李杰 李爽 舒廣文

摘 要：“中心極限定理”在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的教學內容中具有承上啟下的重要意義。該定理內容抽象，形式復雜，教學效果很難令人滿意。以問題為導向的教學（problem-based learning，PBL）是一種以學生為中心的教學模式。目前，PBL模式在我國高等教育的課程教學中已有了較廣泛的應用，取得了較理想的教學效果。為嘗試將這種新的教學模式運用于“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的教學中，作者以“中心極限定理”章節(jié)為例，設計了基于PBL模式的教學過程。

關鍵詞：PBL模式；教學設計；中心極限定理

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）05-0106-03

Abstract： The "Central Limit Theorem" is of great significance in the teaching content of the course "Probability and Mathematical Statistics". The content of this theorem is highly abstract， and the form of this theorem is very complex. Therefore， the teaching effect is difficult to be satisfactory. Problem-based learning （PBL） is a student centered teaching model. At present， the PBL model has been widely used in the course teaching of higher education in China， and has achieved an ideal teaching effect. In order to apply this new teaching mode to the teaching of "Probability and Mathematical Statistics"， we have designed a teaching process based on PBL mode， taking "Central Limit Theorem" as an example.

Keywords： PBL model； teaching design； Central Limit Theorem

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是研究與隨機現(xiàn)象相關的數(shù)量規(guī)律的學科，也是高等學校理工科專業(yè)的通識必修課之一?！案怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計”的潛在應用領域十分廣泛，幾乎遍及學術研究和日常生活的方方面面。通過本課程的學習，學生可以培養(yǎng)運用概率論的思想觀察、處理隨機事件的能力，培養(yǎng)運用統(tǒng)計學方法從數(shù)據(jù)資料中發(fā)現(xiàn)潛在規(guī)律的能力。由此可見，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的學習效果對于理工科學生的專業(yè)能力培養(yǎng)具有重要意義。“中心極限定理”在本課程的全部教學內容中具有承上啟下的重要意義。該定理內容抽象，形式復雜，既是本課程教學的重點，也是難點。在實際教學過程中，相當部分學生不能理解定理的內容，只能通過生搬硬套定理的數(shù)學形式來解答習題。如何提高“中心極限定理”章節(jié)的教學效果，是每一個參與該課程教學的教師都應該積極思考的問題。

以問題為導向的教學（problem-based learning，PBL），簡稱PBL，是一種以學生為中心的教學模式[1，2]。基于PBL模式的教學主要包括以下幾個環(huán)節(jié)。首先，教師根據(jù)所要講授的教學內容，給學生提出一個需要解決的問題，這個問題可以被稱為驅動問題。驅動問題的答案與教師的教學目標緊密相關。接下來，學生對驅動問題展開探究，嘗試在教師的指導下自主解決這個問題。最后，學生通過自主探索，解決問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握教學內容。同時，在解決問題的過程中，學生也鍛煉了分析問題和解決問題的能力[3，4]。目前，PBL模式在我國高等教育的課程教學中已有了較廣泛的應用[5]。為嘗試將這種新的教學模式運用于“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的教學中，筆者以“中心極限定理”章節(jié)為例，設計了基于PBL模式的教學過程。本次教學設計所使用的教材是目前被各個高校廣泛采用的浙大編高教版“十一五”國家級規(guī)劃教材[6]。

一、“中心極限定理”的主要教學內容

本節(jié)的主要教學內容為中心極限定理的兩種形式——獨立同分布的中心極限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。其中，獨立同分布的中心極限定理是中心極限定理的基本形式。棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理是將其基本形式運用于服從兩點分布的總體時的特殊情形。

