李 攀，劉元正，嚴(yán)吉中，張 偉

（1. 航空工業(yè)西安飛行自動控制研究所，西安 710065；2. 駐210研究所軍事代表室，西安 710065）

核磁共振陀螺（Nuclear Magnetic Resonance Gyroscope, NMRG）是一種利用核磁共振原理工作的全固態(tài)陀螺儀[1-3]。它沒有運(yùn)動部件，性能由原子材料決定，理論上動態(tài)測量范圍無限，綜合運(yùn)用了量子物理、光、電磁和微電子等領(lǐng)域中的技術(shù)，是未來陀螺儀發(fā)展的新方向[4-5]。原子自旋可以在慣性參考系中保持其初始指向，類似于傳統(tǒng)機(jī)械陀螺中的轉(zhuǎn)子，所以原子自旋也可以用于敏感轉(zhuǎn)動。歐美國家從20 世紀(jì)60 年代就已經(jīng)開始研究核磁共振陀螺，Litton 公司和 Singer-Kearfott公司在 1979 年分別開發(fā)出了核磁共振陀螺原型機(jī)，均達(dá)到了導(dǎo)航級精度[6]。

進(jìn)入 21 世紀(jì)以來，微型原子器件的顯著進(jìn)步證實(shí)了原子MEMS 的可行性[7]。2005 年，美國國防先進(jìn)研究計(jì)劃局（DARPA）提出了導(dǎo)航級集成微陀螺（NGIMG）概念，在定位、導(dǎo)航和授時微技術(shù)（Micro-PNT）項(xiàng)目中對美國 Northrop Grumman 公司的核磁共振陀螺研究給予了支持[8]。到2012年，美國Northrop Grumman公司實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)航級核磁共振陀螺工程樣機(jī)的研制，其零偏穩(wěn)定性達(dá)到0.01 (°)/h，成為目前世界上體積最小的導(dǎo)航級陀螺，標(biāo)志著高精度、小體積陀螺技術(shù)領(lǐng)域取得了突破性研究進(jìn)展[9]。

核磁共振陀螺利用檢測磁場中原子核自旋進(jìn)動頻率的改變確定載體角速度。該陀螺所涉及的磁場包括縱向靜態(tài)磁場和橫向振蕩磁場，原子核自旋繞靜磁場進(jìn)動，振蕩磁場頻率與原子核進(jìn)動頻率相同。在進(jìn)行陀螺設(shè)計(jì)時，必須保證靜態(tài)磁場縱向分量在氣室范圍內(nèi)均勻分布，橫向分量近似為零，振蕩磁場橫向分量在氣室范圍內(nèi)均勻分布，縱向分量近似為零。從陀螺原理可以看出，核磁共振陀螺的陀螺精度與靜磁場的均勻性、穩(wěn)定性密切相關(guān)，進(jìn)行核磁共振陀螺靜磁場設(shè)計(jì)方案分析很有必要。

目前，在核磁共振領(lǐng)域得到工程應(yīng)用的均勻磁場產(chǎn)生方案一般有兩種：1）亥姆霍茲線圈，這是目前商用核磁共振儀常用的磁場結(jié)構(gòu)，缺點(diǎn)是在特定范圍內(nèi)產(chǎn)生均勻磁場所需的線圈尺寸過大；2）螺線管，該結(jié)構(gòu)能夠在較小的體積內(nèi)產(chǎn)生均勻度高的磁場，是核磁共振陀螺工程化生產(chǎn)所需的理想磁場結(jié)構(gòu)?；谏鲜稣摂?，本文主要研究利用螺線管產(chǎn)生均勻磁場。

1 理論分析

1.1 載流環(huán)形線圈的磁場

載流環(huán)形線圈如圖1所示。以線圈中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，z軸與線圈平面垂直，電流I以逆時針方向繞z軸旋轉(zhuǎn)。根據(jù)畢奧-薩伐爾-拉普拉斯定律，線圈上任一長度dl處電流元Idl在點(diǎn)P形成的磁場可以表示為

