◇包靜娟

一、數(shù)學命題為什么要圍繞數(shù)學理解進行？

2017年3月，筆者對市區(qū)某校進行數(shù)學學業(yè)質量調研，其中一道題是這樣的：有個小朋友叫小明，他拖了一輛玩具汽車去公園玩，車上有5只小雞、10只小鴨，請問小明有幾歲。

調查的結果(如表1)使人震驚，不管是一年級還是三年級，正確率都不足10%。為什么我們學生的問題解決能力如此薄弱？南京師范大學郝京華教授認為，我們的學生患上了“脆弱知識綜合征”。評價可以實現(xiàn)價值的引領，從這個角度看，基于數(shù)學理解的命題有著重要的意義。

表1

二、基于數(shù)學理解的命題的維度是什么？

數(shù)學理解包含兩層意思：一是“對數(shù)學對象的理解”，即學生對數(shù)學的知識內容、方法技巧、思想策略等的理解；二是“從數(shù)學的角度去理解現(xiàn)實”，這是一種更深層次的數(shù)學觀念的形成。理解是多維的和復雜的，有不同的類型和方法。數(shù)學理解的測評，不局限于了解學生已經(jīng)學會了什么，還要測評學生能在多大程度上在新情境下靈活應用所學的知識。具體可以從數(shù)學理解的五個維度進行命題：

1.能解釋。通過歸納或推理，系統(tǒng)合理地解釋現(xiàn)象、事實和數(shù)據(jù)，洞察事物間的聯(lián)系，并提供例證。

例1：老師和同學們一起開展植樹活動，老師每人植2棵，學生每2人植1棵。這次活動一共植樹19棵，可能有幾位老師、幾名學生參加植樹活動？（可以列式計算，也可以畫一畫）

2.能闡明。敘述有深度的故事；提供合適的轉化；從數(shù)學、文化、歷史角度或個人角度，揭示觀點和事件的含義；通過圖示、類比和模型等方式，達到理解的目的。

3.能應用。在各種不同的真實情境中，有效地使用和調整學到的知識。

例3：根據(jù)下面圖1中四幅圖的規(guī)律，第5幅圖中有（ ）個●，（ ）個△。

圖1

4.能洞察。能以批判性的眼光去看待、分析各種觀點；運用所給的既定事實推斷出結論。

例4：三年級女生做仰臥起坐。1分鐘做40個以上（含40個）為優(yōu)秀，做21～39個為及格，做21個以下為不及格。三（1）班女生1分鐘仰臥起坐成績統(tǒng)計如表2。

表2

（1）芳芳的成績在三（1）班女生中排名第7。她可能做了多少個？請在合適數(shù)量后面的□里面畫“√”。

38個□ 27個□ 43個□ 39個□

（2）請寫出你選擇的理由。

5.能自知。顯示元認知意識；察覺諸如個人風格和思維習慣等促成或阻礙理解的因素；意識到我們不理解的內容；反思學習和經(jīng)驗的意義。

例 5：平平在計算 435÷35 時，把“35”抄成了“5”，并計算出了結果。他想要得到正確的結果，應該再（ ）。

A.乘7B.乘30C.除以7D.除以30

三、數(shù)學理解視角下的命題，必須實現(xiàn)哪些方面的轉變？

1.從“外顯”走向“內隱”。

以往的考試，試題主要測評的是知識的識別和記憶。知道不等于理解，僅僅考查顯性化事實性知識的再認和復現(xiàn)，無法準確反映學生對知識的掌握程度。為了讓學生獲得有意義的發(fā)展，試題在考查外顯知識的同時，還要考查學生對知識的本質內涵、意義價值的深刻理解和靈活應用，把內隱素養(yǎng)的考查放在重要位置，實現(xiàn)從“記憶”向“理解”的轉變。

圖2

【分析與思考】學生在解答這道題的時候，正確率比較低（如表3）。究其原因，是教師的教學行為形塑了學生的思維。傳統(tǒng)課堂教學中，教師呈現(xiàn)的分數(shù)圖例，平均分的每一份的形狀都是一樣的，導致學生一看到形狀不同，就誤以為不能用分數(shù)表示。實際上，分數(shù)表示的是平均分的總份數(shù)和表示的份數(shù)之間的比例關系。在這里，與面積有關，與形狀無關。此題可以較好地檢測學生對分數(shù)意義本質的理解程度，等積變形的數(shù)學思想滲透其中（如圖3）。

表3

圖3

2.從“孤立”走向“聯(lián)系”。

Capenter(1999)指出，數(shù)學理解的發(fā)展意味著，學生頭腦中建構更加豐富、更加具有整合性的知識結構，這種整合的知識結構使得學生的數(shù)學理解更富有生成性。

