吳竹月

解決問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本形式?！度巳岁P(guān)注數(shù)學(xué)教育的未來(lái)》指出：數(shù)學(xué)提供了有特色的思考方式，包括建立模型，抽象化、最優(yōu)化、邏輯分析、從數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷以及運(yùn)用符號(hào)等，它們是普遍適用并且強(qiáng)有力的思考方式。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要授之以漁，有意識(shí)地“教會(huì)青年人去思考”，培養(yǎng)學(xué)生“有益的思考方式及應(yīng)有的思維習(xí)慣”，把數(shù)學(xué)思考貫穿于解決問(wèn)題的始終，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)，認(rèn)識(shí)并逐步掌握數(shù)學(xué)思考方式，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，為學(xué)生自主探索解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、形象化思考方式

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，題意不夠直觀清晰，可以借助形象化的直觀圖形把題中的條件和問(wèn)題表示出來(lái)，再對(duì)照?qǐng)D形分析，從而發(fā)現(xiàn)題中的數(shù)量關(guān)系，尋找到解決問(wèn)題的方法。

例1 一根鐵絲剪去12米后，又用去了余下的，還剩下36米。這根鐵絲原來(lái)長(zhǎng)多少米？

分析：根據(jù)題意，可以畫出如下線段圖，將題中的條件和問(wèn)題清楚地表示出來(lái)。從圖中可以很容易看出：“用去余下的”后，“還剩下36米”相當(dāng)于余下的（1-）=，根據(jù)數(shù)量關(guān)系“余下鐵絲長(zhǎng)×=36米”，可以列式求出余下鐵絲長(zhǎng)36÷=60（米）。所以，這根鐵絲原來(lái)長(zhǎng)60+12=72（米）。

二、動(dòng)態(tài)化思考方式

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題靜態(tài)思考，直接解決比較復(fù)雜，甚至難以解答，可以將問(wèn)題中的某些條件或情境動(dòng)態(tài)處理，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去思考，在“動(dòng)”中生成解決問(wèn)題所需的條件，從而順利解決問(wèn)題。

例2 如下左圖所示直角三角形ABC中，四邊形DBEF是一個(gè)正方形。已知AF長(zhǎng)10厘米，F(xiàn)C長(zhǎng)15厘米，求圖中陰影部分的面積。

分析：根據(jù)題中已知條件，無(wú)法直接求圖中陰影部分面積。分析圖中陰影部分兩個(gè)三角形的角的度數(shù)及邊的長(zhǎng)度，就會(huì)發(fā)現(xiàn)可以利用動(dòng)態(tài)化思考方式，將左上角陰影部分三角形繞F點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DF邊與FE邊重合，這時(shí)陰影部分剛好是一個(gè)兩直角邊分別為10厘米、15厘米的直角三角形，由此可求出圖中陰影部分面積是15×10÷2=75（平方厘米）。

三、特殊化思考方式

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題條件復(fù)雜，不易發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，可以將問(wèn)題中的某個(gè)一般化條件特殊化，由此得出一些關(guān)系和結(jié)論，與其他已知條件產(chǎn)生差異和矛盾，通過(guò)分析差異和矛盾的原因打開(kāi)解決問(wèn)題的思路，從而解決問(wèn)題。

例3 學(xué)校五、六年級(jí)共有學(xué)生630人，五年級(jí)學(xué)生的與六年級(jí)學(xué)生的共408人參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)。五、六年級(jí)各有多少學(xué)生？

分析：題中條件“五年級(jí)學(xué)生的與六年級(jí)學(xué)生的共408人”中的數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，不易解決?？梢蕴厥饣癁椤拔濉⒘昙?jí)都有的學(xué)生參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)”，由此得到參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)的學(xué)生應(yīng)該有630×=360（人），而實(shí)際“五年級(jí)與六年級(jí)共408人參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)”，參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)的人數(shù)相差408-360=48（人）。分析這個(gè)“差”的原因是因?yàn)榘选傲昙?jí)學(xué)生的”特殊為“六年級(jí)學(xué)生的”，少算-=。即“六年級(jí)×=48”，可以求出六年級(jí)學(xué)生有48÷=336（人），五年級(jí)學(xué)生有630-336=294（人）。當(dāng)然，也可以特殊為“五、六年級(jí)都有的學(xué)生參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)”，再尋找數(shù)量之間的關(guān)系來(lái)解決。

四、逆向化思考方式

解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，正向思考往往繁瑣、復(fù)雜，甚至難以解決，而采取逆向化思考方式如同剝筍，逐層深入，往往容易發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系，使問(wèn)題迅速得到解決。

