祁國敏

摘要：數(shù)學多元表征就是指同一數(shù)學學習對象的言語化表征、視覺化表征、操作化表征等多種外在表征形式。在研究中，言語化表征主要是指：口頭語言、書面語言、形式化的符號語言等；視覺化表征主要是指：教具模型、實物情景、形態(tài)手勢、圖形、圖表、圖像、組織結(jié)構(gòu)圖等；操作化表征是指：學生自己動手操作的數(shù)學實驗、日常生活實踐、教師有目的地組織體驗等活動。數(shù)學教學中往往需要借助多元表征來提高小學生的數(shù)學理解能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學；多元表征；理解力

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）04-0113

在日常教學中，有些概念看似很簡單，生活中很常見，或者一道數(shù)量關(guān)系并不復(fù)雜的問題，教師在課堂上反反復(fù)復(fù)說了很多遍，學生在學習過程中依然似懂非懂，最后，有些教師沒辦法了，就強行學生進行模仿或者大量的機械訓(xùn)練從而達到正確解決問題的目的。如此的教學，從學習心理學角度，教師發(fā)現(xiàn)學生并沒有從認知的本質(zhì)角度去理解知識，更談不上利用自己已有的信息去主動建構(gòu)知識；從課堂效益角度，這樣的課堂顯然是低效的，學生思維發(fā)展的空間受到極大的抑制，無法生成學生自己的數(shù)學智慧。

研究顯示，對數(shù)學知識的理解大體上經(jīng)歷了經(jīng)驗型認識階段、形式化認識階段、關(guān)系型認識階段和觀念型認識階段4個層次水平。也可用以下數(shù)學理解層次模型來描述學習者數(shù)學理解逐步深入的過程。

在教學中在查閱文獻的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)多元表征能幫助學生提高數(shù)學理解力。多元表征是數(shù)學學習對象的各種不同具體形式，內(nèi)在表征是學生對外在表征內(nèi)化的各種心智表征。外在表征與內(nèi)在表征之間存在著密切關(guān)聯(lián)，外在表征的形式與結(jié)構(gòu)深刻影響著學生對數(shù)學的理解，內(nèi)在表征的水平影響外在表征的內(nèi)化程度。

一、借助多元表征提高學生對數(shù)感的認識的方法

數(shù)感是小學生必須具備的數(shù)學能力之一，是指數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。良好的數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。數(shù)感是對數(shù)的一種感悟，它不會像知識、技能的習得那樣立竿見影，它需要在教學中潛移默化，積累經(jīng)驗，經(jīng)歷一個建立、發(fā)展、感悟的過程。為此，在日常教學中幫助學生建立良好的數(shù)感十分重要。

比如在一年級《數(shù)字規(guī)律》這一課中，這節(jié)課的數(shù)學本質(zhì)就是發(fā)展學生的數(shù)感。對于一年級的學生來講，如何更好地理解“數(shù)感”這一抽象的數(shù)學概念，無疑借助多元表征，幫助學生感悟數(shù)感將會是一個非常好的教學手段。

上課伊始，筆者創(chuàng)設(shè)了這樣一個情境：小兔子在家玩拼圖形的游戲。

然后問學生：小兔子這幾次拼的圖形一樣嗎？有什么變化？大部分同學的第一反映都是直觀的看出拼的圖形也越來越多了。少部分同學能夠關(guān)注到正方形的個數(shù)，當學生關(guān)注到正方形的個數(shù)的時候，筆者會帶著學生數(shù)一數(shù)，讀一讀。這一環(huán)節(jié)主要是通過圖形表征、語言表征使學生對數(shù)列的規(guī)律有一個初步的感悟。接著讓學生通過不同的表征形式把自己所理解的多3表示出來?？梢匀σ蝗Α⑼恳煌?、寫一寫、算一算。在這里面學生的理解水平也是不同的。

水平1：只能在圖中圈出多3。

水平2：能在圖中和數(shù)列中找到3，但表達不清、不全。

水平3：能在圖中和數(shù)列中找到3，并清楚準確表達出來。

水平4：能在圖中和數(shù)列中找到3，并清楚準確表達出來，能比較清楚地加以概括。

當學生通過不同的表征形式找到這列數(shù)的規(guī)律后，教師組織學生大聲的朗讀規(guī)律，分組讀、重點讀，幫助學生更加深刻地記憶變化數(shù)列中不變的規(guī)律，潛移默化的發(fā)展學生的數(shù)感。

