摘要：初等幾何有史2300多年來一直認(rèn)定相互平行且距離為0的直線必重合從而有直線公（定）理，進(jìn)而斷定：等長的直線段必合同。然而集合、幾何起碼常識及區(qū)間概念凸顯此“初等幾何起碼常識”其實(shí)是將無窮多各異直線（段）誤為同一直線（段）的“以井代天”的2300年“井底蛙”誤區(qū)。判斷兩點(diǎn)集是否≌的全新方法讓中學(xué)生也能一下子認(rèn)識3千年都無人能識的偽二重、偽≌直線段，進(jìn)而認(rèn)識初等數(shù)學(xué)有一系列搞錯(cuò)函數(shù)的值域的幾百年重大錯(cuò)誤——百年病態(tài)集論的癥結(jié)。

關(guān)鍵詞：推翻直線公（定）理；推翻百年集論和百年“R軸各點(diǎn)與各標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)一一對應(yīng)定理”；偽二重、偽≌點(diǎn)集；直線（段）的伸縮變換；函數(shù)的值域；有序連續(xù)變化的變化規(guī)律；保序及保距變換

文獻(xiàn)[1][2]證明了直線A沿本身保序平移或伸縮后就≠A了，故“直線公（定）理”其實(shí)是將無窮多各異直線誤為同一線的重大錯(cuò)誤，但未能從幾何上來闡明此事實(shí)，本文使人可以如小學(xué)生看圖識字那樣看圖識此事實(shí)。公元前1100年中國人商高同周公的一段對話談到了勾股定理說明人類認(rèn)識幾何學(xué)的直線段起碼已有3000多年歷史了。2300多年來學(xué)、教過初等幾何的人數(shù)以億計(jì)，其中不少人是著名科學(xué)家及著名教育家，他們都沒發(fā)現(xiàn)初等幾何有重大錯(cuò)誤?！八燥@然有科學(xué)常識”：因數(shù)學(xué)是嚴(yán)密精確的代名詞故數(shù)學(xué)，尤其是“已成熟到不能再成熟”的初等數(shù)學(xué)對直線（段）這一最基本、簡單圖形的認(rèn)識絕不可能有極重大錯(cuò)誤；絕不可能有人能推翻現(xiàn)代數(shù)學(xué)的公（定）理。有一種“凡是”：凡是連“小人物”也談不上的“草根”絕不可能有重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)。人類由認(rèn)識直線段到發(fā)現(xiàn)用而不知的偽二重、偽≌直線段竟須歷時(shí)3000多年！但若擔(dān)心廣大高中生（應(yīng)熟悉非常簡單易懂的保距變換概念）看此文后還不能立刻認(rèn)識這類線段那就是污蔑其是弱智群體了，因挑戰(zhàn)各“絕對不可能”的“反科學(xué)”的“超人”發(fā)現(xiàn)來自太淺顯的：（1）集合起碼常識a：所謂集A=B是說A的元與B的元可一一對應(yīng)相等，故點(diǎn)集A≠B的原因是不可“一一對應(yīng)相等”。（2）中學(xué)的幾何起碼常識c：重合的有界圖形（點(diǎn)集）必合同。（3）區(qū)間概念。

