安徽省靈璧中學(xué) 圣轉(zhuǎn)紅 (郵編：234200)

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

所以AM的方程為

(2)解法一

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°；

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB；

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，

從而kMA+kMB=0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以∠OMA=∠OMB.

解法二

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°；

當(dāng)l與x軸不重合時(shí)，設(shè)l的方程為x=my+1，A(x1,y1),B(x2,y2)，

故MA、MB的傾斜角互補(bǔ)，所以∠OMA=∠OMB.

解法三

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°；

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB；

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，

過A、B分別作x軸的垂線，垂足依次為C、D，如右上圖.∠OMA=∠OMB?

tan∠OMA=tan∠OMB

解法四

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°；

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB；

于是∠OMA=∠OMB?B、C、M三點(diǎn)共線

解法五

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°；

由角平分線性質(zhì)知，∠OMA=∠OMB等價(jià)于點(diǎn)O到直線MA、MB的距離相等.

直線MA、MB的方程分別為(x1-2)y-y1x+2y1=0,(x2-2)y-y2x+2y2=0.

于是

以下同解法二.

解法六

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°；

當(dāng)l與x軸不重合時(shí)，設(shè)l的方程為x=my+1，A(x1,y1),B(x2,y2)，

則y1y2<0，x1=my1+1，x2=my2+1.

于是

因?yàn)閥1y2<0，所以上式可整理得2my1y2-(y1+y2)=0.

因此∠OMA=∠OMB?2my1y2-(y1+y2)=0 .

以下同解法二.

解法七

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°；

當(dāng)l與x軸不重合時(shí)，設(shè)l的方程為x=my+1，A(x1,y1),B(x2,y2) .

以下同解法五.

解法八

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°；

由向量夾角公式知∠OMA=∠OMB

以下同解法五.

解法九

設(shè)直線l的參數(shù)方程為

則

=0.

故MA、MB的傾斜角互補(bǔ)，所以∠OMA=∠OMB.

解法十

由條件可知，過M點(diǎn)垂直于x軸的直線x=2恰好是橢圓C相對(duì)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線.

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°；

當(dāng)l與x軸不重合時(shí)，過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，與準(zhǔn)線依次交于C、D，如下圖所示.

因此Rt△ACM～Rt△BDM，從而∠AMC=∠BMD，故∠OMA=∠OMB

推廣

證明 當(dāng)l與x軸重合時(shí)，直線MA和直線MB與x軸所成的角都是0°，此時(shí)mn可以取任意非零實(shí)數(shù)；

當(dāng)l與x軸不重合時(shí)，設(shè)l的方程為x=ty+n，A(x1,y1),B(x2,y2) .則

得(b2t2+a2)y2+2tnb2y+b2(n2-a2)=0.

于是y1+y2=

因?yàn)橹本€MA和直線MB與x軸所成的角相等?kMA+kMB=0，

而kMA+kMB

綜上，直線MA和直線MB與x軸所成的角相等的充要條件是mn=a2.

這個(gè)結(jié)論的證明只要將橢圓中的b2換成-b2即可，不再贅述.

結(jié)論三 已知拋物線C:y2=2pxp>0，M(m,0)、N(n,0)是x軸上不同的兩點(diǎn)(異于拋物線的頂點(diǎn)).過點(diǎn)N作直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，則直線MA和直線MB與x軸所成的角相等的充要條件是m+n=0.

證明 由條件知直線l的斜率不為零，可設(shè)l的方程為x=ty+n，A(x1,y1),B(x2,y2)

則x1=ty1+n，x2=ty2+n，x1≠m，x2≠m.

所以y1+y2=2pt,y1y2=-2pn.

因?yàn)橹本€MA和直線MB與x軸所成的角相等?kMA+kMB=0.

于是2ty1y2+(n-m)(y1+y2)=2t·(-2pn)+(n-m)·2pt=-2pt(m+n).

又t∈R，所以kMA+kMB=0?-2pt(m+n)=0?m+n=0.

故直線MA和直線MB與x軸所成的角相等的充要條件是m+n=0.

特別的，當(dāng)p=1,n=2,m=-2時(shí)，這就是2018年全國(guó)卷I文科數(shù)學(xué)20題：

設(shè)拋物線C:y2=2x，點(diǎn)A(2,0),B(-2,0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M、N兩點(diǎn)．

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；

(2)證明：∠ABM=∠ABN．

類似的高考題還有：

(1)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在M點(diǎn)和N點(diǎn)處的切線方程；

(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

(1)求橢圓E的方程；

2013陜西理20題：已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

(2)已知點(diǎn)B(-1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P、Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點(diǎn)．