唐志華

摘要：全文分兩大部分，一是“數(shù)學(xué)方法論的數(shù)學(xué)教育方式”（MM方式）簡介，包括基本觀念與時代價值；二是推廣應(yīng)用MM方式，把提升中小學(xué)數(shù)學(xué)教師核心素養(yǎng)的培訓(xùn)工作落實在課堂。因為MM方式充分揭示了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深刻內(nèi)涵與豐富外延，培養(yǎng)和造就一支既能勝任教學(xué)又能從事科研的數(shù)學(xué)教師隊伍，是踐行MM方式的一大目標(biāo)，MM方式在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中大有用武之地。

關(guān)鍵詞：MM方式；中小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號：G451.2文獻標(biāo)識碼：A文章編號：2095-5995（2018）02-0057-04

一、MM方式簡介

（一）引言

當(dāng)今中小學(xué)數(shù)學(xué)教育如何實現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)？如何評價學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展？在職數(shù)學(xué)教師持續(xù)學(xué)習(xí)是應(yīng)對挑戰(zhàn)、勝任崗位的正確途徑，也是教師專業(yè)發(fā)展、實現(xiàn)自我幸福的必由之路。但是，教師培訓(xùn)的內(nèi)容和方法是否得當(dāng)，將直接決定教師培訓(xùn)的成效。南京曉莊學(xué)院教師發(fā)展學(xué)院深入發(fā)展和挖掘適應(yīng)核心素養(yǎng)理念的培訓(xùn)方式，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)中長期采用推廣應(yīng)用MM方式的策略，收到了十分顯著的成效。那么什么是MM方式呢？

馬克思從研究商品開始創(chuàng)立了資本論和科學(xué)社會主義，商品是人每天都要碰到許多次的東西，但只有馬克思把它作為一種專門的研究對象。波利亞從研究解題開始創(chuàng)立了科學(xué)方法論。每天都在進行解題者不計其數(shù)，但只有波利亞把解題本身作為研究對象，從中提煉出一般解題方法，并把它上升到哲學(xué)的高度。徐利治把科學(xué)方法論和辯證唯物論的反映論相結(jié)合，在我國首開數(shù)學(xué)方法論的研究，倡導(dǎo)用波利亞的數(shù)學(xué)教育思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)改革。而我們的工作是構(gòu)建了“貫徹數(shù)學(xué)方法論的教育方式，全面提高學(xué)生素質(zhì)”的數(shù)學(xué)教育實驗（Mathematical Methodology，下稱“MM方式、MM課題或MM實驗”），并在教育行政部門的領(lǐng)導(dǎo)下組織實施。

用我國著名特級教師揚世明先生的話說：“波利亞是嘗試把數(shù)學(xué)方法論應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的第一人，取得了相當(dāng)?shù)某删?，但是他沒有具體地解決如何把數(shù)學(xué)方法論用于數(shù)學(xué)教學(xué)的問題，更沒有把它作為一種教學(xué)的方式方法。MM方式則弄清了由數(shù)學(xué)方法論基本原理到學(xué)生素質(zhì)的轉(zhuǎn)換機制（如圖1），從而解決了數(shù)學(xué)方法論能夠成為一種教育方式的核心問題。”[1][2]

（二）MM方式的基本觀念

1.數(shù)學(xué)哲學(xué)觀——數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)方法論

馬克思指出，一門科學(xué)只有在成功地運用數(shù)學(xué)時，才算達到了真正完善的地步。也就是說，科學(xué)的成熟與否要視其應(yīng)用數(shù)學(xué)的程度而定。其實，康德早就指出：“任何一門自然科學(xué)，只有當(dāng)它能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)工具進行研究時才能算是真正的科學(xué)……?！?/p>

既然數(shù)學(xué)教育是一門科學(xué)，那么數(shù)學(xué)教育為什么就不能應(yīng)用數(shù)學(xué)本身的思想方法去組織教學(xué)呢？對數(shù)學(xué)教育來說，這應(yīng)該是“近水樓臺先得月”才是。所謂MM實驗，就是指運用數(shù)學(xué)本身的思想方法指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一種數(shù)學(xué)教育方式?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教育盡管成功地運用了現(xiàn)代教育學(xué)、心理學(xué)、生理學(xué)、認(rèn)知科學(xué)甚至腦科學(xué)等研究成果，但它忽略了運用數(shù)學(xué)本身的思想方法，即數(shù)學(xué)方法論對其的指導(dǎo)作用。事實上，數(shù)學(xué)在其自身的發(fā)展進程中早就孕育著上述諸多科學(xué)的客觀規(guī)律。

