鄧正南

摘要：本文以“偽證”思想為切入點(diǎn)，就其概念含義做分析探討，并就其在高中數(shù)學(xué)推理與證明教育中的作用方式與教學(xué)實(shí)例做細(xì)致的闡述研究，期望為高中學(xué)生數(shù)學(xué)推理意識(shí)與證明能力的培養(yǎng)提舟提供有益的參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 推理 證明 “偽證”思想

證明與推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最為基礎(chǔ)與重要的思維步驟，也是高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的思考方式，作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中至關(guān)重要的內(nèi)容之一，對(duì)學(xué)生推理與證明意識(shí)的培養(yǎng)一直是教師的重點(diǎn)教育研究對(duì)象。基于此筆者認(rèn)為將“偽證”思想應(yīng)用進(jìn)高中數(shù)學(xué)推理與證明教學(xué)進(jìn)程中，將有助于提升課堂教育質(zhì)量，并推動(dòng)學(xué)生推理意識(shí)與證明能力的發(fā)展。因此筆者以“偽證”思想為研究出發(fā)點(diǎn)，就其理論相關(guān)含義知識(shí)做闡述分析，并對(duì)其在高中數(shù)學(xué)推理與證明中具體教學(xué)應(yīng)用方式做詳細(xì)的探討研究。

一、“偽證”思想概述

“偽證”思想即偽證主義科學(xué)觀，其理論來(lái)源于英國(guó)學(xué)者波普爾的著作《猜想與反駁》，該觀點(diǎn)是基于對(duì)邏輯實(shí)證主義的反駁，由波普爾提出的對(duì)偶然真理界定的偽證主義。其理論思想的證明方式采用試錯(cuò)法，即不斷對(duì)科學(xué)問(wèn)題提出各類假說(shuō)與猜測(cè)，之后思考與找尋符合其假說(shuō)猜測(cè)的事例，然后依照已有事例對(duì)原本的假說(shuō)猜測(cè)予以修正，并不斷循環(huán)重復(fù)這一證明過(guò)程，最終將原本提出的猜想假說(shuō)予以否決，以驗(yàn)證與完善科學(xué)理論觀點(diǎn)。

二、高中數(shù)學(xué)推理與證明中利用“偽證”思想進(jìn)行教學(xué)的研究

為具體研究“偽證”思想在高中數(shù)學(xué)推理與證明中的教學(xué)應(yīng)用，筆者以概率這一高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)概念為切人點(diǎn)，就“偽證”思想在概率知識(shí)教學(xué)中的策略與方法做研究分析。

學(xué)生在初中階段已對(duì)概率知識(shí)有了初步的了解與認(rèn)知，但因其本身知識(shí)概念的抽象性，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中依然是學(xué)生較難以領(lǐng)會(huì)與掌握的難點(diǎn)內(nèi)容之一。同時(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的各個(gè)階段環(huán)節(jié)都容易出現(xiàn)各類理解偏差與錯(cuò)誤，進(jìn)而生成錯(cuò)誤的知識(shí)概念。而相應(yīng)的概念認(rèn)識(shí)一旦形成，要進(jìn)行消除與糾正就會(huì)十分困難。正因?yàn)楦怕蔬@一知識(shí)內(nèi)容的特性，將“偽證”思想應(yīng)用進(jìn)其教學(xué)活動(dòng)中，有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)概率知識(shí)的理解認(rèn)知深度，并提升其數(shù)學(xué)推理與證明能力。因此筆者以概率知識(shí)的課堂教學(xué)相關(guān)實(shí)例，探究具體的“偽證”思想應(yīng)用方法。

例如在教授概率內(nèi)容時(shí)，教師可先為學(xué)生提供相應(yīng)的隨機(jī)事件數(shù)據(jù)表格，來(lái)讓學(xué)生思考并分組探討如何基于隨機(jī)事件的頻率，推定其具體的概率數(shù)值。隨機(jī)事件頻率表如表1、2所示。