二、借助多元表征理解數(shù)學概念的方法

數(shù)學概念揭示物質(zhì)的本質(zhì)、屬性與共同特征，具有抽象性、復(fù)雜性、嚴密性，并蘊含著豐富的內(nèi)涵，具有固定和同化新知識的功能。一切的數(shù)學規(guī)則的研究、表達與應(yīng)用都離不開數(shù)學概念，它是數(shù)學的基礎(chǔ)，是學生計算能力提高，空間觀念形成，思維能力發(fā)展的前提和重要保證。學習數(shù)學的過程就是一個不斷運用數(shù)學概念進行比較、分析、綜合、概括、判斷、推理的思維過程。因此數(shù)學概念的教學是數(shù)學教學的核心，有著極其重要的地位。

《有余數(shù)的除法》是一節(jié)概念教學的課。概念教學不僅要幫助學生建立概念的多元表征，而且要根據(jù)需要與情境在外在表征的不同成分之間做出靈活的轉(zhuǎn)換。

在教學中，教師是借助動作、語言、符號等多種表征方式之間的轉(zhuǎn)化來幫助學生理解余數(shù)及有余數(shù)除法的含義的。

本節(jié)課中，以學生熟悉的用小棒擺圖形的情境引入新課并把這個活動貫穿始終。教學中，每組學生拿到的小棒根數(shù)是不同的，有10根的、11根的和12根的。學生通過小組分工來擺圖形，擺完后和小組交流自己用了幾根小棒擺了什么圖形，有沒有剩余。在這一環(huán)節(jié)，學生主要是通過動作表征和語言表征來初步感受余數(shù)的含義。

接著在分組匯報階段，主要分了三個層次。

第一個層次是用10根小棒擺圖形的同學，邊擺邊說。用10根小棒擺圖形時，如果擺五邊形，小棒正好用完，沒有剩余。

第二個層次是讓用12根小棒擺圖形的同學交流匯報。學生在交流的過程中，通過語言描述自己的操作過程。

第三個層次是用11根小棒擺圖形的同學進行匯報。

當三組同學都匯報完以后，教師引導(dǎo)學生對擺圖形的結(jié)果進行分類。因為有了前面的學習基礎(chǔ)，學生很自然的分成兩類，一類正好分完，沒有剩余。一類有剩余。當學生通過操作表征擺了圖形，借助語言表征描述擺圖形的過程以后，進入到算式表征。當學生用除法算式表達完自己的想法以后，追問：“為什么用除法計算呢？”因為是平均分，揭示了本節(jié)課的數(shù)學本質(zhì)。

這樣通過構(gòu)建圖形、語言、符號三種表征之間的聯(lián)系，多種表征之間相互轉(zhuǎn)換，幫助學生理解余數(shù)及有余數(shù)除法的含義。

三、借助多元表征幫助學生理解算理的方法

長期以來，在應(yīng)試的背景下，數(shù)學教學往往偏重于以達到立竿見影的顯性效果為目的的熟練性訓(xùn)練（如題型的強化訓(xùn)練），而忽略促使學生生動活潑地學習與發(fā)展的長效性目標。特別是在計算教學中，教師往往是通過大量的練習來幫助學生掌握算法，而忽視了計算的真諦——算理的理解。

以《兩位數(shù)加一位數(shù)進位加法》為例，本節(jié)課為了幫助學生理解算理，筆者不僅為他們提供了小棒，這一他們非常熟悉的學習工具，還提供了方格紙?？此坪唵蔚膬煞N學具的介入，實際上是在向?qū)W生滲透學習數(shù)學的方法。而計算方法的多樣，使學生的思維處于活躍的狀態(tài)，并且計算方法是學生通過操作得到的，而不是教師填鴨式地講授，學生機械的記憶，這樣的學習為后續(xù)學習兩位數(shù)加兩位數(shù)的計算積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，學會獨立探究和遷移。

總之，多元表征對學生的數(shù)學理解是重要的。視覺化多元表征，如果不配合強有力的教學設(shè)計或教學提示，內(nèi)化表征的生成，也會大打折扣。數(shù)學理解離不開多元表征的學習，更離不開多元表征的教學，使得“教學多元表征有效地轉(zhuǎn)化為學生內(nèi)在的多元表征，形成良好的認知結(jié)構(gòu)”。

參考文獻：

[1] 黃燕玲，喻 平.對數(shù)學理解的再認識[J].數(shù)學教育學報，2002（3）.

[2] 李淑文，張同君.超回歸數(shù)學理解模型及其啟示[J].數(shù)學教育學報，2002（1）.

[3] 于新華，楊 之.數(shù)學理解的層次性及其教學意義[J].數(shù)學教育學報，2005（2）.

（作者單位：北京市京源學校小學部 100000）