MM方式也就是運用數(shù)學(xué)方法論的觀點指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，即應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法、數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和創(chuàng)新機制設(shè)計和改革數(shù)學(xué)教學(xué)的一種數(shù)學(xué)教學(xué)方式。它是怎樣提出來的？為什么要在數(shù)學(xué)教育中貫徹這種方式？即它的理論依據(jù)和客觀背景是什么？

第一，我們要搞清楚什么是數(shù)學(xué)方法論？近年來，國內(nèi)外一些著名數(shù)學(xué)家都致力于對數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究。他們從本體論與認(rèn)識論的角度提出了“數(shù)學(xué)是一種模式真理”的數(shù)學(xué)觀。按照這種觀點，數(shù)學(xué)模式在本體上具有兩重性。就其內(nèi)容而言具有明確的客觀意義，它是思維對于客觀實在的能動反應(yīng)，任何數(shù)學(xué)模型都有它的現(xiàn)實原型；就其形式結(jié)構(gòu)而言數(shù)學(xué)并非客觀世界的真實存在，而是創(chuàng)造性思維，亦即理性的創(chuàng)造物。從前者而言，數(shù)學(xué)是人們所發(fā)現(xiàn)的；從后者而論，數(shù)學(xué)又是人們所發(fā)明的。而數(shù)學(xué)的每一次重大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明，都是以決定數(shù)學(xué)向本質(zhì)上的嶄新狀態(tài)過渡的杰出成就為標(biāo)志的。這中間伴隨著認(rèn)識論與方法論上的突破，伴隨著數(shù)學(xué)思想方法的變革。有一門學(xué)問就是專門以數(shù)學(xué)的思想方法作為研究對象的，它就是數(shù)學(xué)方法論。徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門學(xué)問。”

第二，我們要搞清楚數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)方法論有什么關(guān)系？從數(shù)學(xué)方法論觀點看，數(shù)學(xué)具有兩重性，它既是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)（從最后被定型的數(shù)學(xué)來看），又是一門實驗性的歸納科學(xué)（從創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)來看）。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的這兩個側(cè)面，使學(xué)生受到全面的數(shù)學(xué)教育，忽視數(shù)學(xué)歸納性一面的教育是不完全的數(shù)學(xué)教育。另外，運用數(shù)學(xué)方法論的觀點和高級神經(jīng)活動心理學(xué)已有的研究成果分析數(shù)學(xué)思維，我們看到數(shù)學(xué)思維也有兩重性：一類是進行邏輯推理的抽象思維；另一類是進行合情推理或似真推理的形象思維。這后一類思維的具體表現(xiàn)形式是觀察、實驗、類比、聯(lián)想、不完全歸納等。它們不僅在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程中起著十分重要的作用，而且廣泛應(yīng)用于社會生活之中。因此，我們不應(yīng)該把數(shù)學(xué)單純地理解為一門工具科學(xué)，而應(yīng)該把它當(dāng)作一種文化形態(tài)來對待，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)致力于提高人們的一般文化修養(yǎng)。當(dāng)然要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的這種文化教育功能，就必須采用一定的方式來組織教學(xué)。

