康茂淮

【摘要】 知識的獲得是一種學(xué)生主動的認知活動，學(xué)習(xí)者不應(yīng)該是信息的被動接受者，而應(yīng)該是知識獲取過程的參與者。使學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)中思，親身體會創(chuàng)造過程，讓學(xué)生的思維、語言、肢體經(jīng)歷一次次“磨煉”，并在不同程度上有新的提高。因此它使思維一直處于運動和探索之中，能促使思維的發(fā)展。在教學(xué)活動中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)條件，充分利用各種資源，給學(xué)生“做”數(shù)學(xué)的機會，讓學(xué)生在“做”中加深對數(shù)學(xué)知識的理解，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，不斷提升學(xué)習(xí)能力。

【關(guān)鍵詞】 “做”數(shù)學(xué) 橢圓 設(shè)計意圖 反思

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）07-100-01

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著名心理學(xué)家皮亞杰說過：“智慧的鮮花是開放在手指尖上的”。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也應(yīng)適當(dāng)?shù)慕o予學(xué)生“做”數(shù)學(xué)的機會。本文結(jié)合圓錐曲線中橢圓的教學(xué)，讓學(xué)生三次畫橢圓，使學(xué)生掌握橢圓的定義、橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓的綜合運用等數(shù)學(xué)知識并深刻感悟知識的形成過程，從而逐步在頭腦中建構(gòu)起數(shù)學(xué)模型。

一、繩子畫橢圓——橢圓定義明晰

在解析幾何中，圓錐曲線是這塊內(nèi)容中的重點、難點和考點。根據(jù)教材的安排，雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì)的給出都是類比于橢圓的定義、性質(zhì)。因此，橢圓的定義、標(biāo)準方程、性質(zhì)的教學(xué)是這一內(nèi)容的重中之重，而標(biāo)準方程又是根據(jù)橢圓的定義得出，所以橢圓的定義推出顯得至關(guān)重要?，F(xiàn)把這一教學(xué)片段中讓學(xué)生“做”的問題展示如下：

問題1：利用手中的繩和釘畫出一個圓，并歸納圓的定義。（課前教師要求學(xué)生每人準備一塊硬紙板，并發(fā)給每一位學(xué)生兩顆圖釘幾顆及一根定長細繩子）

問題2：把一根繩的兩端分別系在兩個圖釘上，并分開固定圖釘，繩長大于圖釘間距離，保持拉緊狀態(tài)移動鉛筆，畫一畫得到什么樣的曲線？

問題3：繩長等于圖釘間的距離，畫出何曲線？

問題4：為何不同同學(xué)畫出的橢圓，扁平程度不一樣。繩長不變，改變圖釘間的距離，觀察橢圓的扁平程度如何？繩長改變，圖釘間的距離不變，觀察橢圓的扁平程度如何？請畫圖實驗。

問題5：根據(jù)實驗總結(jié)橢圓扁平程度與繩長和圖頂間距離的關(guān)系。

問題6：根據(jù)畫圖，總結(jié)橢圓的定義。

設(shè)計意圖：

（1）采用感性導(dǎo)入法用課件展示圖片的，由點及面，由感性到理性，符合學(xué)生認識的思維路線，易激起興趣和學(xué)習(xí)動機。

（2）創(chuàng)設(shè)問題情境在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”中設(shè)計問題，所設(shè)計的問題面向全體，使學(xué)生的思維一直處于亢奮狀態(tài)，使每一位學(xué)生都積極參與思維活動，體現(xiàn)以學(xué)生為主體的新理念。

（3）培養(yǎng)動手能力培養(yǎng)動手實踐能力是現(xiàn)行教育中的一個弱點，在新課標(biāo)中特別指出研究性學(xué)習(xí)的重要性，而培養(yǎng)動手實踐能力是研究性學(xué)習(xí)中的所要培養(yǎng)的能力之一。通過畫橢圓檢驗，線段定長、兩定點時橢圓的圓扁程度。

（4）培養(yǎng)探索能力教育家布魯納說過：“探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線?！碧剿魇莿?chuàng)造的起步，學(xué)生的創(chuàng)造力不可能一蹴而就，只有引導(dǎo)他們學(xué)會探索，才能使學(xué)生的創(chuàng)造力得到有效的培養(yǎng)。

