摘 要 本文主要是基于數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)探討以促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)的研究。在習(xí)題課教學(xué)中，教師要有意識(shí)、有目的地結(jié)合數(shù)學(xué)分析課程的實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生積極地參與到整個(gè)解題思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生形成活用數(shù)學(xué)方法的能力、探究問(wèn)題的能力、概括總結(jié)的能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)能力

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.03.051

Discussion on the Teaching of Mathematical Analysis Exercises

Based on Students' Learning Ability

LIAO Chunyan

（College of Science， Hunan University of Science and Engineering， Yongzhou， Hunan 425199）

Abstract This paper is mainly based on the teaching of mathematical analysis exercise class to promote the cultivation of students' application ability. In the teaching of exercise class， teachers should consciously and purposefully combine with the actual of mathematical analysis course to guide students actively participate in the whole process of thinking ways of solving problems ，develop students form the ability to flexible use mathematical methods， explore the question and summary.

Keywords mathematical analysis； mathematical thought； mathematical ability

數(shù)學(xué)家王梓坤院士在院士科技報(bào)告《今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》中曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)給予人們的不只是知識(shí)，更重要的是能力，這種能力包括直觀思維、邏輯推理、精確計(jì)算和準(zhǔn)確判斷”。[4]數(shù)學(xué)訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，而數(shù)學(xué)習(xí)題是組織數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)訓(xùn)練的主要載體，也是最有利于促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力及理解掌握各種數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)邏輯思維能力的過(guò)程中最具活力的因素。

1 精選習(xí)題，抓準(zhǔn)基礎(chǔ)知識(shí)是核心

數(shù)學(xué)分析所涵蓋的基本概念、基本定理、相關(guān)性質(zhì)、特殊公式等紛繁復(fù)雜，習(xí)題課的教學(xué)中，要求教師課前精選習(xí)題。習(xí)題課中所選示范題應(yīng)具備綜合性，并側(cè)重于覆蓋教材中的基礎(chǔ)知識(shí)，使所選習(xí)題都盡可能的融入多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并能突出重點(diǎn)和難點(diǎn)。數(shù)學(xué)分析中的練習(xí)題眾多繁雜，如何從眾多的參考書(shū)籍中挑選恰到好處的習(xí)題，這就需要任課教師精挑細(xì)選，針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的一些常見(jiàn)的疑難問(wèn)題、具有共性的、難度較大的概念、重要定理的條件和使用要領(lǐng)作出詳細(xì)的分析與解答。所選習(xí)題要融入數(shù)學(xué)分析課程最基本的解題思路，最基本的數(shù)學(xué)思想方法。所選之題多變靈活，能通過(guò)一題多解多題同解及一題多變培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和解題思想。數(shù)學(xué)教材中的課后習(xí)題就是很好的選擇，教材中的習(xí)題都是經(jīng)過(guò)專家數(shù)年的精挑細(xì)選，與教學(xué)內(nèi)容相匹配的代表性題目，其背后往往蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)背景和教學(xué)思想。因此，我們應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)學(xué)分析教材中例題習(xí)題的作用。

2 強(qiáng)化解題策略中的分析過(guò)程

解題是一種技能，初學(xué)數(shù)學(xué)分析的學(xué)生，在做題的過(guò)程中更多的是觀察模仿，例如最初利用定義法證明極限問(wèn)題，例如導(dǎo)數(shù)的定義法證明可導(dǎo)等等，最后通過(guò)不斷的實(shí)踐來(lái)掌握各種解題技能。因此教師在解題的過(guò)程中，應(yīng)強(qiáng)化習(xí)題中的分析過(guò)程，將制定解題策略的全過(guò)程分析清楚，并以適合學(xué)生程度的問(wèn)題吸引學(xué)生參與解題的全過(guò)程。

例1 設(shè)，且，證明[1]

分析：要解決這道題目似乎不知道用數(shù)學(xué)分析的哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)，我們不妨從所給的條件中慢慢分解，看能否出一些結(jié)論。

第一步：分析條件。由條件我們可以分析到什么結(jié)論呢？不難發(fā)現(xiàn)分母極限為0，極限要存在則分子的極限必為0，得。又，說(shuō)明什么呢？說(shuō)明二階可導(dǎo)，則必定連續(xù)，同時(shí)可知單調(diào)增加。故，進(jìn)一步得到。

第二步：分析結(jié)論。我們需要證明，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)條件中極限的形式，證明在時(shí)，和時(shí)，即可。

第三步：整合結(jié)論，進(jìn)一步給出詳細(xì)的分析過(guò)程?？紤]在的左右導(dǎo)數(shù)，由Lagrange中值定理有

（i） 當(dāng)時(shí)，，其中（0，），；

（ii） 當(dāng)時(shí)時(shí)，，其中，；

（iii）當(dāng)時(shí)時(shí)，。

綜上所述，對(duì)任意， 都有。

本題所覆蓋的知識(shí)點(diǎn)很多，解題技巧強(qiáng)。習(xí)題課的教學(xué)不能僅僅為了解決出某一道題，而是在解決該問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生是否掌握了分析并解決類似問(wèn)題的能力。習(xí)題課的教學(xué)中教師應(yīng)重視解題的細(xì)化過(guò)程，通過(guò)逐步分析引導(dǎo)學(xué)生思考，總結(jié)題目的特點(diǎn)，得出一些今后在解決相關(guān)問(wèn)題的結(jié)論，即：已知（或），討論的性質(zhì)，一般方法是通過(guò)的單調(diào)性和Lagrange中值定理來(lái)完成。