2.數(shù)學(xué)的文化觀——數(shù)學(xué)的科學(xué)技術(shù)功能和文化教育功能

數(shù)學(xué)的科學(xué)技術(shù)功能和文化教育功能是交織交融在一起的。M.克萊因指出：“數(shù)學(xué)一直是形成現(xiàn)代文化的主要力量，同時又是這種文化極其重要的因素，這種觀點在許多人看來是難以置信的，或者充其量來說也是一種夸張的說法。這種懷疑態(tài)度完全可以理解，它是一種普遍存在的對數(shù)學(xué)實質(zhì)的錯誤認(rèn)識所帶來的結(jié)果。”[3]王梓坤教授在他的《今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》（當(dāng)時以中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部的名義給黨中央的建議書）中指出：數(shù)學(xué)科學(xué)不僅幫助人們在經(jīng)營中獲利，而且給予人們以能力，包括直觀思維、邏輯推理、精確計算以及結(jié)論明確無誤。這些都是精明的經(jīng)濟工作者和科技人員所應(yīng)具備的工作素質(zhì)，大而言之，也是每個公民的科學(xué)文化素質(zhì)。所以，數(shù)學(xué)科學(xué)對提高一個民族的科學(xué)和文化素質(zhì)起著非常重要的作用。

科學(xué)大師們的工作和思想引出如下的信念：“我們生活在受精確的數(shù)學(xué)定律制約的宇宙之中?！睌?shù)學(xué)的特點是：內(nèi)容的抽象性、應(yīng)用的廣泛性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)論的明確性。這種思想方法不僅培養(yǎng)了數(shù)學(xué)家，也有助于提高全國人民的科學(xué)文化素質(zhì)。它是人類巨大的精神財富。

3.數(shù)學(xué)教育觀——源于教學(xué)，高于教學(xué)

按照數(shù)學(xué)方法論的觀點，數(shù)學(xué)發(fā)展的巨大動力源泉與社會生產(chǎn)實踐及技術(shù)發(fā)展的客觀要求緊密相連。因此，數(shù)學(xué)教育只有適應(yīng)時代的要求，能夠回答和解決歷史進程中出現(xiàn)的重大問題，才具有社會效益?？諝獠赣f物而自身無賞；同樣，數(shù)學(xué)教育眾人而報酬極低。桃李無言，下自成蹊。這是時代賦予數(shù)學(xué)教師神圣而又艱巨的使命。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中如能貫徹MM方式，必將有助于培養(yǎng)學(xué)生從總體結(jié)構(gòu)上把握數(shù)學(xué)思想體系、數(shù)學(xué)思維方式的本領(lǐng)，促進學(xué)生在數(shù)學(xué)思維活動中發(fā)明和發(fā)現(xiàn)新事物。MM方式的靈魂就是啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性，以利于早出人才，多出人才，尤其是早出多出創(chuàng)造型的人才、適應(yīng)高技術(shù)發(fā)展的高級研究人才。運用數(shù)學(xué)方法論的觀點指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，并且達到數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造與再發(fā)現(xiàn)，這正是MM方式的基本理念或者說是MM方式的基本精神。

具體地說就是：在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的科學(xué)技術(shù)功能和文化教育功能；貫徹“教學(xué)、研究、發(fā)現(xiàn)”同步協(xié)調(diào)和“既教猜想又教證明”這兩條基本原理；自覺地、恰當(dāng)?shù)夭僮骱?個變量，即數(shù)學(xué)的返璞歸真教育、數(shù)學(xué)教學(xué)中的美育、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)法教育、數(shù)學(xué)家優(yōu)秀品質(zhì)教育、數(shù)學(xué)史志教育、數(shù)學(xué)中的演繹推理、合情推理和一般解題方法的教育；瞄準(zhǔn)三個具體目標(biāo)，即在數(shù)學(xué)教學(xué)中致力于提高學(xué)生的一般科學(xué)素養(yǎng)、社會文化修養(yǎng)、形成和發(fā)展他們的數(shù)學(xué)品質(zhì)，從而全面提高學(xué)生素質(zhì)。

進一步發(fā)揮數(shù)學(xué)的科學(xué)技術(shù)功能和它的文化教育功能，研究和認(rèn)識貫穿在數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維活動中的直覺與邏輯的交互作用十分重要。在人腦的一般思維活動中，直覺與邏輯總是交織在一起的，公理化和形式化的數(shù)學(xué)科學(xué)也不例外，只是帶有其特殊性罷了。正是數(shù)學(xué)的直覺思維與邏輯思維交融的魅力把數(shù)學(xué)變成為一種“無聲的音樂和無色的圖畫”[4]。

