李斌

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱新課程標(biāo)準(zhǔn)）把“數(shù)學(xué)思考”作為課程總目標(biāo)具體闡述的四個(gè)方面之一。并明確指出：數(shù)學(xué)思考的發(fā)展離不開知識(shí)技能的學(xué)習(xí)，知識(shí)技能的學(xué)習(xí)必須有利于數(shù)學(xué)思考目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。而教材是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)技能的重要載體，是教與學(xué)的憑借。因此，著眼數(shù)學(xué)思考目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，教師必須深入鉆研教材，解讀、拓展和挖掘教材所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)本質(zhì)和思考元素，引導(dǎo)學(xué)生圍繞數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)展開數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更有內(nèi)涵和深度，充滿智慧。下面是筆者對(duì)“挖掘教材資源，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考”的思考與探索。

一、教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思考面臨的現(xiàn)實(shí)問題

1.重解決忽視本源——數(shù)學(xué)思考膚淺：方格背景的作用是什么？

教材為什么用“方格”背景？“方格”背景在“多邊形的面積”內(nèi)容中起什么作用？方格背景不只是圖形直觀轉(zhuǎn)化的依據(jù)，也不只是引發(fā)猜想的引子以及直觀驗(yàn)證的材料，而是承載著探究面積公式的“思想源”。面積計(jì)算本質(zhì)上就是度量被測(cè)物體的表面或平面圖形中含有多少個(gè)面積單位，面積公式是對(duì)度量過程的一種優(yōu)化與抽象。然而，實(shí)際教學(xué)中，不少教師往往忽視關(guān)注學(xué)生能否將數(shù)長(zhǎng)方形的方法“看一行有多少個(gè)，有多少行”遷移到數(shù)平行四邊形中，從“縱橫”兩個(gè)維度思考度量平行四邊形，為平行四邊形的面積等于底乘高提供有意義的動(dòng)作行為支撐。

2.重算法忽視算理——數(shù)學(xué)思考散點(diǎn)：如何看待“把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”？

教學(xué)實(shí)踐中，部分教師過于關(guān)注“小數(shù)點(diǎn)一定要對(duì)齊哦！”，而忽視“知識(shí)點(diǎn)”背后所關(guān)聯(lián)的知識(shí)結(jié)構(gòu)性，以及知識(shí)形成和發(fā)展過程中的內(nèi)在邏輯，偏向于例題與習(xí)題等點(diǎn)狀教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生孤立理解數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)思考散點(diǎn)，缺乏對(duì)知識(shí)本質(zhì)及內(nèi)在結(jié)構(gòu)的整體性思考和理解。

3.重描述忽視價(jià)值——數(shù)學(xué)思考平庸：x=2是方程嗎？

方程是代數(shù)知識(shí)的起始性知識(shí)，也是學(xué)生從算術(shù)思維飛躍到代數(shù)思維，分析思考現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)學(xué)問題數(shù)量關(guān)系的重要載體?！昂形粗獢?shù)的等式是方程”僅是一種樸素的描寫，并非方程唯一的內(nèi)涵。這一定義簡(jiǎn)單明了，但它過于關(guān)注方程的顯性特征，而對(duì)方程本質(zhì)內(nèi)涵揭示不夠，有其不足。如學(xué)生列出方程28+130=x時(shí)，如果按其定義說就是一個(gè)方程，但它完全是算術(shù)思維，沒有體現(xiàn)方程思想，沒有關(guān)注方程概念的本質(zhì)，把未知量看作已知量，思考已知量與未知量之間的等量關(guān)系。

4.重形式忽視本質(zhì)——數(shù)學(xué)思考片面：三角形高的本質(zhì)是什么？

不少學(xué)生受現(xiàn)實(shí)生活中垂直于水平線上豎著的高直觀表象負(fù)遷移影響，習(xí)慣性認(rèn)為三角形的高在鉛垂線位置，豎著的垂線段就是高，很難理解從另外兩個(gè)頂點(diǎn)作的高，忽視高與底的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不能真正理解三角形高的本質(zhì)含義，認(rèn)為高總是在三角形內(nèi)部。

二、挖掘教材資源，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考

1.捕捉細(xì)節(jié)鉆研編寫意圖，讓數(shù)學(xué)思考真正發(fā)生。教師要抓住教材的每一個(gè)細(xì)節(jié)，認(rèn)真研讀，深刻領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖，讀懂主題圖所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)知識(shí)的展開過程、情境中的提示語和留白、習(xí)題的功能和思考價(jià)值，“深入淺出”地用好、用活教材，引領(lǐng)學(xué)生開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生的思維真正發(fā)生，促進(jìn)課堂充滿數(shù)學(xué)思考。

如，教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，首先從現(xiàn)實(shí)情境引出數(shù)學(xué)問題，提供生活經(jīng)驗(yàn)支撐，通過橫向數(shù)學(xué)化，引導(dǎo)學(xué)生直觀理解“分”別算和“合”組算兩者總數(shù)相等，借助事理形象理解算理。但這樣的具體情境注重乘法分配律外型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，缺少對(duì)乘法分配律內(nèi)涵本質(zhì)把握，重視“是什么”，缺少“為什么”的追問，要逐步實(shí)現(xiàn)由具體情境數(shù)量之間關(guān)系上升到對(duì)抽象數(shù)之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。然后，通過縱向數(shù)學(xué)化引導(dǎo)學(xué)生觀察比較等號(hào)兩邊算式，從算式意義的角度發(fā)現(xiàn)算式的“形變意不變”，理解算式之間的內(nèi)在聯(lián)系，感知規(guī)律，并進(jìn)一步舉例驗(yàn)證，積累歸納素材，并通過縱向觀察比較，歸納概括出乘法分配律。這樣教學(xué)，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)了乘法分配律的“外貌”，而且真正把握了乘法分配律的“內(nèi)質(zhì)”。

