì)指數(shù)函數(shù)定義中“a>0,a≠1”的規(guī)定的解釋具有普遍性，絕大多數(shù)老師在授課中都是這樣解釋的.

高級(jí)中學(xué)課本數(shù)學(xué)高一年級(jí)第一學(xué)期(試用本)[1]教材引出指數(shù)函數(shù)定義后，在相關(guān)內(nèi)容的旁白處，以問(wèn)題的形式提出：為什么規(guī)定a>0,a≠1？

教學(xué)參考書上給出的理由和例題1中教師給出的理由相同.

這樣的解釋科學(xué)嗎？我們可以通過(guò)案例2進(jìn)行說(shuō)明.

案例2 函數(shù)y=(-2)x的研究.

考慮特殊情形，an=(-2)n,n∈N*.

這是一個(gè)以-2為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，也可以看成是以-2為底，定義域?yàn)镹*的指數(shù)型函數(shù).

說(shuō)明如果定義域?yàn)镹*，就不需要規(guī)定a>0,a≠1.

更一般的，我們研究關(guān)系y=(-2)x.

在x的允許值的范圍內(nèi)，對(duì)每一個(gè)確定的x，y=(-2)x的值唯一確定.因此，它是一個(gè)函數(shù).它具有以下性質(zhì).

圖像：在x的允許值的范圍內(nèi)，適當(dāng)?shù)倪x取x,通過(guò)描點(diǎn)法，可以畫出函數(shù)y=(-2)x的圖形如下：

圖像是不連續(xù)曲線.圖像恒過(guò)點(diǎn)(0,1).

定義域：使y=(-2)x式子有意義的x的取值集合，無(wú)法用確定的集合表示.但定義域不是R.

值域：實(shí)數(shù)集的一個(gè)真子集，無(wú)法確切表示.

奇偶性：非奇非偶.

單調(diào)性：函數(shù)不具有單調(diào)性.……

由此可見，即使a<0，關(guān)系y=ax也是函數(shù)，且這個(gè)函數(shù)的定義域不是R.

換而言之，指數(shù)函數(shù)定義中底“a>0,a≠1”的規(guī)定是因?yàn)椤氨仨殱M足指數(shù)函數(shù)定義域是R”才產(chǎn)生的.

眾所周知，中學(xué)階段涉及到的函數(shù)，如一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，冪函數(shù)等等，大多是先有解析式而后有定義域.定義域是由解析式來(lái)決定的，一般是指解析式有意義時(shí)自變量的范圍.

那么，指數(shù)函數(shù)定義中，為什么要先規(guī)定其定義域是R呢？

其實(shí)，這是由數(shù)學(xué)規(guī)定必須要遵守的規(guī)律決定的.

三、數(shù)學(xué)規(guī)定遵循的原則

1.方便性原則:方便性原則是指定義概念時(shí)要考慮到使用和研究的方便，它包括讀、寫、記憶、計(jì)算及推理的方便.

數(shù)學(xué)上的規(guī)定必需有利于數(shù)學(xué)的研究，有利于數(shù)學(xué)的創(chuàng)造.記a×a×a×…×a×a(1000個(gè))=a1000，規(guī)定后的乘方運(yùn)算要比原來(lái)的乘法式子簡(jiǎn)單多了；阿拉伯?dāng)?shù)字及其運(yùn)算法則在全世界通用，但是羅馬數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)律沒有普及，原因也是基于阿拉伯?dāng)?shù)字及其運(yùn)算方式的方便性.

2.合理性原則:一個(gè)概念的正確定義，除了反映事物的本質(zhì)屬性外，還要具有合理性.

案例3 規(guī)定a0=1(a≠0)的原因.

指數(shù)概念的發(fā)展初期，am(a≠0)表示m個(gè)a相乘；隨著指數(shù)m變化，如m是零、負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、無(wú)理數(shù)時(shí)，am(a≠0)就不能看作是m個(gè)a相乘.

考察運(yùn)算法則：am÷an=am-n(a≠0)，當(dāng)m,n為正整數(shù)且m>n時(shí)，結(jié)果完全符合初期“am(a≠0)表示m個(gè)a相乘”規(guī)定的意義.

但是當(dāng)m=n，或m

運(yùn)算法則的需要和指數(shù)初期規(guī)定的矛盾要求將指數(shù)的概念加以推廣..

怎樣拓展指數(shù)的概念比較合理？

以a0為例，當(dāng)m=n時(shí)，運(yùn)算法則am÷an=am-n=a0(a≠0)，

等式左邊的值為1，如果要是運(yùn)算法則成立，就必須有a0=1(a≠0)．

所以規(guī)定：a0=1(a≠0).

這樣的規(guī)定遵守一條原則：原有的指數(shù)概念及運(yùn)算法則必須適合推廣后的指數(shù)概念及運(yùn)算法則，這就是合理性原則.

3.簡(jiǎn)明性原則:簡(jiǎn)明性就是簡(jiǎn)潔性，在概念的正確定義、準(zhǔn)確完備的前提下，力求簡(jiǎn)潔，簡(jiǎn)單.

案例4 反正弦函數(shù)的定義

為什么這樣規(guī)定？

其實(shí)這樣規(guī)定的主要原因是“簡(jiǎn)單”，可以看成是優(yōu)選出來(lái)的結(jié)果.數(shù)學(xué)運(yùn)算中常設(shè)某量為1而不是設(shè)它為8.2753是同樣的道理.

除此之外，數(shù)學(xué)規(guī)定還必須滿足確定性原則、啟發(fā)性原則、和諧性原則等原則，其中和諧性原則是指定義之間的和諧性，體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的和諧美.

四、結(jié)論

現(xiàn)在再來(lái)研究指數(shù)函數(shù)定義中“規(guī)定”的成因.

案例2說(shuō)明，當(dāng)a<0，關(guān)系y=ax也是函數(shù).這個(gè)函數(shù)的定義域不是R.

這個(gè)函數(shù)的定義域、值域無(wú)法確切表示；函數(shù)也不具有奇偶性和單調(diào)性；函數(shù)的圖像無(wú)法確切畫出…….在這樣的條件下，函數(shù)圖像及性質(zhì)都很復(fù)雜，在中學(xué)階段無(wú)法研究.

所以，關(guān)于指數(shù)函數(shù)底的規(guī)定的理由是為了方便研究.主要是為了遵循“規(guī)定”的方便性原則.

綜上所述，我們可以這樣理解指數(shù)函數(shù)中規(guī)定底a>0且a≠1的理由：

指數(shù)函數(shù)中規(guī)定底a>0且a≠1是為了滿足定義域?yàn)镽的規(guī)定，規(guī)定定義域?yàn)镽是為了研究的方便.

教學(xué)中如果這樣對(duì)學(xué)生解釋，應(yīng)該是客觀的，合理的.如果有同學(xué)對(duì)這樣的規(guī)定提出質(zhì)疑，同時(shí)進(jìn)行更深入的研究，那就是數(shù)學(xué)的福音了.

數(shù)學(xué)中還有許多這樣的規(guī)定或概念，教學(xué)過(guò)程中有些教師的解釋似是而非，如二面角的平面角的定義等.從某種角度來(lái)看，對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)定的來(lái)由探究并不是教學(xué)的內(nèi)容，但是只有理解了為什么這樣“規(guī)定數(shù)學(xué)”，才能做到我也能“規(guī)定數(shù)學(xué)”，如果我們學(xué)生中有部分能夠做到有能力“規(guī)定數(shù)學(xué)”，那就是數(shù)學(xué)教育的最高境界.