本節(jié)教學內容的重點，是中心極限定理所傳達的統(tǒng)計規(guī)律。值得注意的是，定理的內容是基礎，數(shù)學形式只是表達定理內容的載體。學生在學習本節(jié)教學內容時，應該先理解定理內容，在理解定理內容的基礎上推導定理的數(shù)學形式。由于不少學生在長期以來學習數(shù)學的過程中，養(yǎng)成了“背公式”的學習習慣，以為只要記住了定量的數(shù)學形式，在解題時加以套用就可以了。但是，由于中心極限定理的數(shù)學形式復雜，如果只是簡單地記憶公式，則往往不能準確掌握公式中每一項的含義。這樣，就難以收到良好的學習效果。針對這一問題，結合PBL模式的基本教學環(huán)節(jié)，教師對本節(jié)內容的教學過程進行了如下設計。

二、基于PBL模式的“中心極限定理”教學設計

（一）理解樣本均數(shù)與總體均數(shù)的不同屬性

獨立同分布的中心極限定理主要敘述的是當抽樣次數(shù)足夠多時，樣本均數(shù)的分布規(guī)律。只有隨機變量，才存在分布的問題。因此，要理解這個定理，就需要理解樣本均數(shù)的隨機變量屬性。因此，教師一開始就提出驅動問題——什么是總體？什么是樣本？總體均數(shù)是常數(shù)還是隨機變量？樣本均數(shù)是常數(shù)還是隨機變量？為什么？總體均數(shù)和樣本均數(shù)雖然同為“均數(shù)”，但這兩個均數(shù)的屬性是不同的?？傮w均數(shù)的取值與抽樣的具體情況無關，因此，總體均數(shù)是常數(shù)。而樣本均數(shù)會隨著抽樣具體情況的不同而不同。因此，樣本均數(shù)是隨機變量。教師希望學生通過思考驅動問題，深刻理解樣本均數(shù)的隨機變量屬性。

（二）計算與理解樣本均數(shù)的數(shù)學期望和方差

既然樣本均數(shù)是隨機變量，那么，這個隨機變量的數(shù)學期望和方差又應該是多少呢？教師提出深一層的驅動問題——從均數(shù)為μ，方差為σ2的總體中隨機抽取n個相互獨立的樣本。則這n個樣本的樣本均數(shù)的數(shù)學期望和方差分別是多少？此處，要向學生強調樣本和總體是服從相同分布的。因此，樣本的數(shù)字特征就是總體的數(shù)字特征。在此基礎上，學生就可以根據(jù)數(shù)學期望和方差的性質，計算出結果——樣本均數(shù)的數(shù)學期望與總體均數(shù)相同，方差為總體均數(shù)的1/n。盡管計算過程非常簡單，但相當部分學生不能準確地理解這一結論。主要問題在于，求數(shù)學期望具有求均數(shù)的意味，而在這個問題中，求均數(shù)的對象恰好又是“樣本的均數(shù)”。從問題的表述形式上來看，題目求的是“均數(shù)的均數(shù)”，理解起來確實可能存在困難。但是，如果學生能深刻理解樣本均數(shù)的隨機變量屬性，就不難破解“均數(shù)的均數(shù)”這一“障眼法”。其中的第一個“均數(shù)”是一個隨機變量，第二個“均數(shù)”是隨機變量的數(shù)字特征。

