【摘 要】 新一輪的數(shù)學(xué)課程改革提出六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.如何將提升學(xué)生的核心素養(yǎng)落實(shí)到位，是當(dāng)前中學(xué)教師亟需解決的問題.六大核心素養(yǎng)是在比較各國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)，研究國(guó)際數(shù)學(xué)教育發(fā)展，結(jié)合我國(guó)基礎(chǔ)教育的狀況下提出的，既繼承了上一輪課程改革的優(yōu)秀成果，又推動(dòng)了我國(guó)數(shù)學(xué)教育的國(guó)際化.課堂教學(xué)將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)到位，學(xué)生才能理解數(shù)學(xué).

【關(guān)鍵詞】 核心素養(yǎng)；直觀想象；截面；球

筆者在市教學(xué)研討會(huì)上執(zhí)教了一節(jié)高三理科復(fù)習(xí)課《球與幾何體的切接問題》，在備課的過(guò)程中深入思考教學(xué)中如何落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升學(xué)生對(duì)問題的理解和解決能力.立體幾何教學(xué)側(cè)重提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，備課中以高考真題為切入點(diǎn)，以數(shù)學(xué)方法為立足點(diǎn)，以提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為落腳點(diǎn).

1 分析高考真題，提煉關(guān)鍵信息

分析 （1）真題中與球相關(guān)的題目側(cè)重考查學(xué)生的空間想象能力，對(duì)作圖能力要求較高.表現(xiàn)在：五年高考7題中3題有圖，其中2題為三視圖問題.說(shuō)明高考題目要求學(xué)生必須能夠作出直觀圖，然后利用直觀圖分析問題，學(xué)生要有較強(qiáng)的幾何作圖能力；（2）以截面問題為主，需選擇恰當(dāng)?shù)慕孛娼鉀Q問題，考查平面化的方法；（3）幾何載體多變，以體積或表面積的計(jì)算為主.

結(jié)論 高考題目從“幾何作圖”和“分析圖形”兩個(gè)角度考查直觀想象核心素養(yǎng)，同時(shí)考查“邏輯推理”和“數(shù)學(xué)運(yùn)算”兩個(gè)核心素養(yǎng).

2 選擇典型例題，提煉數(shù)學(xué)方法

鑒于對(duì)高考真題的分析，例題的選擇具備以下兩點(diǎn)特征：（1）題目中通常無(wú)直觀圖；（2）能從多角度入手解決問題.

例1 球O與棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的各個(gè)面都相切，點(diǎn)M為棱DD1的中點(diǎn)，則平面ACM截球O所得截面的面積為（ ）.

A.4π3 B. π C. 2π3 D. π3

教學(xué)片段1：

師：同學(xué)們，你們解答這道題的困惑在哪里？

生（齊答）：不知道截面的位置.

師：截面的形狀是什么？

生（齊答）：圓.

小組合作交流：大家思考截面的準(zhǔn)確位置在哪里？（教師展示直觀圖）

生1：截面的形狀是圓，在O1點(diǎn)處與直線AC相切.

師：如何求出這個(gè)截面圓的半徑？請(qǐng)小組討論一下.

生2：在截面O1DMO中，△O1OM為直角三角形，求出OO2的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理得出半徑O1O2的長(zhǎng)度.

生3：在Rt△O1OM中，利用射影定理求.由OO12= O1O2×O1M得出半徑O1O2的長(zhǎng)度.

生4：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM為x軸，OO1為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.求出直線O1M和直線OO2的方程，聯(lián)立這兩條直線的方程得到O2的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式得出半徑O1O2的長(zhǎng)度.

師：很好！咱們同學(xué)利用解析法解決立體幾何問題，知識(shí)交匯，思路可嘉！請(qǐng)同學(xué)們思考，解決此類問題的關(guān)鍵是什么？

生5：首先，畫出直觀圖，選取合適的截面圖；然后，利用平面幾何知識(shí)解答.