MM方式源于教學(xué)而又高于教學(xué)。比如，在MM方式的指標(biāo)體系中有一條是“合理地進行思考，清楚地進行表述和有條不紊地工作”，這顯然是數(shù)學(xué)教學(xué)要達到的基本目標(biāo)之一。這一表述就直接受益于一位數(shù)學(xué)教師。在一次教學(xué)“排列組合”的數(shù)學(xué)課上，他在介紹完“全排列”的定義之后，要同學(xué)回答ABCD四個字母的全排列問題。他首先問共有幾種？一位學(xué)生答是24種。他緊接著問是哪24種？這位同學(xué)又不慌不忙地一口氣都答出來了，并蠻有把握地認(rèn)為這下老師肯定要表揚他了。然而使他迷惑的是老師并沒有表態(tài)，而是接著說：“你到黑板上來把它們都寫出來?！边@就是說，僅知道有幾種不行，還要能把它們一一說出來；僅能說出來還不行，還要能把它們一一寫出來才算合格。這就是MM方式的一個具體體現(xiàn)。

一線教師具有豐富的教學(xué)經(jīng)驗，只要把MM方式中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)教育觀與自己的教學(xué)實踐經(jīng)驗加以對比，自然就會發(fā)現(xiàn)這種教育方式和自己一貫以來的主張和實踐是不謀而合的。

（三）MM方式的時代價值

從上述意義上來說，MM方式正是在20世紀(jì)80年代我國教育改革不斷深化的宏觀背景下，我國數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界集體智慧的結(jié)晶；又因為設(shè)計者本身具有教學(xué)、教研和科研的切身經(jīng)歷，因此也是數(shù)學(xué)教師個人從事數(shù)學(xué)教學(xué)和研究工作的升華。

1.鮮明的時代特性，廣闊的應(yīng)用前景

中國社會科學(xué)院哲學(xué)研究所資深研究員林夏水先生指出：1990年9月，中國自然辯證法研究會數(shù)學(xué)哲學(xué)委員會在山東棗莊召開的“數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教學(xué)研討會”上，無錫市的徐瀝泉等老師介紹了無錫數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革成果——MM實驗。自此至今，因工作關(guān)系，作者與MM實驗結(jié)下不解之緣。親眼看到它發(fā)展為MM方式，看到它傳播到祖國的大江南北……它傳播到哪里就在那里生根發(fā)芽、開花結(jié)果……這就使作者不禁要思考一個問題：“20世紀(jì)80年代中國數(shù)學(xué)教改方案如雨后春筍出現(xiàn)，但存活至今的卻寥若晨星，為什么MM教育方式成為其中耀眼的一顆呢？”[5]這就是說MM方式是應(yīng)時而生，又能與時俱進的。它帶有強烈的時代特征，具有廣闊的應(yīng)用前景。首先，它不同于那些主要依賴教育學(xué)、心理學(xué)等學(xué)科的數(shù)學(xué)教育實驗，盡管它也借鑒了這些學(xué)科，甚至是腦科學(xué)和現(xiàn)代實驗心理學(xué)等的研究成果，但它本身具有明顯的數(shù)學(xué)特點，蘊涵著多種數(shù)學(xué)觀，具有深刻的哲理根據(jù)，體現(xiàn)了一種新的數(shù)學(xué)教育觀。

徐利治教授指出，數(shù)學(xué)方法論的原則性高，因此它應(yīng)用廣泛。MM課題從1989年實施以來至今已整整29年，分別于1994年和2001年兩次通過了以王梓坤院士為首的鑒定小組鑒定，并獲得高度評價。從此，由MM實驗確證的MM方式開始在全國推廣，由無錫市區(qū)高中學(xué)校擴展到初中、小學(xué)、大學(xué)和成人教育等各級各類學(xué)校。它已被載入中國哲學(xué)社會科學(xué)發(fā)展史冊，當(dāng)然也已載入我國數(shù)學(xué)教育的史冊。

2016年，我們在申報南京市哲學(xué)社會科學(xué)優(yōu)秀成果獎，組織成果名稱為“數(shù)學(xué)方法論（MM）在我國大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用”的申報材料時，竟在知網(wǎng)上意外發(fā)現(xiàn)《MM教育方式及其對幼兒園數(shù)學(xué)教育的啟示》一文。[6]試問，在我國有哪一個數(shù)學(xué)教育科研項目能一以貫之地從幼兒園一直被推廣應(yīng)用到大學(xué)？

