張亞紅

【關鍵詞】 數(shù)學教學 ；一題多解；創(chuàng)造思維

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2018）14—0125—01

“課堂要以學生為本”、“要注重知識發(fā)生過程”、“知識的發(fā)生要教給學生”，這些都已成為數(shù)學教師實施課堂教學的共識.因此，在數(shù)學教學過程中，教師要利用一切有利條件，進行對比、聯(lián)想，采取一題多解與一題多變的形式進行教學，這對培養(yǎng)學生思維的廣闊性、深刻性、探索性、靈活性、獨創(chuàng)性無疑是一條有效的途徑.下面，筆者以2017年甘肅高考理科中的一道不等式證明為例，談談一題多解對創(chuàng)造思維能力的培養(yǎng).

例 （2017年高考理綜23題） 已知a>b，b>0，a3+b3=2，證明：

（1）（a+b）（a5+b5）≥4；

（2）a+b≤2.

不等式的證明歷來是高中數(shù)學的難點，也是考查學生數(shù)學能力的主要方面.關于不等式的證明方法多種多樣，如比較法、構造法、分析法、反證法、變量替換法分析、放縮法、綜合法等.高中數(shù)學教學中常用比較法，以不等式證明的多樣性來培養(yǎng)學生的創(chuàng)造思維，使學生從不同的角度思考問題，從而提高學生解決問題的能力.

證法1：一般證法（標準答案）

解題思路：求解（1）時，由于a>0，b>0，a3+b3=2，把（a+b）（a5+b5）展開，利用配方法，將其化為（a3+b3）2-2a3b3+ab（a4+b4）=4+ab（a2-b2）2，則不等式求證；求解（2）時，證（a+b）3≤8即可，由（a+b）3=2+3ab（a+b）及基本不等式證出，進而得出結論.

證法3 （構造法2，構造函數(shù)，利用二次函數(shù)的判別式）

對一些不等式證明的題目，若能巧妙構造一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的有關特性，可以簡潔地完成不等式證明.

解題思路：若二次函數(shù)f（x）=Ax2+Bx+C與x軸最多有一個交點時，其判別式？駐≤0，即B2-4AC≤0.這里可設A=a+b，C=a5+b5，B=2（a3+b3），得f（x）=（a+b）x2+2（a3+b3）x+a5+b5=a（x+a2）2+b（x+b2）2≥0.可知此二次函數(shù)與x軸最多有一個交點，由判別式？駐≤0，命題得證.

解析：（1）設A=a+b，C=a5+b5，B=2（a3+b3）得f（x）=（a+b）x2+2（a3+b3）x+a5+b5=a（x+a2）2+b（x+b2）2≥0 ，判別式？駐≤0得4（a3+b3）2-4（a+b）（a5+b5）≤0 整理得（a+b）（a5+b5）≥4.

（2）證明：（略）.

編輯：謝穎麗