師：點(diǎn)M的位置與所畫直觀圖正方體頂點(diǎn)字母順序的關(guān)聯(lián)程度很強(qiáng)，如果大家發(fā)現(xiàn)不容易看出截面圖時(shí)，就要重新畫圖，交換點(diǎn)M的位置.按照“畫出直觀圖——尋找截面圖——確定算法”三步走，此種類型的題目可快速解答！

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生有意識(shí)地去尋找截面圖，認(rèn)識(shí)球體中重要的三角形——球的半徑、球心到小圓面的距離、小圓的半徑構(gòu)成的直角三角形.體會(huì)勾股定理和射影定理在解決此類問題中的應(yīng)用.使學(xué)生對(duì)高考題形成初步感知，掌握問題求解的一般思路，重點(diǎn)強(qiáng)化平面化方法.

鞏固反饋 棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，E，F(xiàn)分別是棱AA1，DD1的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為（ ）.

A.22 B.1 C.1+22 D.2

設(shè)計(jì)意圖 強(qiáng)化學(xué)生在球中尋找截面和構(gòu)造重要直角三角形的意識(shí)，進(jìn)一步明確“構(gòu)造直角三角形”是解決此類問題的基本方法.

例2 （2009全國(guó)Ⅰ理15）直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于（ ）.

教學(xué)片段2：

師：請(qǐng)同學(xué)們作出直觀圖，尋找截面，并確定算法.

2分鐘后.

師：你解答此題的困惑在哪里？

生6：球心和截面小圓的半徑找不到.

師：換個(gè)角度想，直棱柱的外接球的球心位置在哪個(gè)平面內(nèi)？

生7：（討論后）球心在直棱柱高線的中垂面處.但是，具體的位置不好確定.

師：具體的說(shuō)，直棱柱的外接球的球心在上、下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)處.

師：那么，球心到小圓面的距離是否可以直接得出？

生7：距離為1.就是直棱柱側(cè)棱長(zhǎng)的一半.

生（齊）：哦……

師：我們已經(jīng)構(gòu)造了直角三角形，請(qǐng)同學(xué)們思考，如何求出△ABC外接圓的半徑？

生8：利用正弦定理求出.

設(shè)計(jì)意圖 幾何體的結(jié)構(gòu)特征可以為解題提供思路.基于直棱柱和球的結(jié)構(gòu)特征，本例中球心的位置可以“忽略”，球心到小圓面的距離就是直棱柱側(cè)棱長(zhǎng)的一半，小圓的半徑就是底面三角形外接圓的半徑，用勾股定理求得直棱柱的外接球半徑即可.熟練之后，此類問題便可以“以想代算”.同時(shí)，本例與正弦定理關(guān)聯(lián)，拓寬了解題視野.

鞏固反饋 已知三棱錐P-ABC，在底面△ABC中，∠CAB=60°，BC=3，PA⊥面ABC，PA=2，則此三棱錐外接球的半徑為（ ）.

設(shè)計(jì)意圖 本題的幾何體可以補(bǔ)體為直棱柱，然后采用例2的方法，快速找到球心到小圓面的距離，簡(jiǎn)化運(yùn)算.讓學(xué)生在解題的過(guò)程中體會(huì)補(bǔ)形的思想與類比的方法，提倡并鼓勵(lì)一題多解.

3 開展頭腦風(fēng)暴，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)

例3 四面體ABCD中，共頂點(diǎn)A的三條棱兩兩相互垂直，且其長(zhǎng)別分為1、6、3，若四面體ABCD的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)同在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為（ ）.

師：同學(xué)們思考，如何得到四面體ABCD外接球的半徑？

生9：因?yàn)樗拿骟wABCD中，共頂點(diǎn)A的三條棱兩兩相互垂直，可以構(gòu)造長(zhǎng)方體，從而得出外接球的直徑為2R=12+（6）2+32=4.

師：非常好！請(qǐng)同學(xué)們思考，哪種類型的四面體外接球問題可以構(gòu)造長(zhǎng)方體？

生10：共頂點(diǎn)的三條側(cè)棱兩兩垂直.