2.MM方式與現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)

MM方式具有鮮明的數(shù)學(xué)特點，它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育思想相結(jié)合的具體體現(xiàn)，它充分運用數(shù)學(xué)科學(xué)方法論的研究成果，充分運用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)思維的特征，具有鮮明的數(shù)學(xué)科學(xué)性。它的理論—操作系統(tǒng)具有類數(shù)學(xué)公理的特征。它要求數(shù)學(xué)教師具有新的數(shù)學(xué)觀，具有參與（初等或?qū)ｉT）數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的能力和經(jīng)歷。它扎根于萬千優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的經(jīng)驗，又不是簡單的經(jīng)驗總結(jié)（而是凝結(jié)和升華），往往給教師一種“似曾相識”之感。它可操作，但又不拘泥于模式。另外，它具有現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)方式方法的特征，與現(xiàn)代教育技術(shù)相結(jié)合如魚得水。MM方式要求教師用現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)教育，并進行高觀點下的初等數(shù)學(xué)研究和高觀點下的考試研究，在全面提高學(xué)生素質(zhì)的同時，造就一支既能勝任教學(xué)又能從事科研的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教師隊伍。

作為科學(xué)的數(shù)學(xué)曾對人類社會產(chǎn)生過極其重要的作用，而在無論謂之信息社會還是謂之電子計算機、大數(shù)據(jù)時代的今天，數(shù)學(xué)對社會的功用之大超過以往任何歷史時期。我們曾接到湖北天門市一位中學(xué)生的來信，信中有這樣一句話：“學(xué)生愛學(xué)習(xí)，是因為學(xué)生愛生命；學(xué)生愛數(shù)學(xué)，是因為生命需要數(shù)學(xué)。”在現(xiàn)代生活中，在今天，數(shù)學(xué)對于人類來說，確實是“此君不可一日無”了。因此，一個現(xiàn)代公民需要數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教育如再不變革其大綱和方法，就難以使人們對客觀世界有一個起碼的科學(xué)認(rèn)識。

MM課題始于1989年，至今已整整29年。圍繞數(shù)學(xué)方法論和推廣應(yīng)用MM方式的全國性學(xué)術(shù)會議相繼在北京、上海、襄陽、武漢、天津、濟南、天水、昌吉、成都、無錫、興義等地召開。MM課題研究促使教師站到學(xué)科教育的最前沿，涌現(xiàn)了一批既能勝任教學(xué)，又能從事科學(xué)研究的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教師。參與MM方式的大部分實驗教師已成為學(xué)科帶頭人、科技拔尖人才、特級教師和教授級高級教師等，都逐漸成為本地區(qū)的數(shù)學(xué)教學(xué)專家。

MM課題的主要成果如下：已出版專著、編著數(shù)十部，發(fā)表專題論文千余篇；圍繞推廣應(yīng)用MM數(shù)學(xué)教育方式的全國性學(xué)術(shù)會議已召開11次，有的省、市還專門建立了實驗基地；各地實驗教師中有20多人成為特級教師、教授和教授級高級教師；他們大都身兼全國先進教師和全國勞模等多個榮譽稱號；由新疆昌吉州教研中心組織實施的MM子課題論文《TEC教學(xué)》獲新疆哲學(xué)社會科學(xué)優(yōu)秀成果一等獎。師范院校是教師的發(fā)源地，MM方式在師范院校的落地就從源頭上解決了教師的專業(yè)成長問題，一支既能勝任教學(xué)又能從事科研的新型的數(shù)學(xué)教師隊伍正在我國形成。

回顧反思這29年來的實驗歷程，我們作為該實驗研究的發(fā)起人、構(gòu)思者與實踐者，意識到把它應(yīng)用于當(dāng)前正在我國全面展開、組織實施的關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的新課程改革中，特別是應(yīng)用于當(dāng)代中小學(xué)數(shù)學(xué)師資的培訓(xùn)上，頗具現(xiàn)實意義。

參考文獻：

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（責(zé)任編輯：彭慧）