3 開(kāi)拓解題思路，探索解題技巧，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神

數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)且環(huán)環(huán)相扣的，要開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，在學(xué)生已經(jīng)具備了一定的知識(shí)基礎(chǔ)之后，探索未知的知識(shí)層面中，應(yīng)讓學(xué)生充分思考和摸索解題思路，著重把握解題的核心和本質(zhì)。對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行專題訓(xùn)練，使某一知識(shí)、計(jì)算技巧得到強(qiáng)化，強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用及發(fā)展能力。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)及綜合能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的。因此在習(xí)題課的課堂上，應(yīng)該選擇新穎靈活、貼近生活的應(yīng)用型、實(shí)踐性、創(chuàng)新性、開(kāi)放性的問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生的思維。利用一題多解，同一個(gè)問(wèn)題不同的條件，同一個(gè)條件不同的問(wèn)題來(lái)啟發(fā)學(xué)生的解題思路，有利于學(xué)生鞏固已學(xué)知識(shí)，開(kāi)拓解題思路，探索解題技巧，訓(xùn)練解題的靈活性，增強(qiáng)解題能力。在比較各種方法的基礎(chǔ)上，總結(jié)出一些規(guī)律性的東西，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)效果。

例2 設(shè)，求[2]

分析：這道題目用定義法去做比較復(fù)雜，不難發(fā)現(xiàn)曲線是圓心為原點(diǎn)的圓，具有輪換對(duì)稱性，所以有

，

，

所以。

將問(wèn)題做點(diǎn)變化：

（Ⅰ） 如果將被積函數(shù)換成，如何求解呢？

考慮曲線方程及被積函數(shù)之間的關(guān)系

，

由上例即可求解。

（Ⅱ）如果將曲線換成設(shè)，上述兩個(gè)積分問(wèn)題又如何求解呢？

這時(shí)候曲線不是過(guò)圓心的圓周，求出曲線的半徑，， 由例2知

，。

總結(jié)第一型曲線積分的計(jì)算方法：想辦法將被積函數(shù)變成曲線方程的形式有利于積分的求解。

4 充分發(fā)揮解題過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法[3]

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理性認(rèn)識(shí)。在數(shù)學(xué)分析的解題過(guò)程中，我們不能一味追求將題目解出來(lái)即可，我們應(yīng)在解題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)解題過(guò)程中所蘊(yùn)含的思想方法。教師可以自覺(jué)地，有目的地加以培養(yǎng)。例如我們?cè)谇蠼舛嘣瘮?shù)的極限問(wèn)題的時(shí)候，我們自然而然地就將一元函數(shù)求極限的基本方法遷移過(guò)來(lái)（如無(wú)窮小乘有界仍是無(wú)窮小，無(wú)窮小的等價(jià)代換，例如兩個(gè)重要極限的結(jié)論等）。再如定積分的分割、近似、求和、取極限的思想也是反常積分，含參量的反常積分、多元函數(shù)積分學(xué)的基礎(chǔ)。又如，數(shù)學(xué)分析中的四大主要積分公式：牛頓—萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都是建立了區(qū)域上積分與其邊界上積分的關(guān)系，其中格林公式和高斯公式，不僅結(jié)論相似，證明方式也類似，在解題的過(guò)程中所需要滿足的條件也相似，所以在講授這幾個(gè)公式應(yīng)用的同時(shí)，能夠從理論上概括和提煉其中所蘊(yùn)含的思想方法——類比，并系統(tǒng)地向?qū)W生系統(tǒng)介紹這一思想方法的內(nèi)涵以及在解題過(guò)程中應(yīng)用這種方法建立的一些結(jié)論。

5 結(jié)束語(yǔ)

高質(zhì)量的習(xí)題課不應(yīng)該是只注重問(wèn)題的解決。事實(shí)上，習(xí)題課中的題目往往有多種解法，我們?cè)谥v解的過(guò)程中往往只能挑學(xué)生最容易理解，比較易于接受的求解方式，但這種做法有的時(shí)候并不是最簡(jiǎn)捷、最巧妙的。所以我們?nèi)匀粦?yīng)鼓勵(lì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)屬于自己的更好的解題方法，只有這樣，才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)分析這門(mén)課程，在習(xí)題課教學(xué)過(guò)程中，將解題技巧及學(xué)生能力的培養(yǎng)融合應(yīng)用，以數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)知識(shí)、基本理論、基本方法為內(nèi)核，靈活多變的解題技巧為外殼，融合數(shù)學(xué)思想方法的氣質(zhì)，創(chuàng)造一種全新的數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教學(xué)表達(dá)。

基金項(xiàng)目：湖南科技學(xué)院教改項(xiàng)目（課題編號(hào)XKYJ2017003）；

湖南科技學(xué)院教改項(xiàng)目（課題編號(hào)XKYJ2017005）

參考文獻(xiàn)

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