江西師大附中 (330046)

黃潤(rùn)華

考試是促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，檢測(cè)教學(xué)效果的有效手段.試卷講評(píng)反映教師的教學(xué)態(tài)度和教學(xué)智慧，是考試評(píng)價(jià)的核心環(huán)節(jié)，是發(fā)現(xiàn)并有效解決學(xué)生疑難的有效途徑.一次區(qū)域統(tǒng)一考試命題傾注了命題團(tuán)隊(duì)大量的心血，著重考查學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，所以必須科學(xué)評(píng)價(jià)考試，深入挖掘試題內(nèi)涵，更加全面真實(shí)地了解學(xué)情，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，體會(huì)思想方法的運(yùn)用，提升思維品質(zhì).教師依據(jù)試卷中的經(jīng)典題、易錯(cuò)題或障礙題，搜集資料，深入探究，拓展延伸，類比分析，設(shè)計(jì)有針對(duì)性的微專題課，可以讓試題講評(píng)春風(fēng)拂面.

2018屆南昌市二模理科選擇題第12題，是一道根基平實(shí)、思維要求高的題.

筆者以此題為核心，精心設(shè)計(jì)了一堂微專題探究課，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，學(xué)會(huì)類比探究，學(xué)會(huì)回歸本質(zhì)，學(xué)會(huì)猜想驗(yàn)證，感悟觸類旁通、融會(huì)貫通的學(xué)習(xí)境界.

1.對(duì)問(wèn)題解決思路的分析

先根據(jù)題意畫出草圖，在圖中標(biāo)注已知條件，然后進(jìn)行分析.

分析1：要求三角形AF1B內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是確定圓心的位置.

又圓心為某兩條直線的交點(diǎn)，已知圓心在∠AF1B的角平分線上，所以關(guān)鍵是要探究圓心還會(huì)在哪條直線上.

分析2：若從動(dòng)態(tài)控制角度看，F(xiàn)1A,F1B可關(guān)于∠AF1B的角平分線對(duì)稱變化，交點(diǎn)A,B均在雙曲線上，而雙曲線的焦距已經(jīng)確定，所以雙曲線只有一個(gè)參數(shù)未定，故本題中雙曲線是待定的.因此，反設(shè)雙曲線去猜想內(nèi)切圓的方程不合邏輯.

分析3：除∠AF1B的角平分線外，其他條件不確定，嘗試猜想：三角形AF1B內(nèi)切圓是否有什么特殊性質(zhì)？其他兩個(gè)角的角平分線顯然不能得到，那么還有什么要素可以控制圓心位置呢？與內(nèi)切圓圓心聯(lián)系緊密的有：過(guò)切點(diǎn)且與該點(diǎn)處的切線垂直的直線，弦的垂直平分線和內(nèi)角角平分線，結(jié)合圖形去找出路.

2.對(duì)問(wèn)題情境展開(kāi)的聯(lián)想

通過(guò)聯(lián)想，充分運(yùn)用已有的知識(shí)和方法解決新的問(wèn)題，亦稱化歸思想，是人們解決問(wèn)題的常用方法.本題中核心要素是雙曲線和內(nèi)切圓，雙曲線的定義是隱藏條件，一般都要用到，還有三角形的內(nèi)切圓滿足的性質(zhì).結(jié)合平時(shí)的學(xué)習(xí)，容易聯(lián)想到以下兩個(gè)模型：

圖1

模型1 雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與實(shí)軸的切點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn).

證明：如圖1，|PF1|-

|PF2|=(|PC|+|CF1|)-(|PB|+|BF2|)=

|CF1|-|BF2|=|F1A|-

|AF2|=2a,又因?yàn)?/p>

|F1A|+|AF2|=2c，所以|F1A|=a+c，所以切點(diǎn)A為雙曲線的右頂點(diǎn).

模型2 和橢圓焦點(diǎn)弦相切的焦點(diǎn)三角形的旁切圓與長(zhǎng)軸的切點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn).