例4 一批水果，第一天賣出總數(shù)的少10千克，第二天賣出余下的多3千克，還剩25千克沒(méi)有賣。這批水果共有多少千克？

分析：從問(wèn)題出發(fā)，以還剩25頁(yè)千克沒(méi)有賣為思考起點(diǎn)，進(jìn)行逆向化思考比順向思考要容易很多。還剩25千克是第二天賣出余下的多3千克后剩下的數(shù)量，因而第二天賣出余下的后應(yīng)剩25+3=28（千克），所以第一天賣出總數(shù)的少10千克后余下的數(shù)量應(yīng)當(dāng)是28÷（1-）=70（千克）。進(jìn)一步逆向思考，如果第一天剛好賣出總數(shù)的而不少10千克，就會(huì)余下70-10=60（千克），所以這批水果的總數(shù)應(yīng)當(dāng)是60÷（1-）=120（千克）。

五、模型化思考方式

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題比較復(fù)雜，卻具有一定的規(guī)律性，可以先引導(dǎo)學(xué)生由簡(jiǎn)單入手，抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征構(gòu)造恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，再運(yùn)用構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型來(lái)思考原來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，就會(huì)使問(wèn)題順利得到解決。

例5 用邊長(zhǎng)1厘米的小正方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)8厘米的大正方形，這個(gè)大正方形中共有多少個(gè)正方形？

分析：直接思考有難度，可以先思考簡(jiǎn)單情況：用邊長(zhǎng)1厘米的小正方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)1厘米、2厘米、3厘米、4厘米的大正方形，大正方形中分別有1個(gè)、1+4=5（個(gè)）、1+4+9=14（個(gè)）、1+4+9+16=30（個(gè)）正方形……觀察思考不斷變換的邊長(zhǎng)與大正方形中的正方形個(gè)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)隨著邊長(zhǎng)的增加，每次都增加了邊長(zhǎng)的平方個(gè)正方形。通過(guò)這樣的模型化思考，可以迅速得到這個(gè)邊長(zhǎng)8厘米的大正方形中共有1+4+9+16+25+36+49+64=204（個(gè)）正方形。

六、分類化思考方式

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題比較復(fù)雜，需要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況進(jìn)行分類思考，注意思考各類情況，再綜合思考，使復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，從而得到解決。

例6 把一個(gè)長(zhǎng)8厘米，寬6厘米，高5厘米的長(zhǎng)方體木塊分割成形狀、大小相同的兩個(gè)長(zhǎng)方體。表面積最多增加多少平方厘米？

分析：顯然，無(wú)論從哪條棱分割，都比原來(lái)長(zhǎng)方體多了兩個(gè)分割面，但不同的分割方法，增加的表面積是不同的，不能直接求出分割后表面積最多增加多少平方厘米。題中沒(méi)有說(shuō)明從長(zhǎng)、寬、高中的哪條棱進(jìn)行，需要分三種分割情況（如下圖）逐一解答：從長(zhǎng)方體的“長(zhǎng)”分割增加6×5×2=60（平方厘米），從長(zhǎng)方體的“寬”分割增加8×5×2=80（平方厘米），從長(zhǎng)方體的“高”分割增加8×6×2=96（平方厘米）。由此可得分割后表面積最多增加96平方厘米。

七、推理化思考方式

就是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件之間的關(guān)系，進(jìn)行推理分析，逐步尋求未知問(wèn)題的結(jié)論，從而解決問(wèn)題。

例7 一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)減少2厘米，就成為一個(gè)正方體，這時(shí)，正方體的表面積是96平方厘米，原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是多少？

分析：根據(jù)“如果長(zhǎng)減少2厘米，就成為一個(gè)正方體”可知，原來(lái)長(zhǎng)方體的寬和高相等。又已知這時(shí)正方體的表面積是96平方厘米，由此可知正方體的一個(gè)正方形面的面積是96÷6=16（平方厘米），根據(jù)正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，可得到正方形的邊長(zhǎng)，即正方體的棱長(zhǎng)是4厘米，原來(lái)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是4+2=6（厘米）。因此，原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是6×4×4=96（立方厘米）。

綜上可見(jiàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)思考方式是在解決問(wèn)題的過(guò)程中逐步形成和積累的，需要教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思考方式，重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)思考過(guò)程進(jìn)行回顧反思，提煉蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思考方式，逐步領(lǐng)悟、積累和掌握其中的數(shù)學(xué)思考方式，提高學(xué)生終身可持續(xù)發(fā)展的能力。