（三）理解獨立同分布中心極限定理的核心內容——樣本均數(shù)的分布

在求出樣本均數(shù)的數(shù)字特征的基礎上，教師進一步提出驅動問題——樣本均數(shù)應該服從的分布是什么？學生通過閱讀教材，不難給出這個問題的答案——當抽樣次數(shù)足夠多時，樣本均數(shù)服從的分布是正態(tài)分布。在此基礎上，學生不難分析得出教材上獨立同分布的中心極限定理的原始數(shù)學形式中各項的準確含義。為了檢驗學生是否準確理解了中心極限定理的內容，教師繼續(xù)提出驅動問題--如何只用文字，不用符號來表述中心極限定理？通過解答這一問題，學生可以獲得對中心極限定理的更深層次的理解。解決這一問題的難點，在于如何用文字解釋樣本均數(shù)服從正態(tài)分布這一較為抽象的內容。通過積極思考和反復地討論，多數(shù)的學生都將能夠最終寫出一個比較令人滿意的文字表述。不妨可以用以下文字來敘述中心極限定理的內容。從均數(shù)為μ，方差為σ2的總體（原總體）中隨機抽取n個相互獨立的樣本。抽樣一次，可得一個樣本均數(shù)。當抽樣次數(shù)足夠多時，大量的樣本均數(shù)可以構成一個新的總體（樣本均數(shù)的總體）。無論原總體服從什么樣的分布，樣本均數(shù)的總體一定服從正態(tài)分布。且新總體的總體均數(shù)與原總體相同，方差縮減為原總體的1/n。通過以上三個階段的PBL模式下的教學，學生獲得了對教材上獨立同分布的中心極限定理的認識。教師首先把定理的內容分解為三個層次——樣本均數(shù)的隨機變量屬性、樣本均數(shù)的數(shù)學期望與方差以及樣本均數(shù)的分布。針對每一個層次，教師有針對性地提出了驅動問題。學生在驅動問題的啟發(fā)下自主思考問題，習得預定的教學內容。在PBL模式下，學生在整個學習過程中占主導地位，這有利于發(fā)揮學生學習的主觀能動性，取得理想的教學效果。

（四）布置隨堂練習題，鞏固中心極限定理的基本形式

教師布置隨堂練習題如下：用機器對某種新藥口服液裝瓶，由于裝瓶有誤差，所以每瓶新藥口服液的凈重為一隨機變量，其期望值為100克，標準差為10克?，F(xiàn)一箱中裝有口服液200瓶，試求一箱口服液的凈重超過20500克的概率。剛剛接觸“中心極限定理”知識的學生可能對這道習題一籌莫展。教師應首先與學生一起讀題，幫助學生理解題意。就題目中的信息，教師可向學生提出以下驅動問題。題目中涉及的總體是什么？總體所服從的分布是否已知？總體參數(shù)是什么？哪些已知，哪些未知？樣本是什么？樣本容量是多大？題目關心的是樣本均數(shù)的分布還是樣本總數(shù)的分布？通過仔細閱讀習題內容，學生容易得到這些問題的答案?？傮w是這臺機器裝配的所有的新藥口服液的重量。但是，總體所服從的分布是未知的。與總體相關的參數(shù)有兩個，即總體的均數(shù)和標準差。這兩個量都是已知的，均數(shù)為100克，標準差為10克?？蓪ⅰ耙幌淇诜骸笨闯墒莵碜钥傮w的樣本。即從這個總體中，隨機抽取了一組樣本容量為200的樣本。題目關心的應該是樣本總數(shù)的分布，如果知道了樣本總數(shù)的分布，就容易求出題目要求的概率。學生通過回答這些問題，可以有效地加深對知識的理解與掌握。在教學過程中，教師應注意觀察學生對問題的反應。如果學生回答問題有困難，教師應對定理的相關內容進行強化講解。學生在上述驅動問題的引導下，可以通過“中心極限定理”，得出口服液總重量應服從的分布——均數(shù)為200×100=20000，方差為200×10×10=20000的正態(tài)分布。最后，利用標準正態(tài)分布的分布函數(shù)可以求出最終結果。通過解答這道課堂練習，學生可鞏固對中心極限定理基本形式的認識。借用該題中的實例，學生可以更好地理解定理中的樣本均數(shù)、總體均數(shù)、以及樣本均數(shù)的分布等項的含義。