一、 可看圖識“字”：直線Z沿本身平移或伸縮后就≠Z了——直線公理嚴(yán)重歪曲了事物的本來面目

因與x∈R相異或相等的實(shí)數(shù)均可表為y=x+Δx（Δx可=0也可≠0）故x變換為實(shí)數(shù)x+Δx的幾何意義可是：一維空間“管道”g內(nèi)R軸上的質(zhì)點(diǎn)x∈R（x是點(diǎn)的坐標(biāo)）沿R軸方向移動(dòng)變?yōu)檫€在g內(nèi)的點(diǎn)x′=x+Δx，即實(shí)數(shù)的改變可形象化（注：真正的形象化而非沒有形象的假形象化）為管道g內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位置的改變（設(shè)各點(diǎn)只作位置改變而沒別的改變即變位前后的質(zhì)點(diǎn)是同一質(zhì)點(diǎn)）?！稄?fù)分析可視化方法》是復(fù)分析領(lǐng)域的一部名著，其公開挑戰(zhàn)當(dāng)前占統(tǒng)治地位的純符號邏輯推理。顯然沒有寬度的直線和沒大小的“點(diǎn)”是沒有形象的，從而是不可視的。R可形象化為R軸，R各數(shù)x可形象化為R軸各點(diǎn)；變數(shù)可形象化為g內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)。數(shù)學(xué)的圖形可是離散的點(diǎn)的點(diǎn)集。直線上的點(diǎn)集E：……（這不是省略號）各點(diǎn)可作保距或非保距平移。至少有兩元的點(diǎn)（數(shù)）集A各元x保距（偏離原位）變?yōu)閤′=x+Δx組成元為點(diǎn)x′的B≌A。鐵球是鐵分子的集合A，鐵球的熱脹冷縮導(dǎo)致其組織結(jié)構(gòu)變了，A平移到新位置成A′還是由移動(dòng)前的所有鐵分子組成的集，這移動(dòng)只是改變各分子的位置而不能改變A的組成成員和組織結(jié)構(gòu)。同樣，保距變換是剛體運(yùn)動(dòng)從而不改變點(diǎn)集的組成成員和組織結(jié)構(gòu)。極顯然：E各點(diǎn)之間任意交換位置后還是原點(diǎn)集E，但點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離變大（小）后（集的組成成員沒變但組織結(jié)構(gòu)變了）就不能還是原點(diǎn)集了。所以不改變組成成員的變距變換必改變點(diǎn)集的組織結(jié)構(gòu)。有了各點(diǎn)還須有規(guī)定各點(diǎn)如何排列聚集的法則才能確定一點(diǎn)集；點(diǎn)還是這些點(diǎn)，但其可聚集成長度為c的直線段A也可聚集成長為c的圓弧等等，A還可伸長（壓縮）變長（短）為新線段（～A）還由A的全部點(diǎn)組成。這說明：質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)與質(zhì)點(diǎn)本身有根本區(qū)別從而使質(zhì)點(diǎn)集與數(shù)（數(shù)組）集有根本區(qū)別。E中兩個(gè)點(diǎn)形成點(diǎn)集B，兩點(diǎn)的距離ρ一發(fā)生變化就形成還由這兩點(diǎn)組成的集≠B，因ρ≥0可取無窮多個(gè)數(shù)故這兩點(diǎn)可形成無窮多均由其組成的各異點(diǎn)集。要注意集的組成成員與集的元素是有根本區(qū)別的，例{2，2，2}由3個(gè)2組成但其元卻只有一個(gè)。

高中有“平面內(nèi)的不變直線”知識。集合起碼常識a和有序連續(xù)變化的變化規(guī)律顯示自有變換（函數(shù)）概念幾百年來數(shù)學(xué)一直存在重大錯(cuò)誤：將變動(dòng)了的直（射）線誤為不變直（射）線。

設(shè)A={x}表A各元均由x代表，變量x的變域是A，其余類推。說R軸各元點(diǎn)x可沿軸保距平移變?yōu)辄c(diǎn)x+Δx=y=x+1就是說R軸可沿軸正向平移距離1變?yōu)閥=x+1軸，其余類推。R各元x保序變?yōu)閥（x）=x+Δx=kx生成I={y}各元y=kx中的正常數(shù)k若≈1則I各元y=kx≈（1+0）x=x（x=0時(shí)kx=0）與R各元x一一對應(yīng)近似相等（或?qū)?yīng)相等）使I≈R（xy平面的直線y=kx≈x與直線y=x近似重合）；顯然當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)才有：I各元kx=x與R各元x一一對應(yīng)相等使I=R。可見數(shù)集相等概念表明x軸保序伸縮變換為y（x）=kx軸≠x軸（正常數(shù)k≠1）；當(dāng)然肉眼不可察覺此事實(shí)，但下文使人憑肉眼就能察覺。

有共同橫坐標(biāo)的點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（x，y′≈y）近似重合。直線A：y=x（y∈R）各元點(diǎn)P（x，y=x）中的x不變而y=x保序變?yōu)閥=kx≈x（正常數(shù)k≈1）就使A變?yōu)樵屈c(diǎn)P′（x，y=kx≈x）的直線B：y=kx≈x而與直線y=x近似重合，原因是兩線各點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=x與y=kx≈x一一對應(yīng)近似相等（或?qū)?yīng)相等）；顯然若“一一對應(yīng)相等”則兩線必重合，故兩線只可近似重合而不可重合的唯一原因是各y=x∈R與各y=kx≈x不能一一對應(yīng)相等。這就形象地說明R各元x非恒等變換地保序變?yōu)閥=kx生成I各元y=kx與R各元x不可一一對應(yīng)相等使R≠I。

h定理1：U各元點(diǎn)（x，y=x）中的x不變而y變?yōu)閥′=y′（x）得元為點(diǎn)（x，y′）的V，V=U的必要條件：U、V各元點(diǎn)有一一對應(yīng)關(guān)系：點(diǎn)（x，y）點(diǎn)（x，y′）且y=x與y′=y′（x）同為x的增函數(shù)；滿足此條件的U、V不重合的原因是關(guān)系式中的縱標(biāo)y′與y不可一一對應(yīng)相等。