生11：共頂點(diǎn)的三個(gè)面互相垂直.

生12：底面為直角三角形，并且有一條側(cè)棱垂直于底面.

師：很好，還有嗎？

生（齊）：（沉默）沒有了.

師：（在長(zhǎng)方體中板演）三條棱順次首尾相連，且互相垂直，能否構(gòu)造長(zhǎng)方體？

生（齊）：……可以.

師：（在長(zhǎng)方體中板演）三組相對(duì)棱長(zhǎng)度分別相等的四面體，能否構(gòu)造長(zhǎng)方體？

生（齊）：……可以.

師：其實(shí)，只要是從長(zhǎng)方體中提取不共面的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四面體，都可以進(jìn)行如此“逆”操作，補(bǔ)體為一個(gè)長(zhǎng)方體.

師：請(qǐng)同學(xué)們對(duì)上述問題進(jìn)行歸納研究，并分析此四面體的體積與補(bǔ)體得到的長(zhǎng)方體的體積之間的關(guān)系？留作課后研究性學(xué)習(xí)，寫成小論文，展示交流.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)構(gòu)造幾何體得到問題的答案，本質(zhì)是“建立數(shù)學(xué)模型”和“解答數(shù)學(xué)模型”的過(guò)程，提升了學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).留給學(xué)生1個(gè)問題，讓學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，提升認(rèn)真鉆研的科學(xué)精神.

鞏固反饋 （快速搶答）已知正四面體的棱長(zhǎng)為2a，求這個(gè)正四面體外接球的半徑.

設(shè)計(jì)意圖 將構(gòu)造長(zhǎng)方體的問題遷移到構(gòu)造正方體的問題之中，平淡出奇，凸顯“模型化”方法的解題魅力.

4 幾點(diǎn)思考

4.1 課堂教學(xué)要“以人為本”提升核心素養(yǎng).

“以人為本”就是以促進(jìn)人的發(fā)展為本，注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提升.教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題和解決問題特別重要，但是學(xué)生能夠思維發(fā)散，創(chuàng)造性地提出新的問題，更加符合新時(shí)期“創(chuàng)新型”人才培養(yǎng)的格局.立體幾何教學(xué)，學(xué)生的空間想象力的提升是第一任務(wù)，學(xué)生學(xué)會(huì)分析立體圖形，能主動(dòng)構(gòu)造和使用幾何模型解題，幾何直觀素養(yǎng)才算得到提升.

4.2 課堂教學(xué)要將“知識(shí)學(xué)習(xí)”與“素養(yǎng)提升”并重.

學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是可發(fā)展、可提升的.教師備課中例習(xí)題的選擇要盡量入口寬泛，講解時(shí)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法.如立體幾何的教學(xué)，教師授課時(shí)注重多采用“舉例”、“建?！?、“類比”等方式對(duì)知識(shí)整合，提升空間想象能力.同時(shí)，“補(bǔ)體法”、“分割法”、“等體積法”、“平面化方法”、添加各種輔助線（或輔助平面）等都屬于立體幾何中的算法問題，是立體幾何教學(xué)中要提升的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng).

4.3 課堂教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)是“數(shù)學(xué)育人”.

數(shù)學(xué)教學(xué)既要教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，還要教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問題.即用數(shù)學(xué)的眼光看問題，用數(shù)學(xué)的理性思維分析問題，用數(shù)學(xué)的方法去解決問題.數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性影響人的一生，對(duì)樹立求真務(wù)實(shí)的價(jià)值觀非常有利.學(xué)生學(xué)習(xí)了有用的數(shù)學(xué)、能用的數(shù)學(xué)和會(huì)用的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育的核心價(jià)值才能夠得到體現(xiàn).

作者簡(jiǎn)介

崔文（1979—），男，中學(xué)數(shù)學(xué)一級(jí)教師，威海市教學(xué)能手，威海市教育名家工作室成員.主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究，在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》、《中國(guó)數(shù)學(xué)教育》、《數(shù)理天地》等期刊發(fā)表論文10余篇.