聯(lián)系是數(shù)學理解的本質?；跀?shù)學理解的試題，不能停留在對孤立知識的單一評價上，要在數(shù)學各知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間建立聯(lián)系，創(chuàng)設融通聯(lián)結的開放空間，讓學生進行多元表征，以此評估學生對數(shù)學的理解。[例7是江蘇省2016年義務教育學業(yè)質量監(jiān)測三年級調研（無錫）卷中的一道題]

例7∶學校舉行廣播體操表演，每行有12人,一共有16行，小明通過豎式計算知道一共有192人參加表演。（如圖4）

圖4

豎式中箭頭所指的可以用下面圖（ ）框中的點來表示。

【分析與思考】本題讓學生用點子圖來直觀表征乘法豎式的算理，“用十位上的1乘12，結果應該是120”。抽象的乘法豎式與直觀點子圖的連接，讓數(shù)與形完美結合，借助形象理解抽象，加深了學生對位值制的理解。

3.從“結果”走向“過程”。

數(shù)學是思維的體操。學生對數(shù)學的理解程度通常在過程中展現(xiàn)出來。因此試題的設計要直面學生“思”和“想”的過程，考查學生思考的方式和路徑，不斷幫助學生建構聯(lián)系，讓學生從經(jīng)歷到經(jīng)驗，從經(jīng)驗到能力，找到數(shù)學理解的“根”。

例8：比較圖5中的兩根鐵絲，選項（ ）是正確的。

圖5

A.第①根長 B.第②根長

C.一樣長 D.無法判定哪根長

【分析與思考】錯落放置的兩條線段光憑眼睛觀察，很難比較出結果。只有建立在測量基礎上的線段，才能比出長短。此題的設計，評估的是學生的測量意識、對線段端點的價值認識，觀察、分析、推理能力的培養(yǎng)都融合其中。

例9：用小棒按照如下方式擺圖形(如圖6）。

圖6

（1）擺1個四邊形需要4根小棒，擺2個四邊形需要（ ）根小棒，擺3個四邊形需要（ ）根小棒，擺10個四邊形需要（ ）根小棒。

（2）如果想擺n個四邊形，需要（ ）根小棒。

（3）有169根小棒，可以擺（ ）個這樣的四邊形。

【分析與思考】第（1）題前兩問簡單明確的指示性操作，學生通過看與數(shù)就能輕易得出答案；第（3）題看與數(shù)已不能夠解決問題，逼迫學生進行數(shù)學思考。當學生構建出小棒的個數(shù)與四邊形的個數(shù)間的關系式時，其實就是把數(shù)學問題轉化為代數(shù)問題，把代數(shù)問題轉化為方程問題來解決。

4.從“學科”走向“實踐”。

真實的情境強調的不只是一系列技能，還是一種觀察世界和從事實踐的思想及觀念的樣態(tài)，最終強調的是學生對數(shù)學文化的感悟。

例10：某保溫桶的水大約可以裝滿15個熱水瓶，這個保溫桶大約能裝（ ）水。

A.30毫升 B.300毫升 C.30升 D.300升

【分析與思考】此題不僅僅考查學生對容積單位“升”和“毫升”的理解，而且考查學生對具體情境中的數(shù)量關系的分析推理能力。對這個保溫桶容積的認知，必須建立在對一個熱水瓶容積的認知（經(jīng)驗）基礎上。

例11：珍妮和卡利一起去買鞋。珍妮選了兩雙鞋，一雙標價為110元，另一雙為100元；卡利選了一雙鞋，標價160元。她們付錢時，營業(yè)員告訴她們商店有促銷活動，只需付2雙的錢就可以拿到3雙鞋 （3雙中最便宜的一雙可以免費得到）。參加促銷活動后，珍妮和卡利各需付出多少元？給出2種不同的方案，并說明哪種方案更公平。

【分析與思考】本題創(chuàng)設了學生比較熟悉的商場購物促銷活動的問題情境。情境的真實性增強了試題的效度，強調的是決策方案、說理過程以及社會協(xié)商性。學生在解決問題時，內化了試題的各種要素和本質，形成了一種用數(shù)學的思維方式和眼光。問題的開放性拓寬了學生思考的空間，便于學生進行個性化的表達。學生在解決問題的同時，會權衡不同方案，產(chǎn)生新的想法。此題答案至少 5 種（卡利付款數(shù)）：（1）123.33 元（所有鞋子價格和的）；（2）110 元（一共節(jié)省 100元，兩人平均省下 50 元）；（3）126.67 元（一共節(jié)省 100 元，平均每雙鞋省下 33.33 元）；（4）135 元（承擔參加活動后總錢數(shù)的一半）；（5）116.76元（比例推理：卡利的鞋價占3雙鞋總價的比率）。

總之，基于數(shù)學理解的命題應直指內隱素養(yǎng)，直通生活實踐，直面思考過程，強調知識間的聯(lián)系。這是對傳統(tǒng)試題淺表化、形式化、機械化、功利化的祛弊、解弊的過程，期望這樣的命題能更好地診斷學生的數(shù)學素養(yǎng)落實情況，從而改進日常的數(shù)學教學，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。