證：U、V各元點(diǎn)（x，y=x）與（x，y′）中的函數(shù)y=x與x的對應(yīng)關(guān)系的關(guān)系圖就是U，函數(shù)關(guān)系y′=y′（x）的關(guān)系圖就是V，若U=V則顯然定義域相同的y′與y必是同一函數(shù)。A各元y=x變?yōu)閥′=y′（x）組成B={y′}，設(shè)各x是平面點(diǎn)的橫坐標(biāo)，各y與y′是縱坐標(biāo)。y（x）=y′（x）時(shí)點(diǎn)（x，y）∈U與點(diǎn)（x，y′=y）∈V重合說明U、V各元點(diǎn)的縱標(biāo)y（x）與y′（x）若一一對應(yīng)相等則各元點(diǎn)必一一對應(yīng)重合使U=V。故若U≠V則必表明各縱標(biāo)y與y′不可一一對應(yīng)相等。證畢。

h定理2（實(shí)際上是文[3]中的h推論1）：至少有兩元的數(shù)集A非恒等變換地保序變換為B必≠A。

證1：若數(shù)集A=B則顯然A的元與B的元必可由小到大一一對應(yīng)相等。A各數(shù)在集內(nèi)分別都有一定的大小“名次、地位”，例在A={0，1，2}中：2是第一大的數(shù)，1是第二大數(shù)，0是第三大數(shù)；A各元x保序變?yōu)閤2組成{0，1，4}也有第一大、第二大、第三大的元。大小互不同的雞組成集A和B，a（b）是A（B）中第n大的雞，顯然若A=B則a和b必是同一雞。任一A={x}各數(shù)x保序變?yōu)閥=y（x）（y是增函數(shù)）組成B={y（x）}，x∈A在A中的大小“地位”與y（x）∈B在B中的大小地位是一樣的，顯然若A=B則x與y（x）必是同一數(shù)，故若y（x）不≡x則B≠A。

證2：x軸各元點(diǎn)x變?yōu)辄c(diǎn)y=x得元為點(diǎn)y=x的y=x軸。A各元y=x可形象化為y=x軸（⊥x軸）的元點(diǎn)y=x∈y軸而分別都有一定的高度（可<0），A各點(diǎn)y=x沿y軸方向非恒等變換地保序升高（降低）變?yōu)辄c(diǎn)y′（x）形成B={點(diǎn)y′}相應(yīng)數(shù)軸，y′（x）是x的增函數(shù)。將各點(diǎn)（x，y）的縱標(biāo)y稱為點(diǎn)的高，直線y=x是由高低各不同的點(diǎn)（x，y=x）從低到高有序聚集成的。直線y=x的子集U={（x，y=x）|y=x的變域是A}各高為y=x的元點(diǎn)非恒等變換地保序升高（降低）（保高、低順序）移動(dòng)變?yōu)楦呤莥′（x）的點(diǎn)P′（x，y′）∈V，因各元點(diǎn)移動(dòng)的方向均⊥x軸故各P′不能都還在直線y=x上；故所有點(diǎn)P′組成的V={（x，y′（x））|y′的變域是B}≠U，原因是各y與y′不能一一對應(yīng)相等，據(jù)h定理1。這形象地說明A各元y=x與各對應(yīng)y′（x）∈B不能一一對應(yīng)相等使A≠B。證畢。

相比之下x軸上的點(diǎn)x與點(diǎn)x+c≈x（c≈0）近似重合，要注意近似式中的c是與1相比而非與x相比≈0即c是與±1相比而非與x相比距0極近。R軸即x軸各點(diǎn)x沿軸非恒等變換地保序平移變?yōu)辄c(diǎn)y=x+Δx=x+非0常數(shù)c生成元為點(diǎn)y的y=x+c軸疊壓在x軸上，中學(xué)數(shù)學(xué)一直認(rèn)定x軸=y軸即函數(shù)y=x+c的值域y軸=x軸，因初中幾何有直線公理（有書“證明”這是定理）：過空間兩異位置點(diǎn)有且只能有一條直線。其實(shí)這是違反集合起碼常識a的肉眼直觀錯(cuò)覺。理由：①據(jù)h定理2這非恒等保序變換前后的直線不相等。②可從二維圖形上說明此事實(shí)。有相互平行的直線y=x（y∈R）和直線y=x+c，由圖像可見若c≈0則直線y=x+c≈x+0與直線y=x近似重合，原因是兩線各點(diǎn)的縱標(biāo)y=x與y=x+c≈x一一對應(yīng)近似相等；故兩線只可近似重合而不可重合的唯一原因是各y=x與各對應(yīng)y=x+c不能一一對應(yīng)相等；據(jù)h定理1兩線不可重合的原因是不可“一一對應(yīng)相等”。這形象地說明R各元x與各f（x）=x+c不能一一對應(yīng)相等；顯然各x只能與各x+c中的x一一對應(yīng)相等而不可與各x+c本身一一對應(yīng)相等。可見數(shù)集相等概念表明x軸沿軸平移變?yōu)閥=x+c軸≠x軸。③第三節(jié)指出y=x+c（c>0）軸有點(diǎn)的坐標(biāo)y=x+c>R一切數(shù)x使R是有界集！