圖2

證明：如圖2，設(shè)圓切長(zhǎng)軸于點(diǎn)A，切F1P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，則|F1C|+|F1A|=

|F1P|+|PC|+|F1F2|+

|F2A|=2c+|F1P|+

|PB|+|BF2|=2c+2a，又因?yàn)閨F1C|=|F1A|，所以|F1A|=a+c，所以點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn).

概括：第一個(gè)模型學(xué)生非常熟悉，第二個(gè)模型可能不熟悉，類比兩個(gè)模型發(fā)現(xiàn)，其內(nèi)切圓或旁切圓均與實(shí)軸或虛軸所在直線切于曲線的頂點(diǎn).

3.對(duì)問(wèn)題的聯(lián)想產(chǎn)生的猜想

雙曲線(或橢圓)的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓(或旁切圓)都有特定的切點(diǎn)——頂點(diǎn)，本題中不再是焦點(diǎn)三角形，但仍可以理解為兩個(gè)焦點(diǎn)三角形組合成的三角形，其依然緊密聯(lián)系圓錐曲線的定義及內(nèi)切圓的有關(guān)性質(zhì)，這樣我們就有理由結(jié)合草圖作出猜想:ΔAF1B的內(nèi)切圓與直線AB切于右焦點(diǎn)F2.

要證明猜想成立，只需證明|AF2|=|AP|.根據(jù)聯(lián)想到的模型已經(jīng)運(yùn)用的方法可以完成證明.

圖3

證明：如圖3，由雙曲線定義知，|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.設(shè)三角形AF1B內(nèi)切圓切AB于點(diǎn)M，則|AP|+|AM|=

|AF1|+|AF2|+|BF2|-

|BF1|=2a+2|AF2|-2a=2|AF2|，又因?yàn)閨AP|=

猜想是發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，解決新問(wèn)題的有效途徑，在教學(xué)中需培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，形成大膽猜想、小心求證的思維品質(zhì).本題實(shí)質(zhì)上是以內(nèi)切圓為背景考查切線長(zhǎng)定理及圓錐曲線定義的靈活應(yīng)用，有新穎性.

4.對(duì)問(wèn)題的探究進(jìn)一步拓展

教師在進(jìn)行試卷講評(píng)課的設(shè)計(jì)時(shí)，為了進(jìn)一步鞏固圓錐曲線定義及三角形內(nèi)切圓相關(guān)性質(zhì)的理解，可以搜集有關(guān)資料進(jìn)行創(chuàng)造繼續(xù)引領(lǐng)學(xué)生展開(kāi)探究.比如，筆者設(shè)計(jì)了如下兩道題供學(xué)生思考.

一石激起千層浪，對(duì)上述兩個(gè)問(wèn)題的充分思考與交流必將激起學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)、探究拓展的思維習(xí)慣，引領(lǐng)學(xué)生從特殊到一般，先猜想定值的可能值，再想辦法完成一般情形的證明.

經(jīng)過(guò)一番熱烈的研究與交流，同學(xué)們會(huì)驚喜地發(fā)現(xiàn)兩個(gè)問(wèn)題中的定值均為相應(yīng)曲線的離心率，回顧小結(jié)問(wèn)題解決的方法，容易得出一般結(jié)論.

圖4

圖5

模型化思想是連通知識(shí)與應(yīng)用的重要橋梁，模型化可以讓問(wèn)題系統(tǒng)形象，對(duì)于核心的知識(shí)與思想方法，教師應(yīng)創(chuàng)造條件使問(wèn)題分門別類，讓學(xué)生觸景生情，觸類旁通.

本節(jié)微專題課經(jīng)過(guò)一系列關(guān)聯(lián)問(wèn)題的探究，引導(dǎo)學(xué)生深化對(duì)圓錐曲線定義、內(nèi)心的本質(zhì)特征、圓的切線有關(guān)的性質(zhì)、猜想驗(yàn)證和類比思想的理解與應(yīng)用，有利于打通學(xué)生思維壁壘，感悟觸類旁通、融會(huì)貫通的學(xué)習(xí)境界.