（五）推導并理解中心極限定理的拉普拉斯形式

在理解獨立同分布的中心極限定理內容的基礎上，教師繼續(xù)向學生提出驅動問題——從服從兩點分布B（1，p）的總體中隨機抽取n個相互獨立的樣本，則樣本均數(shù)的分布是什么？如何解釋樣本均數(shù)的分布？對于第一個問題，學生容易得到答案——樣本的均數(shù)服從均數(shù)為p，方差為p（1-p）/n的正態(tài)分布。要理解這個分布，首先要理解的是來自二項分布總體的樣本均數(shù)的實際意義。通過思考和交流，學生可以發(fā)現(xiàn)，樣本均數(shù)是一個比例，這個比例是“樣本率”，即頻率。進一步地不難發(fā)現(xiàn)，總體均數(shù)也是一個比例，只不過這個比例是“總體率”，是概率。因此，在針對兩點分布的總體這一特殊的情形下，樣本均數(shù)的分布規(guī)律可解釋為頻率在概率附近波動，樣本容量越大，波動程度越小。這也就是在概率論中用大量重復實驗中的頻率代替概率的理論基礎。在獲得了這些認識以后，學生就可以自然而然地理解教材中棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的數(shù)學形式以及其中每一項的含義。

（六）布置隨堂練習題，鞏固中心極限定理的拉普拉斯形式

教師布置隨堂練習題如下：根據(jù)孟德爾遺傳理論，紅、黃兩種番茄雜交第二代紅果植株和黃果植株的比例為3：1，現(xiàn)種植雜交種400株，試求其中的黃果植株在84和117之間的概率。就題目中的信息，教師仍然向學生提出以下驅動問題。題目中涉及的總體是什么？總體所服從的分布是否已知？總體參數(shù)是什么？哪些已知，哪些未知？樣本是什么？樣本容量是多大？題目關心的是樣本均數(shù)還是總數(shù)的分布？在本題中，多數(shù)學生不能直接從題目給予的信息中讀出總體的相關信息。但是，容易知道本題中涉及的樣本為400株雜交種植株，它們要么是紅果植株，要么是黃果植株。因此，樣本服從的分布應為兩點分布。如果設計數(shù)隨機變量Xi的取值由下式給出：

Xi=0 第i個植株非黃果植株1 第i個植株為黃果植株

則黃果植株的總數(shù)X=X1+X2+…+X400。

所以，本題最終要求解的概率與樣本總數(shù)的分布有關。

到此，學生對于本題中所涉及的樣本，已經獲得了較為全面的認識。然而，總體是什么？總體服從的分布是什么？總體相關的參數(shù)是什么？學生尚不能準確地把握。這時，教師應提醒學生——樣本是來自總體的樣本，故總體和樣本應服從相同的分布。樣本的分布為p=1/4的兩點分布，故總體也應服從p=1/4的兩點分布。由兩點分布的性質，其數(shù)學期望為1/4，方差為3/16。由中心極限定理，400個來自兩點分布總體的樣本的和的分布均數(shù)為400×1/4=100，方差為400×3/16=75的正態(tài)分布。最后，利用標準正態(tài)分布的分布函數(shù)可求出最終結果。進一步地，教師繼續(xù)向學生提出如下驅動問題。在本例中，總體均數(shù)、樣本均數(shù)以及樣本均數(shù)的分布分別有何意義。學生通過思考可以知道，總體均數(shù)是黃果植株出現(xiàn)的概率（總體率），而樣本均數(shù)是黃果植株在本次抽樣中出現(xiàn)的頻率（樣本率）。由中心極限定理，頻率應在概率附近波動，且樣本容量越大，波動程度越小。本題比前一題相對要難一些。主要難在本題中的總體參數(shù)不是直接告訴學生的，而是需要學生通過分析樣本的特征來進行求解的。通過解答這道練習題，學生可鞏固對中心極限定理拉普拉斯形式的認識。