x軸非恒等變換地保序不保距（收縮）變換為元為點(diǎn)y=x+Δx=0.5x的y=0.5x軸（不≌x軸）疊壓在x軸上，中學(xué)一直認(rèn)定x軸=y軸，因有直線公理。其實(shí)這是肉眼直觀錯(cuò)覺。理由：（1）同上①。（2）直線y=x各點(diǎn)P（x，y=x）變?yōu)辄c(diǎn)P′（x，y=0.5x）（y是增函數(shù)）得元為P′的直線y=0.5x與直線y=x不重合，原因是兩線各點(diǎn)的縱標(biāo)y=x∈R與y=0.5x不能一一對應(yīng)相等，據(jù)h定理1。顯然各0.5x只能與各x=0.5x+0.5x∈R中的0.5x一一對應(yīng)相等而不可。（3）不保距（收縮）變換是改變點(diǎn)集的組織結(jié)構(gòu)的變換：使元點(diǎn)間的距離變小的變換。所以y=0.5x軸不≌x軸反映出兩軸有不同的組織結(jié)構(gòu)。（4）下節(jié)證明[a，b]x軸與[a，b]y=0.5x軸是偽二重直線段（區(qū)間）——從另一側(cè)面表明0.5x軸與x軸是偽二重直線。

同理可證：x軸沿軸（非恒等變換地）保序伸縮、平移成X=kx+b軸（疊壓在x軸上）≠x軸，其中常數(shù)k>0是伸縮因子，b≠0是平移因子。所以“據(jù)直線公理X軸與x軸重合”是中學(xué)幾百年解析幾何的直觀錯(cuò)覺，是搞錯(cuò)X=kx+b（增函數(shù)）的值域的以井代天錯(cuò)誤。

R所有非負(fù)元x≥0組成R+，數(shù)學(xué)將R+記為[0，+∞）。R軸的射線x≥0即射線R+各元x≥0非恒等變換地保序變?yōu)閥=x+Δx=xk≥0（正常數(shù)k≠1）組成{y}=Y疊壓在R+上（說R+=Y就是說Y是射線R+），中學(xué)幾百年“Y=R+”是肉眼直觀錯(cuò)覺。理由：（1）據(jù)h定理2Y≠R+。（2）可從幾何上說明此事實(shí)。設(shè)xk中的k=2，平面上的直線y=x上的射線y=x≥0（x的變域是R+）各元點(diǎn)（x，y=x≥0）變?yōu)辄c(diǎn)P′（x，y=x2≥0）得元為P′的拋物線y=x2≥0（x≥0，y=x2是增函數(shù)）與射線y=x≥0不重合，原因是兩線各點(diǎn)的縱標(biāo)y=x≥0與y=x2≥0不能一一對應(yīng)相等，據(jù)h定理1。這形象地說明R+各元x≥0與各對應(yīng)x2≥0不能一一對應(yīng)相等使R+≠Y。同理，直線段V=[0，1]R+各元x（0≤x≤1）非恒等變換地保序不保距變?yōu)閥=xk（正常數(shù)k≠1）組成S≠V；且據(jù)幾何起碼常識c因S不≌V故S≠V，中學(xué)幾百年“S=V”是違反幾何常識c的錯(cuò)誤。據(jù)h定理2R+各元x≥0非恒等變換地保序變?yōu)閥=2x2≥0組成{y}=C≠R+；……

同理可證：R各元y=x非恒等變換地保序變?yōu)閥′=x3組成R′={y′=x3}（y′是x的增函數(shù)，相應(yīng)有平面直線y=x與曲線y′=x3）≠R，中學(xué)幾百年“R′=R”是重大錯(cuò)誤。