圖1 環(huán)形電流磁場Fig.1 Ring current magnetic field

其中，r為元電荷指向點(diǎn)P的矢量，μ0為真空電導(dǎo)率。

由于線圈具有軸對稱特性，可以將點(diǎn)P放置在xz平面上以減少計(jì)算步驟?？紤]位于S點(diǎn)的電流元Idl，OS與x軸的夾角為φ，則有：

由圖1可知：

將式(2)(3)代入式(1)可得：

化簡，可得：

若點(diǎn)P位于z軸上，則θ=0，r0=z，于是：

1.2 通電螺線管的磁場

為順應(yīng)核磁共振陀螺微小型化的發(fā)展趨勢，核磁共振陀螺所使用的螺線管通常用撓曲電路工藝制造——先采用雙層撓曲電路工藝將線圈制造在一個平面基底上，再將撓曲線圈卷成圓柱形，形成螺線管，如圖2所示(加州大學(xué)Irvine分校，2008)[10]。

這種方法形成的螺線管是疏繞螺線管。設(shè)螺線管長為L，半徑為R，單位長度的匝數(shù)為m，電流強(qiáng)度為I。螺線管的磁場基本可以看作一系列圓形線圈磁場的疊加?？紤]軸線上某點(diǎn)O的磁感應(yīng)強(qiáng)度，取該點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，Oz沿軸線并與電流方向滿足右手定則，如圖3所示。

圖2 使用平面撓曲電路制造的三軸線圈Fig.2 Three-axis coils fabricated on planar flex circuit

圖3 螺線管軸上的磁場Fig.3 Magnetic field on the solenoid axis

在位置z處長度dz內(nèi)共有mdz匝線圈，它在原點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有z方向分量，由式(6)可以得到其大小為：

整個螺線管在原點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

其中，β1和β2如圖3所示，為點(diǎn)O與螺線管兩端的夾角。

1.3 靜磁系統(tǒng)初步設(shè)計(jì)

國內(nèi)外對核磁共振靜磁系統(tǒng)的研究不多，也未做更深一步的探討。國內(nèi)研究機(jī)構(gòu)采用密繞螺線管或亥姆霍茲線圈設(shè)計(jì)居多[11-14]；而國外研究機(jī)構(gòu)更多采用疏繞螺線管設(shè)計(jì)[10,15-16]，如圖4所示，圖中的疏繞螺線管包含橫向補(bǔ)償線圈。

圖4 疏繞螺線管（美國普林斯頓大學(xué)，2011年）Fig.4 Unwinding solenoid (Princeton University, 2011)

螺線管的常規(guī)設(shè)計(jì)一般只需要關(guān)注幾項(xiàng)指標(biāo)，包括螺線管半徑、螺線管長度和螺線管的匝數(shù)。定義磁場均勻性指標(biāo)δ=std(B)/mean(B)，取值越小代表磁場越均勻。簡單計(jì)算可以得到，在常規(guī)長徑比范圍內(nèi)的螺線管，其磁場均勻性通常滿足下列規(guī)律：

1） 螺線管半徑越大，均勻性越好；

2） 螺線管長度越長，均勻性越好；

3） 螺線管匝數(shù)與磁場均勻性無關(guān)，但影響磁場大小。

以氣室尺寸為4mm×4mm×4mm為基準(zhǔn)，結(jié)合實(shí)際情況和陀螺結(jié)構(gòu)，初步設(shè)計(jì)螺線管指標(biāo)為：螺線管半徑R=25 mm，長度L=50 mm，總匝數(shù)n=5，通電流I=1.3A。取氣室尺寸范圍內(nèi)計(jì)算磁場均勻性δ=4.27× 10–4，沿z軸的磁場分布如圖5所示。

