呂曉蝶

摘 要 數(shù)列是高中數(shù)學的重要組成部分，有關數(shù)列的知識又分為等差數(shù)列和等比數(shù)列。本文重點介紹了有關等差數(shù)列在高考中的3個核心考點，并且給出了典型例題進行解析。

關鍵詞 等差數(shù)列 前n項和 考點

1考點一：有關等差數(shù)列運算的求解方法

考點解析：（1）等差數(shù)列的通項由首項和公差構成，所以有關等差數(shù)列的運算都要圍繞首項和公差進行。（2）對于等差數(shù)列的問題，一般題目都會給出兩個條件，利用這兩個條件就能求解出首項和公差。（3）在解題過程中，特別注意的是設元技巧，例如三個數(shù)如果成等差數(shù)列，則可設置為，若四個數(shù)成等差數(shù)列，則可設置為。

例1：設是首項為，公差為的等差數(shù)列，為其前項和，若成等比數(shù)列，則為多少？

解析：此題涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列的相關知識，首先用首項和公差將表示出來，再利用條件成等比數(shù)列，列出等式即可求解出等差數(shù)列的公差。

解：等差數(shù)列中，

又成等比數(shù)列，則有

即

因為，帶入上式，即

解得或，又因為

故。

2考點二：等差數(shù)列的判定與證明

考點解析：（1）要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，有兩種基本方法：其一，利用等差數(shù)列的定義證明，即證明；其而利用等差中項的性質證明，即證明。（2）要判定一個數(shù)列是等差數(shù)列，可以直接用通項法或者前n項和直接判定。

例2：已知數(shù)列滿足

（1）設，求證；數(shù)列為等差數(shù)列，并求出通項。

（2）設，數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得對于恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由。

解析：（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，需要運用等差數(shù)列的定義來證明；再根據(jù)已知條件求解通項。（2）是否存在正整數(shù)，使得不等式恒成立，則需要先求解出，再根據(jù)不等式性質討論是否存在。

解：（1）證明：因為

所以，數(shù)列是以公差為2的等差數(shù)列

又所以

所以，解得

（2）由（1）可得

所以，因此數(shù)列的前項和為

要使得對于恒成立，只要

即，

解得或

3考點三：等差數(shù)列前n項和的最值問題

考點解析：求等差數(shù)列前n項和的最值方法，其一，二次函數(shù)法，將看作關于n的二次函數(shù)，運用配方法，借助函數(shù)的單調性及數(shù)形結合使問題得解；其二，通項公式法，求使成立的最大值即可得的最大值；其三，不等式法，利用不等式性質求最值問題。

例3：在等差數(shù)列中，已知，前項和為且，當取何值時，取得最大值？并求出它的最大值。

解析：首先根據(jù)已知條件和確定公差，再利用通項公式法確定成立的最小值，最后求解出最大的。

解：因為和

所以，，

所以，

所以，

因此，當時，；當時，

所以，當或時，取得最大值，且得最大值。

4小結

本文介紹了高考中有關等差數(shù)列的考點，主要有等差數(shù)列運算的求解方法；等差數(shù)列的判定與證明；以及等差數(shù)列前n項和的最值問題。并且通過典型例題對相應考點進行了解析。

參考文獻

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[2] 劉巍.等差數(shù)列前n項和教學設計[J].昭通師范高等?？茖W校學報，2011，33（S1）：63-65.