研究圖形A的投影T非常重要，T隨A的連續(xù)運(yùn)動(dòng)而連續(xù)運(yùn)動(dòng)。電燈在斷電之前一直都那么亮，而手電筒的光亮度是隨著電池的電量的減少而逐漸減弱直至無光亮的；后者是有序漸變。復(fù)平面z=x+iy的x軸即直線z=x繞點(diǎn)z=0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°≤α≤90°）變?yōu)橹本€B：直線z′=x（cosα+isinα）=xcosα+ixsinα=u+iv（相應(yīng)有u=xcosα軸），α=0°時(shí)直線B=x軸而在x軸的正投影T=x軸，轉(zhuǎn)角α由0°→90°使B由∥x軸變到⊥x軸，B在x軸的正投影T隨之就從T=x軸開始連續(xù)不斷地收縮變換成T=u（=xcosα）軸（0≤cosα≤1），最后收縮成只有一個(gè)元u=xcos90°=0的點(diǎn)集T={點(diǎn)u=0}。有無窮多個(gè)元的直線T與只有一個(gè)元的{點(diǎn)u=0}有無窮大的差別。T由直線（x軸）收縮變化最后變?yōu)橹挥幸粋€(gè)元的點(diǎn)集這種有序連續(xù)變化的變化規(guī)律必是：T先與x軸有較小的差別（α≈0°時(shí)）然后再有較大的差別，最后有無窮大的差別，正如可=0的有序連續(xù)變化的變數(shù)x由正數(shù)變?yōu)樨?fù)數(shù)時(shí)必先=0然后才能=負(fù)數(shù)一樣，正如一人不經(jīng)過兒童期就絕不可進(jìn)入少年期一樣?？梢娺B續(xù)運(yùn)動(dòng)、變化的有序漸變的性質(zhì)從一側(cè)面表明x軸保序收縮變換為u（=xcosα）軸（正常數(shù)cosα<1）必≠x軸。據(jù)直線公理說直線T=x軸在收縮成只有一個(gè)元的點(diǎn)集之前的各次收縮變換后總=x軸（注：運(yùn)動(dòng)的直線可暫時(shí)固定一下），無異于說T的收縮變化不是有序連續(xù)變化。這直線公理嚴(yán)重歪曲了事物的本來面目，正如“一個(gè)什么都不懂的嬰兒在變?yōu)榭茖W(xué)家之前的幾十年間一直≡嬰兒，只要其達(dá)到一定年齡的某一天就突變成科學(xué)家?！眹?yán)重歪曲了事物的本來面目一樣。產(chǎn)生邏輯悖論是因主觀認(rèn)識與客觀實(shí)際不符。正確反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系從而正確反映有序連續(xù)變化的變化規(guī)律的數(shù)學(xué)，才是真正的數(shù)學(xué)。注！第三節(jié)揭示R軸是有界集！由錯(cuò)誤的公理推出的“定理”必是偽定理。

注：x軸各點(diǎn)x沿軸平移變?yōu)辄c(diǎn)u=kx（正數(shù)k=cosα≤1）生成還由x軸所有元點(diǎn)聚集成的u=kx軸～x軸。u軸各點(diǎn)u=kx→0（k由1→0）變?yōu)辄c(diǎn)u=kx=0x即各點(diǎn)u沿軸移動(dòng)到其極限位置u=0處聚集成的單元點(diǎn)集{u=0x=0|x的變域是x軸}還由u軸所有元點(diǎn)組成——點(diǎn)還是這些點(diǎn)，但其都集中在同一位置上就形成單元點(diǎn)集了。

二、 幾何起碼常識c讓3000年都無人能識的偽二重直線段一下子浮出水面推翻百年集論——初等幾何2300年極重大錯(cuò)誤：將無窮多各異圖形誤為同一圖形

有人體穴位圖A和B，A（B）中各穴位P（P′）到太陽穴P0（P0′）的距離是變數(shù)ρ（ρ′）≥0，若B≌A則顯然ρ′與ρ必是同一變數(shù)，P0與P0′互為合同對應(yīng)穴。文[2]提出一種判斷兩點(diǎn)集是否≌的新方法：

h定理3：若點(diǎn)集A（至少有兩元）各元點(diǎn)x保距變?yōu)辄c(diǎn)y（x）生成B={y（x）}≌A則A各點(diǎn)x到A任一固定點(diǎn)x0的距離ρ=|x-x0|=ρ′=|y（x）-y0（x0）|=B各元點(diǎn)y（x）到點(diǎn)y0（x0）（點(diǎn)y0與點(diǎn)x0互為合同對應(yīng)點(diǎn)）的距離，即ρ′與ρ是同一距離函數(shù)。同理A與B≌A可是二、三維空間點(diǎn)集，……。

