呂同林

摘 要：

數(shù)學(xué)教師應(yīng)該注重整體關(guān)聯(lián)，基于數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)，利用知識、方法以及探索路徑之間的聯(lián)系開展教學(xué)活動，

讓學(xué)生從已有經(jīng)驗出發(fā)，在自主探索中自然建構(gòu)，層層深入，“既見木又見林”

。以《探索三角形相似的條件》一課為例，說明：基于關(guān)聯(lián)，讓“數(shù)學(xué)化”自然而清楚；整體建構(gòu)，讓“結(jié)構(gòu)鏈”完整而堅固；經(jīng)歷過程，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)明晰而透徹；開放探索，讓數(shù)學(xué)思考深化而靈動。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué) 整體性 關(guān)聯(lián)性 三角形相似的條件

數(shù)學(xué)知識、方法之間具有較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性、相似性，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)又有一定的整體性、邏輯性。而當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)一般按照教材編寫的章節(jié)和課時順序逐一推進(jìn)，知識的呈現(xiàn)碎片化和單一化，習(xí)題的應(yīng)用也具有明顯的指向性，教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性和整體性顯得不足。這導(dǎo)致學(xué)生解決問題的思路、方法單一，知識、方法之間的有效遷移能力不足，整體感知、理解問題和綜合把握、運(yùn)用知識的能力有所欠缺。不少教師雖然會在課時小結(jié)以及單元總結(jié)環(huán)節(jié)花費一定的時間和精力，但是能力提升的效果事倍功半。

很多專家學(xué)者認(rèn)識到現(xiàn)有教學(xué)方式的不足，普遍倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)的“整體性”和“聯(lián)系性”。章建躍博士指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重數(shù)學(xué)的整體性。從教的角度說，把握好整體性，才能有準(zhǔn)確的教學(xué)目標(biāo)，才能把數(shù)學(xué)教得本質(zhì)而自然，教學(xué)行為才能‘準(zhǔn)‘精‘簡，才能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能；從學(xué)的角度看，注重整體性，才能了解知識的源頭、發(fā)展和去向，才能掌握不同內(nèi)容的聯(lián)系性，既學(xué)到‘好數(shù)學(xué)，又學(xué)得興趣盎然。”

筆者在教學(xué)實踐中認(rèn)識到：注重整體關(guān)聯(lián)，基于數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)，利用知識、方法以及探索路徑之間的聯(lián)系開展教學(xué)活動，讓學(xué)生從已有經(jīng)驗出發(fā)，在自主探索中自然建構(gòu)，層層深入，“既見木又見林”，符合數(shù)學(xué)的學(xué)科特性以及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能夠幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)脈絡(luò)，明晰數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)深度理解，獲得有效遷移，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)能力。下面以《探索三角形相似的條件》一課為例，進(jìn)行說明。

一、教學(xué)案例

（一）教學(xué)思考

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材將“相似三角形”內(nèi)容安排在九年級下冊。其編排結(jié)構(gòu)與八年級上冊的“全等三角形”內(nèi)容相同：定義—判定—性質(zhì)—應(yīng)用。其中“探索三角形相似的條件”一節(jié)共安排了5個課時的教學(xué)內(nèi)容：第1課時“平行線分線段成比例”、第2～4課時“三角形相似的判定”（三個判定逐一展開）、第5課時“重心概念等”。

學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形、四邊形以及圓的相關(guān)知識，積累了圖形性質(zhì)和判定的探究經(jīng)驗，同時也具備了一定的觀察、分析以及猜想、論證數(shù)學(xué)現(xiàn)象和規(guī)律的能力。學(xué)生之前具備的“一般→特殊”“特殊→一般”的圖形探究活動經(jīng)驗，為三角形相似條件的探索和整體建構(gòu)提供了可能：三角形全等是三角形相似的特殊形式，三角形相似是三角形全等的一般形式，全等三角形的判定自然就是相似三角形判定的探索之源。因此，立足“全等”探索“相似”，是由“特殊”走向“一般”的思維活動，是貼近學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)。