設(shè)計反思：

將傳統(tǒng)教學(xué)媒體與現(xiàn)代教學(xué)媒體有機結(jié)合在一起，促進了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，即將工具畫圖和課件展示有機結(jié)合。

二、方程畫橢圓——橢圓幾何性質(zhì)明晰

通過創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認知規(guī)律的問題情景，挖掘?qū)W生內(nèi)在的研究問題的巨大潛能，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，邏輯推理能力，提高學(xué)生的思維層次，掌握獲取知識的方法和途徑，真正體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)知識過程中的主體地位。在已推導(dǎo)了橢圓的標(biāo)準方程后，讓學(xué)生如何利用標(biāo)準方程探究橢圓的幾何性質(zhì)。現(xiàn)把這一教學(xué)片段中讓學(xué)生“做”的問題展示如下：

問題1：方程16x2+25y2=400表示什么樣的曲線，你能利用以前學(xué)過的知識畫出它的圖形嗎？學(xué)生活動過程：

情形1：列表、描點、連線進行做圖，在取點的過程中想到了橢圓的范圍問題；

情形2：求出橢圓曲線與坐標(biāo)軸的四個交點，聯(lián)想橢圓曲線的形狀得到圖形；

情形3：方程變形，求出，聯(lián)想橢圓畫法，利用繩子做圖；

情形4：只做第一象限內(nèi)的圖形，聯(lián)想橢圓形狀，對稱得到其它象限內(nèi)的圖形；

辨析與研討：實物投影展示學(xué)生的畫圖過程，挖掘?qū)W生的原有認知，體現(xiàn)同學(xué)的思維差異，培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣。

問題2：通過畫圖你得到了該橢圓的哪些幾何性質(zhì)？

設(shè)計意圖：

（1）問題設(shè)置來源于課本例題，選題目的有利于學(xué)生從多個角度進行思考和探索，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，第一問的解決舊體現(xiàn)了對二元二次方程的研究，為利用方程研究性質(zhì)打下基礎(chǔ)；

（2）課堂教學(xué)體現(xiàn)學(xué)生自主探究知識的過程，問題的設(shè)置體現(xiàn)了研究問題角度的轉(zhuǎn)變——用方程研究曲線性質(zhì)的問題，同時使學(xué)生意識到橢圓的幾何特征：范圍、對稱性、關(guān)鍵點；

（3）實物投影展示學(xué)生的研究過程和研究成果，重在發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維差異和思維認識層次；

（4）辨析過程中重視學(xué)生的思維起點，通過彼此交流，發(fā)現(xiàn)問題，共同探討，得到統(tǒng)一的認識。

問題3：橢圓標(biāo)準方程■+■=1（a>b>0）有什么特點？它有什么幾何性質(zhì)？并用橢圓方程研究或驗證其幾何性質(zhì)。

問題4：在橢圓標(biāo)準方程的推導(dǎo)過程中令a2-c2=b2能使方程簡單整齊，其幾何意義是什么？

問題5：學(xué)了橢圓的幾何性質(zhì)，如何快速畫出16x2+25y2=400的草圖？

設(shè)計意圖：

（1）抓住橢圓標(biāo)準方程的特點不放松，引導(dǎo)學(xué)生探究如何利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)；

（2）在學(xué)生的表述過程中重視學(xué)生的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生正確處理問題的思路，能夠引導(dǎo)學(xué)生從對稱性的本質(zhì)上得到研究對稱性的方法；

（3）多媒體課件展示橢圓的對稱性，使學(xué)生體會橢圓的對稱美。

（4）與開頭相呼應(yīng)，使學(xué)生認識到橢圓的簡單幾何性質(zhì)能夠簡化做圖過程。

設(shè)計反思：

利用已知條件求曲線的方程，利用方程研究曲線的性質(zhì)和畫圖是解析幾何的兩大任務(wù)，利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)可以說是第一次，傳統(tǒng)的教學(xué)過程往往是利用多媒體課件展示橢圓曲線，讓學(xué)生觀察、猜想橢圓的幾何性質(zhì)，然后再利用橢圓的標(biāo)準方程進行證明，體現(xiàn)從感性到理性符合學(xué)生的認知規(guī)律等，也可以說是用方程研究橢圓曲線性質(zhì)的一種思路，但未能很好地體現(xiàn)“利用方程研究曲線性質(zhì)”的本質(zhì)。