2.瞻前顧后鉆研知識(shí)體系，讓數(shù)學(xué)思考走向結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性和邏輯性。教師要從知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體出發(fā)，準(zhǔn)確把握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，明確所要教學(xué)的內(nèi)容在整個(gè)知識(shí)體系中的地位及作用，抓住知識(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)，在教學(xué)中做到瞻前顧后，縱橫融合，引導(dǎo)學(xué)生將新知識(shí)融入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考走向結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生建構(gòu)起完整準(zhǔn)確的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

如，教學(xué)“小數(shù)的加法和減法”時(shí)，雖然整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法的知識(shí)點(diǎn)不同，但卻有著內(nèi)在的聯(lián)系和系統(tǒng)性。因此，教師要抓住整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法的知識(shí)本質(zhì)，即只有相同單位上的數(shù)才能相加減，促進(jìn)知識(shí)的正向遷移，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“算理——算法——應(yīng)用”的思維過程，從而幫助學(xué)生領(lǐng)悟知識(shí)本源。教學(xué)“整數(shù)加減法”時(shí)，有意識(shí)地幫助學(xué)生理解，把相同數(shù)位對(duì)齊，就能保證幾個(gè)一和幾個(gè)一相加減，幾個(gè)十和幾個(gè)十相加減，初步感知只有相同數(shù)位上的數(shù)才能相加減。教學(xué)“小數(shù)加減法”，著重讓學(xué)生理解“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，所有的相同數(shù)位也就對(duì)齊，就能保證相同數(shù)位上的數(shù)相加減”。學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)加減法”，抓住單位思想，進(jìn)行計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累積，理解分?jǐn)?shù)加減法的算法和算理，從而逐步形成穩(wěn)固而系統(tǒng)的整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

3.由表及里鉆研知識(shí)本質(zhì)，讓數(shù)學(xué)思考走向深刻。第斯多惠說：“只有教給學(xué)生以最本質(zhì)的、最主要的東西，才能切切實(shí)實(shí)地掌握這種教材，使它不可磨滅地銘記在學(xué)生的記憶里?！睌?shù)學(xué)教學(xué)中，教師要高度關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、形成和發(fā)展的歷史本源，由表及里地發(fā)掘數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考聚焦于知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

如，教學(xué)“方程”時(shí)，新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)方程的本質(zhì)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，表示兩個(gè)數(shù)學(xué)式（如兩個(gè)數(shù)、函數(shù)、量、運(yùn)算）之間相等關(guān)系的一種等式。方程的價(jià)值在于讓學(xué)生初步體驗(yàn)方程思想，幫助學(xué)生從等號(hào)的程序觀念到等號(hào)的關(guān)系觀念，實(shí)現(xiàn)從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡，建立代數(shù)思維。教學(xué)時(shí)，要通過逐層分類揭示“未知數(shù)”“等式”的方程顯性特征，更重要的是由方程概念的“靜態(tài)”描述向“動(dòng)態(tài)”生成過程過渡，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷方程概念的產(chǎn)生、發(fā)展、形成和應(yīng)用過程，理解更接近方程本質(zhì)的內(nèi)涵：在未知量和已知量之間建立的等量關(guān)系式，幫助學(xué)生深刻體會(huì)到方程是表示已知量和未知量之間相等關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，感悟代數(shù)思想。

4.挖掘拓展鉆研習(xí)題價(jià)值，讓數(shù)學(xué)思考自然生長(zhǎng)。數(shù)學(xué)習(xí)題是數(shù)學(xué)教材的基本內(nèi)容之一，旨在通過習(xí)題鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展思維能力。教師要深入鉆研習(xí)題，深挖習(xí)題背后的豐富內(nèi)涵和價(jià)值，捕捉數(shù)學(xué)思考生長(zhǎng)點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際需要對(duì)教材習(xí)題進(jìn)行適度拓展和延伸，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考自然生長(zhǎng)，在探究中溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而獲得對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的深刻領(lǐng)悟，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

如，教學(xué)“多邊形的面積”后，教師引導(dǎo)學(xué)生解決問題：下圖1中，平行四邊形ABCD的面積是36平方厘米，求陰影部分的面積。

根據(jù)問題中的條件，難以直接求出每個(gè)三角形的面積，打破了學(xué)生的認(rèn)知平衡，也誘發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望。教師在組織學(xué)生展開充分探究后，要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探索現(xiàn)象背后的知識(shí)本質(zhì)，可以通過課件演示揭示數(shù)學(xué)問題形式的“變”與本質(zhì)的“不變”（如圖2），以平行四邊形邊上的任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，都可以把3個(gè)三角形轉(zhuǎn)化成一個(gè)與平行四邊形等底等高的三角形，得到這3個(gè)三角形面積的和總是等于平行四邊形面積的一半。通過動(dòng)態(tài)化圖形變換，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、推理、分析、歸納等探索過程，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考自然生長(zhǎng)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從變中抓不變，從更一般的層面理解問題的本質(zhì)，形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)，加深數(shù)學(xué)理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

總之，深入挖掘教材內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，把學(xué)生的思維不斷引向深入，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。