范迪 高潔 祁亞萍 薛立勤 張麗麗

摘 要：拉氏變換、傅里葉變換、Z變換是工程類專業(yè)重要、基本的數(shù)學(xué)工具，是相關(guān)科目教學(xué)中的重點(diǎn)和關(guān)鍵。但由于其理論性強(qiáng)，故也是教學(xué)的難點(diǎn)。文章比較系統(tǒng)地對(duì)所涉及的幾種變換及其相互關(guān)系進(jìn)行剖析、歸納和總結(jié)，從時(shí)域、變換域細(xì)致地進(jìn)行描述和呈現(xiàn)，旨在使學(xué)生對(duì)它們的本質(zhì)和內(nèi)在關(guān)聯(lián)有更深入的認(rèn)識(shí)和理解。

關(guān)鍵詞：拉氏變換；傅里葉變換；Z變換；時(shí)域；變換域；變換間的關(guān)系

中圖分類號(hào)：G640 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2018）14-0106-03

Abstract： Laplace transform， Fourier transform and Z transform are important and basic mathematical tools for engineering majors， and they are the key points in teaching related subjects. However， due to its theoretical strength， it is also a difficult point in teaching. This paper systematically analyzes several kinds of transformations， summarizes their interrelationships and describes and presents them in detail from the time domain and the transformation domain. The purpose is to enable students to have a deeper understanding of their nature and intrinsic connections.

Keywords： laplace transform； fourier transform； Z transform； time domain； transform domain； relationship between transforms

一、概述

積分變換是電子信息工程、通信工程、自動(dòng)化、電氣工程等工科專業(yè)主要的數(shù)學(xué)工具。對(duì)連續(xù)信號(hào)和系統(tǒng)而言，主要有拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換，Laplace Transform， LT）、連續(xù)信號(hào)的傅里葉變換（Continuous Time Signal Fourier Transform，CTFT）、連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)（Continuous Time Fourier Series，CTFS）。對(duì)時(shí)域離散信號(hào)而言，主要有序列的傅里葉變換（Discrete Time Signal Fourier Transform， DTFT）、周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)（Discrete Fourier Series，DFS）、離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform， DFT）和Z變換（ZT）。[1-7]

變換開啟了觀察和分析信號(hào)與系統(tǒng)的新視角。它可把信號(hào)和系統(tǒng)從時(shí)域或空域等原域變換到s域、z域、頻域等變換域中，在變換域中，信號(hào)和系統(tǒng)呈現(xiàn)出了在原域中難以觀察到的特性和特點(diǎn)。因而，一般來說，信號(hào)或系統(tǒng)在時(shí)域或空域的表達(dá)形象與直觀，易于理解；在s域、z域或頻域等中的表達(dá)則更為抽象和簡(jiǎn)練，剖析問題也更為深刻和方便。而事實(shí)上，越來越多的信號(hào)分析或者復(fù)雜信號(hào)分析更多地需要在變換域進(jìn)行。

然而，越來越重要和有用的幾種變換，由于其數(shù)學(xué)理論性強(qiáng)，教師授課及學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，往往在講清楚說明白上，在學(xué)明白和會(huì)應(yīng)用上存在較大的難度，致使相關(guān)科目的教學(xué)，如《信號(hào)與系統(tǒng)》、《數(shù)字信號(hào)處理》、《數(shù)字圖像處理》等，一直以來處于難教難學(xué)的狀態(tài)。[8，9]本論文系統(tǒng)地對(duì)這幾種變換及其相互之間的關(guān)系進(jìn)行剖析，旨在使相關(guān)老師和學(xué)生借助幾種變換間關(guān)系的描述，對(duì)它們的本質(zhì)和內(nèi)部之間的關(guān)聯(lián)有比較深刻的認(rèn)識(shí)和理解，從而解決了相關(guān)科目教學(xué)中的難題。

四、結(jié)束語

拉氏變換、傅里葉變換、Z變換是信號(hào)與系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)處理及數(shù)字圖像處理等課程中重要的數(shù)學(xué)工具，能把信號(hào)從時(shí)域或空域轉(zhuǎn)換到頻率、復(fù)頻域或者Z域等變換域，實(shí)際上就是從另一個(gè)視角來呈現(xiàn)信號(hào)的特點(diǎn)。但由于其數(shù)學(xué)理論性強(qiáng)，致使相關(guān)科目的教學(xué)一直存在較大難度。

本文比較系統(tǒng)地對(duì)幾種變換及其相互關(guān)系進(jìn)行歸納和總結(jié)，從時(shí)域、變換域角度分別描述它們的特點(diǎn)及之間的關(guān)系，借助這些關(guān)系的描述，使讀者對(duì)幾種變換的本質(zhì)和內(nèi)部之間的關(guān)聯(lián)有比較深刻的認(rèn)識(shí)和理解，對(duì)后續(xù)利用這幾種變換分析信號(hào)和系統(tǒng)將有較大的幫助。

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