證：由A≌B的定義ρ′=ρ。同理……。證畢。

區(qū)間[0，1]表示0與1及0與1之間所有數(shù)組成的集，但要注意后文表明[0，1]與[0，1]x軸或x′軸等，是不同區(qū)間；……。由h定理3判斷數(shù)集A與B是否≌時(shí)若A各元均由x代表則B各元須由別的字母例y等代表。在“一一對應(yīng)相等”中應(yīng)注意：0≤x≤1和0≤x+1≤1（-1≤x≤0）中括號外的x和y=x+1的變域均為區(qū)間F=[0，1]，y=x+1中x的變域W=[-1，0]可平移距離1變?yōu)镕。W的最大元x=0變?yōu)閥=x+1（x=0）=1（∈F=[0，1]）=x（=1），因不等式規(guī)定F各元也均由x代表；這里的x+1=x=1中等號兩邊的x是不相等的，此x=0，彼x=1。F=[0，1]各元是x=h；F各元也可是y=x+1=h，當(dāng)y中x=y-1的變域是W時(shí)。各x=h與各y=h當(dāng)然可一一對應(yīng)相等：x=hy=x+1=h（恒等對應(yīng)），但要注意箭頭兩邊的x是不相等的。所以元為x的W變?yōu)樵獮閥=x+1的F的變換，是W平移距離1的變換；元為x=h的F變?yōu)樵獮閥=x+1=h的F的變換，是恒等變換。所以A=[0，1]x軸各元點(diǎn)x=θ到A的中點(diǎn)x=1/2的距離ρ=|x（=θ）-0.5|，B（=A）=[0，1]y=x+1軸各點(diǎn)y=x+1=θ到B的中點(diǎn)y=1/2的距離ρ′=|y（=x+1）-0.5|（x+1=θ）=ρ；同樣A各點(diǎn)x=θ到A的左端點(diǎn)x=0的距離|x（=θ）|與B各點(diǎn)y=x+1=θ到B的左端點(diǎn)y=0的距離|y（=x+1）|（x+1=θ）是同一距離函數(shù)。要注意閉直線段E≌E′且E∥E′中E的左（或上）端點(diǎn)P與E′的左（上）端點(diǎn)P′不一定是合同對應(yīng)點(diǎn)，E保距且保序變?yōu)镋′≌E才能使P′與P是合同對應(yīng)點(diǎn)。將非合同對應(yīng)點(diǎn)誤為合同對應(yīng)點(diǎn)就會(huì)得錯(cuò)誤的結(jié)果。

h定理4：至少有兩元的點(diǎn)（數(shù)）集A={x}（B={y}）任兩異元x與x+Δx（y與y+Δy）之間的距離是|Δx|（|Δy|），A≌B的必要條件是|Δx|=|Δy|即Δy=±Δx，充分必要條件是A、B各元有一一對應(yīng)關(guān)系：xy=±x+常數(shù)c。

證：A≌B時(shí)A與B的元必可有一一對應(yīng)關(guān)系：xy=y（x），距離|Δx|=|（x+Δx）-x|=|y（x+Δx）-y（x）|=|Δy|即Δy=±Δx；而當(dāng)且僅當(dāng)y=y（x）=±x+c時(shí)才有Δy=y（x+Δx）-y（x）=±（x+Δx）+c-（±x+c）=±Δx。證畢。

同理，二、三維空間點(diǎn)集A≌B的必要條件是……。

R軸即x軸收縮變換為y=0.5x軸≠x軸。由-2≤x≤2得-1≤0.5x≤1。自有函數(shù)概念幾百年來數(shù)學(xué)一直斷定“定義域=[-2，2]R的y=x/2=0.5x的值域=[-1，1]R”。這一中學(xué)函數(shù)“常識”其實(shí)是違反幾何起碼常識c的肉眼直觀錯(cuò)覺。直線段L=[-2，2]x軸有子部D=[-1，1]x軸，L各元點(diǎn)x變?yōu)辄c(diǎn)y=x+Δx=0.5x生成元為點(diǎn)y的線段D′（～L）=[-1，1]y=0.5x軸。～L的D′≠DL的理由：

①保距變換將直線段A的中心點(diǎn)變?yōu)樾戮€段B≌A的中心點(diǎn)即若A≌B則A的中點(diǎn)與B的中點(diǎn)必互為合同對應(yīng)點(diǎn)；假設(shè)2300多年D≌D′成立則據(jù)h定理3相應(yīng)的距離ρ=ρ′；然而D各點(diǎn)x到D的中點(diǎn)x=0的距離ρ=|x|，D′各點(diǎn)y=0.5x到D′的中點(diǎn)y=0的距離ρ′=|0.5x|≠ρ；故假設(shè)不成立即D不≌D′。②h定理4說明A各點(diǎn)x通過各種保距變換變?yōu)辄c(diǎn)x+Δx=y（x）∈B≌A中的y與x∈A的對應(yīng)關(guān)系只能是y=±x+c（c可=0）；所以D′有無窮多元是y=0.5x（x∈D）說明D不可通過保距變換變?yōu)樵獮閥=0.5x的D′即D′不≌D；據(jù)幾何起碼常識cD′≠D。③文[1]證明了L～D′的任何真子集都不可～L。其實(shí)無人能證D各元x與D′各元y=0.5x能一一對應(yīng)。各x變?yōu)閥=x是恒等變換。有人說D可通過恒等變換變?yōu)樵?.5x的D′=D，這是錯(cuò)誤的。要將10噸棉花運(yùn)到棉紡廠須先用壓縮機(jī)將棉花壓縮打包使其體積縮小，壓縮后的棉花只是全部棉花的一小部分嗎？將3斤重的一包餅干A壓縮成壓縮餅干B使B的體積遠(yuǎn)小于A的體積，有人以為B是A的一小部分而將其一下子吃光，結(jié)果……。這是致命錯(cuò)誤。同樣線段L收縮變短為與DL等長的D′～L不能成為L的一部分D，中學(xué)的D′=D是使康脫誤入百年歧途的重大核心錯(cuò)誤。這錯(cuò)誤使康脫推出病態(tài)的“定理”：L～DL?！岸ɡ怼敝小?D卻不≌D的D′”中的D′=D因違反幾何起碼常識c從而是根本不能存在的假無窮集，而真正的無窮集D′≠D。