圖5 螺線管的磁場分布Fig.5 Magnetic field distribution of the solenoid

2 磁屏蔽罩對陀螺靜磁場均勻性的影響

在典型的實(shí)驗(yàn)室磁場（1～10 T）中，核磁共振陀螺中工作原子的核自旋對應(yīng)的拉莫爾頻率大多數(shù)情況下在10～100MHz量級內(nèi)[17]。這個數(shù)值必須與用核磁共振陀螺檢測的典型旋轉(zhuǎn)速度相匹配，以地球自轉(zhuǎn)速率為參考ωearth=7.27×10?5rad/s，此旋轉(zhuǎn)速率大約比典型的實(shí)驗(yàn)室中的普通拉莫爾頻率小12～13個數(shù)量級。如果核磁共振陀螺需要檢測出低于地球自轉(zhuǎn)3～4個數(shù)量級的角速度，則靜磁場數(shù)量級要求更低。為保證靜磁場的穩(wěn)定性，防止外部磁場的干擾，必須對核磁共振陀螺進(jìn)行磁屏蔽[18]。

由于核磁共振陀螺磁屏蔽罩通常由高磁導(dǎo)率（>104）的軟鐵磁材料制造，通電電流會在材料表面形成感生磁場。根據(jù)靜磁場的惟一性定理，可以將螺線管磁場在磁屏蔽罩端面產(chǎn)生的磁化電流等效為“磁像”的虛擬電流，類似于鏡面。由于磁屏蔽罩和其內(nèi)螺線管安裝的實(shí)際情況，磁力線會在磁屏蔽罩兩端面之間來回反射，可以用多輪迭代的方法來計(jì)算。對于一輪迭代（對應(yīng)反射一次），其磁場相當(dāng)于3個螺線管的疊加，如圖6所示；對于兩輪迭代（對應(yīng)反射兩次），磁場相當(dāng)于5個螺線管的疊加，以此類推。為便于計(jì)算，假設(shè)螺線管完美排列，磁屏蔽罩屏蔽因數(shù)無限，此時“磁像”的虛擬電流不發(fā)生衰減。

圖6 磁力線在磁屏罩內(nèi)反射一次Fig.6 Magnetic lines reflecting once in the magnetic shield

綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算效率，計(jì)算過程共進(jìn)行100輪迭代，計(jì)算201組螺線管。繼續(xù)增加迭代數(shù)量對計(jì)算結(jié)果貢獻(xiàn)不大，因?yàn)榇藭r的“磁像”螺線管距離計(jì)算區(qū)域過遠(yuǎn)。螺線管指標(biāo)暫定為R=25 mm、L=50 mm、n= 5、I=1.3 A，螺線管距磁屏蔽罩的距離d=5 mm，此時d=1.453×10-4，沿z軸的磁場如圖7所示?？梢钥闯龃牌帘握謱β菥€管產(chǎn)生磁場的均勻性有所改變。

圖7 磁屏蔽罩改變了螺線管的磁場分布Fig.7 Effects of the magnetic shield on magnetic field distribution

固定其余參數(shù)并分別改變螺線管端面距磁屏蔽罩距離d、螺線管匝數(shù)n、螺線管長度L和螺線管半徑R，以確定單一結(jié)構(gòu)參數(shù)對螺線管產(chǎn)生磁場的均勻性δ的影響，如圖8所示。

圖8中的 (a)(b)(c)(d)圖分別為螺線管端面距磁屏蔽罩的距離d、螺線管線圈匝數(shù)n、螺線管長度L和螺線管半徑R對磁場均勻性d的影響。從圖8的(a)(b)(c)中可以看出，磁場均勻性的極小值點(diǎn)分別出現(xiàn)在d=6.15 mm、n=6、L=40 mm點(diǎn)，其共同特征是此時線圈距磁屏蔽罩的距離大致等于線圈間距一半。簡單推論易知，理想情況下磁屏蔽罩端面會將有限長疏繞螺線管擴(kuò)展到無限長，此時磁場均勻性δ=0。然而，圖8(a)中d=6.15 mm并不嚴(yán)格等于線圈間距的一半6.25 mm，圖8(c)中在L=72 mm處又出現(xiàn)了一個極小值點(diǎn)。而圖8(d)中磁場均勻性隨著螺線管半徑R的增大，總的來說逐漸減小，但在R=19 mm處出現(xiàn)了一個極小值點(diǎn)，這是由于計(jì)算磁場均勻性的取樣范圍有限，如果將取樣范圍擴(kuò)大（如圖9所示），此時最優(yōu)點(diǎn)就逼近理論值，即螺線管端面距磁屏蔽罩的距離d大致等于線圈間距一半。