三、關于“中心極限定理”章節(jié)教學方法的探討

（一）注重對中心極限定理內容的理解

數(shù)學是一種抽象的語言。書寫數(shù)學公式的最終目的是將數(shù)學規(guī)律的具體內容以一種簡單的形式呈現(xiàn)出來。對于較簡單的數(shù)學公式，學生一般容易理解。但是，中心極限定理的數(shù)學形式比較復雜，初學者一般難以直接從數(shù)學公式的形式來把握定理的內容。因此，在講授這一部分內容時，教師應首先將數(shù)學形式背后要傳達的信息逐步地傳授給學生。在學生基本了解了這個定理的內容之后，再向學生介紹定理的數(shù)學形式。這樣，就可以有效避免學生在學習過程中的死記硬背和生搬硬套，從而提高教學效果。

（二）注重學與練的有機結合

及時練習對于本部分內容的學習具有重要意義。因此，教師應拿出一部分課堂時間，讓學生當堂操練所學的內容。對布置給學生的練習題，教師要認真地給學生解釋題意，分析題目中給出的數(shù)量與中心極限定理內容的對應關系，輔導學生完成習題。將自主練習穿插在課堂教學中，既有利于調動學生的主觀能動性，也有利于學生在教師的指導下實現(xiàn)知識內化。

（三）注重學習過程中的師生互動

著名教育學專家鐘啟泉先生強調：“在課堂教學中，教師與學生、學生與學生之間就教材文本和生活體驗為媒介展開相互溝通，學生唯有通過這種溝通，才能習得種種知識”[7]。由此可見，課堂教學中的師生以及生生交流對于教學效果的提高具有舉足輕重的作用。在教學過程中，教師應針對教學內容的重難點，反復提出問題，要求學生回答。師生互動形式不拘，既可以是教師指定學生回答，也可以是學生一起回答。這樣既有利于教師掌握學生的學習情況，也有利于學生實現(xiàn)知識的內化。

（四）注重現(xiàn)代教育技術與傳統(tǒng)板書教學的有機結合

在課堂教學中使用多媒體工具是當代教育發(fā)展的大趨勢。多媒體工具的優(yōu)越性是將動態(tài)和直觀的過程形象地展示給學生。通過多媒體工具，學生容易在較短時間內對較復雜的過程產生直觀的印象。但是，長時間觀看多媒體也容易給學生學習造成負面影響。還值得注意的是，多媒體的播放速度往往快于大多數(shù)學生接受信息的速度。因此，多媒體工具往往不適合用于推導成分比較重的教學。在教學實踐中，如果用多媒體工具直接放映“中心極限定理”的數(shù)學表達式這一方式來進行教學，多數(shù)學生可能難以獲得對定理內容的基本認識。在“中心極限定理”章節(jié)中，可以用多媒體技術來呈現(xiàn)“原總體”和“樣本均數(shù)組成的總體”兩個總體之間的相互關系。與中心極限定理相關的推導計算則最好采用傳統(tǒng)的板書形式進行教學。

參考文獻：

[1]張碩非，胡榮黨.PBL和CBL教學方法在口腔正畸學中應用的比較[J].高教學刊，2015，20：64-67.

[2]張屹，陳珍，白清玉，等.基于移動終端的PBL教學對小學生元認知能力的影響研究——以小學科學課程“地球的運動”為例[J].中國電化教育，2017，366：79-87.

[3]汪青.國內醫(yī)學院校PBL教學模式的應用現(xiàn)狀及問題剖析[J].復旦教育論壇，2010，8：88-91.

[4]王云，崔彩霞，王麗琴.基于Moodle平臺的PBL教學模式研究——以山西師范大學“現(xiàn)代教育技術”公共課為例[J].電化教育研究，2014，257：98-101.

[5]楊禮芳，范國正，朱艷平.護生對護理程序不同步驟PBL教學法的評價[J].高教學刊，2016，33：86-87.

[6]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第四版）[M].高等教育出版社，2008.

[7]鐘啟泉.概念重建與我國課程創(chuàng)新——與《認真對待“輕視知識”的教育思潮》作者商榷[J].北京大學教育評論，2005：48-57.