與L=[-2，2]x軸重合的線段β繞L的中點(diǎn)x=0反時(shí)針旋轉(zhuǎn)使β由∥x軸變到⊥x軸，β在x軸的正投影T隨之就不斷縮短使T兩端點(diǎn)的距離由=4逐漸變小到=0致兩端點(diǎn)重合。這T由T=β=L（有無窮多個(gè)元）開始連續(xù)不斷地縮短變?yōu)門=γ=[-1，1]相應(yīng)數(shù)軸，繼而變?yōu)門=…，最后收縮成只有一個(gè)元的點(diǎn)集T={0}。數(shù)學(xué)斷定γL即斷定縮短后的T必是縮短前的T的一部分，若此論斷成立則連續(xù)運(yùn)動(dòng)的有序漸變性使T的元點(diǎn)應(yīng)是由多到少地有序變換使T=γ的元點(diǎn)少于T=β=L的元點(diǎn)，即T縮短后的元必少于縮短前的元，最后才能少至只有一個(gè)元。百年集論斷定T在縮短成只有一個(gè)元之前的元點(diǎn)總是和T=β=L的元點(diǎn)一樣多，無異于斷定T的收縮變化不是有序連續(xù)變化。這就構(gòu)成急待消除的：連續(xù)運(yùn)動(dòng)悖論。

注：直線段T因被壓縮而改變了各組成成員之間的距離從而使T縮短成T′～T，最后所有成員都被移到位置x=0處形成還由T所有組成成員組成的單元集T′={u=x=0|x的變域是Lx軸}，這一使點(diǎn)集任兩異成員的間距由大變小最后變?yōu)?的變換，只是改變了點(diǎn)集的組織結(jié)構(gòu)而沒使其有任何減員；T不斷減員變?yōu)槠湔孀蛹疶″而縮短，最后減去一切非0成員而縮短成單元集T″={u=0}這一減員變換不改變點(diǎn)集的組織結(jié)構(gòu)而只改變其組成成員，這與前者的壓縮變換是有根本區(qū)別的。

x軸伸縮變換為y=kx軸（正常數(shù)k≠1）。有等長線段：D=[-1，1]x軸和J=[-1，1]y=kx軸，D各點(diǎn)x到D的中心x=0的距離ρ=|x|而J各點(diǎn)y=kx到J的中心y=0的距離ρ′=|kx|≠ρ；據(jù)h定理3J不≌D，J與D是貌似重合的偽二重集、偽≌集。y=kx軸中的k≠1可取無窮多正數(shù)說明有無窮多長度均=2的直線段互不合同。由h定理3、4可證初等幾何2300多年“形狀、大小相同的圖形必合同”其實(shí)是被偽合同圖形迷惑而將無窮多各異點(diǎn)集誤為同一集。在某些情形例當(dāng)不研究線段有多少元點(diǎn)時(shí)可將問題大大簡化：將等長的直線段視為相互合同的圖形。

復(fù)平面z=x+iy可收縮成平面0.5z疊壓在z面上。z面有圓盤G：|z|≤2及圓盤KG：|z|≤1；G收縮成～G的圓盤K′0.5z面：|0.5z|≤1疊壓在K上，“K=K′≌K′”其實(shí)是肉眼直觀錯(cuò)覺。若圓盤A≌B則A與B的圓心必互為合同對應(yīng)點(diǎn)，假設(shè)K=K′≌K′成立則據(jù)h定理3相應(yīng)的距離ρ=ρ′，然而K各點(diǎn)z到K的圓心z=0的距離ρ=|z|≤1而K′各點(diǎn)0.5z到圓心0.5z=0的距離ρ′=|0.5z|≤1，據(jù)h定理3K不≌K′。z面可伸展成w=x+i2y=u+iv平面疊壓在z面上。w面有圓盤G′：|w|≤2疊壓在G上，據(jù)h定理3可證G′不≌G；……。