圖8 螺線管參數(shù)對磁場均勻性的影響Fig.8 Effects of the solenoid parameters on magnetic field uniformity

從圖9中可以得出另一個結(jié)論，對于有限長螺線管，通過將線圈間距從等間距改變?yōu)椴坏乳g距可以在一定區(qū)域內(nèi)進(jìn)一步優(yōu)化磁場均勻性。

圖9 大取樣范圍下的磁場分布Fig.9 Magnetic field distribution over a large sampling range

3 螺線管結(jié)構(gòu)參數(shù)加工誤差分析

考慮到實(shí)際使用情況，確定螺線管設(shè)計(jì)指標(biāo)為：線圈半徑R=25 mm，長度L=50 mm，匝數(shù)n=5，螺線管端面距磁屏蔽罩的距離d=6.152 mm，螺線管通的電流I=1.3A。取氣室尺寸范圍內(nèi)計(jì)算磁場均勻性d=1.10× 10–7。沿z軸的磁場如圖10所示。

圖10 改進(jìn)螺線管的磁場分布Fig.10 Magnetic field distribution of the improved solenoid

如圖11(a)所示，磁場均勻性d隨A的絕對值的增大線性增加，在零位兩側(cè)近似對稱。

再考慮螺線管與屏蔽罩中心對準(zhǔn)誤差B，此時螺線管兩端距磁屏蔽罩的距離為dB+。從圖11(b)中可以看出，與誤差A(yù)類似，磁場均勻性d隨B的絕對值的增大線性增加，在零位兩側(cè)近似對稱，但B對磁場均勻性d的影響比A大致高了一個量級。

圖11 螺線管加工誤差對磁場均勻性的影響Fig.11 Effects of the solenoid’s machining errors on magnetic field uniformity

最后考慮疏繞螺線管間距存在加工誤差C，該誤差與上述兩個誤差A(yù)和B無法完全分離，所以將其綜合在一起分析。對螺線管各線圈的位置隨機(jī)加減一個不大于C的數(shù)，進(jìn)行多輪計(jì)算（1000次）后取其最大值（最差值），來判斷C對磁場均勻性d的影響。

從圖11(c)中可以看出，磁場均勻性d隨C的增大線性增加。

綜合考慮實(shí)際加工、裝配難度和磁場均勻性要求，確定螺線管加工誤差限為 0.01 mm，此時磁場均勻性d≤ 1.11×10–5（均值 3.69×10–6），較優(yōu)化前至少提高了一個量級。

4 結(jié) 論

作為一種新型微型陀螺儀，隨著MEMS技術(shù)和微型原子器件的發(fā)展，核磁共振陀螺儀有望在中低精度導(dǎo)航和制導(dǎo)領(lǐng)域得到應(yīng)用，其潛在應(yīng)用方向包括小型飛行器、無人飛行器、無人水下潛艇、地面車輛、戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈等。本文從核磁共振陀螺靜磁場分布的理論分析出發(fā)，通過數(shù)學(xué)計(jì)算和計(jì)算機(jī)仿真，分析和研究了磁屏蔽罩對靜磁系統(tǒng)的影響，通過綜合調(diào)整螺線管與屏蔽罩的交互參數(shù)，對靜磁系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，同時還確認(rèn)了加工誤差對系統(tǒng)性能的影響。設(shè)計(jì)的核磁共振陀螺靜磁系統(tǒng)磁場優(yōu)于 1.11×10–5（均值3.69×10–6），較優(yōu)化前提高至少一個數(shù)量級，滿足核磁共振陀螺的使用需求。該工作為核磁共振陀螺儀設(shè)計(jì)和制造提供了一定的理論依據(jù)和參考價值。