在學(xué)生合作討論之后選取各組代表做意見(jiàn)表達(dá)，學(xué)生能得出表1中所有向上頻率的平均值為0.5046，其與生活中的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)是相同的，表2的數(shù)據(jù)學(xué)生雖然缺乏相應(yīng)的檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，依然能取其平均值作為概率。此時(shí)教師可為學(xué)生提出新的思考方向：雖然表1所得的結(jié)果的確如此，但其是否真的能作為一個(gè)普遍性結(jié)論，應(yīng)用到各類隨機(jī)事件的推理過(guò)程嗎？以引導(dǎo)學(xué)生向?qū)Ω怕势骄涤?jì)算的“偽證”方向予以思考。在學(xué)生相互探討后再次請(qǐng)各組代表發(fā)言，有做積極思考的小組就能發(fā)現(xiàn)表2所有概率的平均值是0.9392，但其頻率數(shù)值明顯帶有向0.95變動(dòng)的趨勢(shì)，因?yàn)榘殡S實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，頻率的平均值應(yīng)該更接近于概率才對(duì)。因此對(duì)表2的概率值計(jì)算應(yīng)取其最大次數(shù)下的頻率數(shù)值做平均計(jì)算，將大實(shí)驗(yàn)次數(shù)下的平均值作為隨機(jī)事件的概率值。

對(duì)這種觀點(diǎn)教師可再引導(dǎo)學(xué)生向完全證明其猜想的科學(xué)性出發(fā)，對(duì)取較大試驗(yàn)次數(shù)下平均值的推測(cè)做偽證推理，以啟發(fā)學(xué)生向“足夠大”這一概念定義產(chǎn)生疑問(wèn)與思考，并進(jìn)一步推論所示所選取的試驗(yàn)次數(shù)不同，那所得出的頻率平均值也會(huì)不同，因此對(duì)概率值的測(cè)算不能僅適用“較大”的試驗(yàn)次數(shù)這一模糊概念，因?yàn)榻浦低皇俏ㄒ坏?，模糊范圍下產(chǎn)生的概率數(shù)值也會(huì)不精確。之后可總結(jié)出在海量試驗(yàn)下，隨機(jī)事件A的產(chǎn)生會(huì)呈現(xiàn)相應(yīng)的規(guī)律性。在試驗(yàn)次數(shù)次數(shù)n→+∞時(shí)，發(fā)生概率m/n總是趨于接近的常數(shù)就是其概率，相應(yīng)表達(dá)式可概括為對(duì)數(shù)列（m/n）來(lái)說(shuō)，P （A） =lim m/n。

n→∞

但此觀點(diǎn)依然不夠深入與全面，在此基礎(chǔ)上教師可為學(xué)生溫習(xí)極限的概念，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該表達(dá)式做進(jìn)一步的思考，最終由部分學(xué)優(yōu)生發(fā)現(xiàn)其問(wèn)題所在：在數(shù)列極限概念中，對(duì)任意的ε >0，則總是存在一個(gè)正整數(shù)N，且當(dāng)n>N時(shí)，|a_n-A|<ε，此時(shí)常數(shù)A是數(shù)列{a_n）的極限，因此對(duì)于數(shù)列（m/n），其概率值雖然總是在某一個(gè)常數(shù)周?chē)儎?dòng)，但并不總能確保其概率值總是趨近于這個(gè)常數(shù)，還是會(huì)有反復(fù)現(xiàn)象的出現(xiàn)，因而不能將發(fā)生頻率接近的常數(shù)作為表2的概率值。

三、結(jié)束語(yǔ)

從以上概率知識(shí)的教學(xué)實(shí)例可發(fā)現(xiàn)，基于偽證思想應(yīng)用進(jìn)高中數(shù)學(xué)教育中，能有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)概念的反復(fù)理解與探究，在不斷的“偽證”進(jìn)程中充分理解與把握所學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵與深意，使其有效掌握到高中數(shù)學(xué)中較為復(fù)雜與抽象的理論知識(shí)。

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