三、 區(qū)間概念讓2500年都無人能識的“更無理”標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)一下子浮出水面推翻百年“R軸各點(diǎn)與各標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)一一對應(yīng)定理”

“R各數(shù)x均有對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)x+c（c=1，2，…）等等”。高等數(shù)學(xué)是研究變量的，而凡變量必有變域，變數(shù)必可遍取其變域的一切數(shù)。區(qū)間Q=[0，x]∪[x，x+1]∪[x+1，x+2]∪[x+2，x+3]∪…中變域?yàn)镽+的x≥0由0→∞遍取R+一切數(shù)x時(shí)Q的子區(qū)間[0，x]由0→∞地變長而長到包含R+一切數(shù)x∈[0，x]。據(jù)中學(xué)區(qū)間概念在各[0，x]（x的變域?yàn)镽+）之外還有標(biāo)準(zhǔn)無窮大正數(shù)x+1∈（x，x+1]等等>R一切數(shù)使R+是有界集！從而使上述的y=x+c軸≠x軸。x軸與y=x+c軸分別都有子部：射線R+和射線y=x+c≥0?？梢妳^(qū)間概念表明初等幾何“有公共起點(diǎn)的兩條射線的夾角若=0則兩線重合”是將無窮多各異線誤為同一線的2300年“井底蛙”誤區(qū)。否定無理數(shù)使數(shù)學(xué)自相矛盾，否定“更無理”的正實(shí)數(shù)使初等數(shù)學(xué)出現(xiàn)違反區(qū)間概念和集合起碼常識a的尖銳自相矛盾。由發(fā)現(xiàn)無理數(shù)到發(fā)現(xiàn)“更無理”的標(biāo)準(zhǔn)無窮大正數(shù)竟須歷時(shí)2500年！

四、 結(jié)束語

由上可見R軸沿本身平移或伸縮（伸縮系數(shù)k>0且≠1可取無窮多數(shù)）可變?yōu)闊o窮多各異直線相互疊壓在一起，而中學(xué)幾百年解析幾何一直只識其中的一條直線且將無窮多各異直線誤為同一線：R軸。這是因數(shù)學(xué)一直不知有用而不知的R外標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)，不知伸縮前后的直線若組成成員相同則組織結(jié)構(gòu)不同，兩者是“同分異構(gòu)”體。將各異直線誤為同一線自然就會(huì)將各異直線段誤為同一線段（以及將各異面誤為同一面）。用h定理檢驗(yàn)知中學(xué)課本一直搞錯(cuò)了無窮多函數(shù)的值域，幾何學(xué)2300年來對n≥1維空間圖形的認(rèn)識一直存在極重大缺陷與錯(cuò)誤：將無窮多各種各類的偽合同、偽重合圖形誤為合同、重合圖形；從而使康脫誤入百年歧途推出康健離脫的病態(tài)理論。破除迷信、解放思想、實(shí)事求是才能創(chuàng)造3千載難逢的神話般世界奇跡使數(shù)學(xué)發(fā)生革命飛躍：從“井底”一下子躍出進(jìn)入到認(rèn)識“更無理”的偽二重直線段的時(shí)代從而不再被蒙在“井”里。詳論見[1][4]。備注：本文已在“預(yù)印本”上公布。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃小寧.憑初等數(shù)學(xué)常識發(fā)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)有一系列重大錯(cuò)誤——讓5000年無人能識的自然數(shù)一下子暴露出來[J].學(xué)周刊，2018（9）：180.

[2]黃小寧.憑中學(xué)數(shù)學(xué)常識發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)課本一系列重大錯(cuò)誤——讓中學(xué)生也能一下子認(rèn)識2300年都無人能識的直線段[J].數(shù)理化解題研究，2016（24）：19.

[3]黃小寧.發(fā)現(xiàn)最小正數(shù)推翻百年集論消除2500年芝諾悖論——中學(xué)重大錯(cuò)誤：將無窮多各根本不同的點(diǎn)集誤為同一集[J].中國科技信息，2010（18）.

[4]黃小寧.初等數(shù)學(xué)各常識凸顯中學(xué)數(shù)學(xué)有一系列重大錯(cuò)誤——“一一配對”讓中學(xué)生也能一下子認(rèn)識5000年無人能識的自然數(shù)[J].課程教育研究，2017（50）：107.

作者簡介：

黃小寧，科研個(gè)體戶，廣東省廣州市，廣東省廣州市天河區(qū)。