基于以上思考，筆者按照“注重整體關(guān)聯(lián)，自主探索，建構(gòu)三角形相似條件”的教學(xué)思路，將“三角形相似的三個判定”的教學(xué)放在一節(jié)課內(nèi)完成：設(shè)計“問題串”，引導(dǎo)學(xué)生自主思考、交流匯報，并適時對學(xué)生進(jìn)行點撥。

（二）教學(xué)（問題）設(shè)計

1.回憶聯(lián)想——關(guān)聯(lián)奠基。

問題1 目前為止，你有哪些判定三角形相似的方法？

問題2 探索三角形相似的條件可與學(xué)過的哪些內(nèi)容建立聯(lián)系？

問題3 從三角形全等的條件到三角形相似的條件是加強(qiáng)還是弱化？你能說說道理嗎？

設(shè)計意圖：問題1意在引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形相似的定義和預(yù)備定理，激活學(xué)生的已有經(jīng)驗，為探究和證明三角形相似的判定奠定基礎(chǔ)。問題2意在引導(dǎo)學(xué)生建立與

三角形全等的聯(lián)系，分析其一般性和特殊性，感悟三角形相似判定的必要性和可能性。問題3意在引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想四邊形、三角形中“一般與特殊”的關(guān)系，感受條件的加強(qiáng)與弱化的一般化思考經(jīng)驗，形成全等到相似（特殊到一般）條件的弱化意識和探究的欲望。

2.整體推進(jìn)——關(guān)聯(lián)探究。

問題4 三角形全等條件（“ASA”“AAS”“SAS”“SSS”）如何弱化？

問題5 基于上述弱化條件的思路，將“ASA”“AAS”“SAS”“SSS”逐一弱化，并將你的結(jié)論用語言表達(dá)出來。

問題6 根據(jù)弱化后的條件探究其能否判定三角形相似？說說你探究問題的方法和依據(jù)。

問題7 結(jié)合圖形用符號語言總結(jié)歸納三角形相似的判定方法，并與同伴交流。

設(shè)計意圖：四個問題不斷深入，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三角形全等條件的弱化方向，比如條件數(shù)量的減少以及對應(yīng)邊關(guān)系的一般化；經(jīng)歷弱化過程，感受三角形相似需要兩個條件來判定；通過特殊三角形、一般三角形畫圖驗證猜想，然后利用推理論證的方式得出結(jié)論：“ASA”和“AAS”轉(zhuǎn)化為“兩角分別相等的兩個三角形相似”，“SAS”轉(zhuǎn)化為“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”，“SSS”轉(zhuǎn)化為“三邊成比例的兩個三角形相似”。

這里，要注意探究視角和方法的多樣性；還要結(jié)合圖形用文字語言和符號語言陳述定理內(nèi)容，通過圖形、文字語言、符號語言的轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)和推理能力。通過這樣的“從特殊到一般”的探究活動，幫助學(xué)生整體認(rèn)識和建構(gòu)

三角形相似的三種判定，深化數(shù)學(xué)理解，提升數(shù)學(xué)思維。

3.開放應(yīng)用——關(guān)聯(lián)優(yōu)化。

問題8 判斷下列三角形是否相似。

（1）兩個等邊三角形；

（2）兩個等腰三角形；

（3）頂角相等的兩個等腰三角形；

（4）有一個角為40°兩個等腰三角形；

（5）△ABC與△DEF中，∠A=40°，AB=1，AC=3，∠D=40°，DE=2，EF=6；

（6）△ABC與△DEF中，∠A=30°，∠B=70°，∠D=30°，∠E=80°。

問題9 如圖1，添加適當(dāng)?shù)臈l件使△ACD與△ABC相似。說說你的方案和依據(jù)。

問題10 如圖2，你能根據(jù)圖形編擬一道利用相似三角形解決的問題嗎？

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)主要探索三個判定的選擇和使用。問題8直接運(yùn)用相似條件進(jìn)行判定。問題9、10具有開放性，充分調(diào)動學(xué)生主體參與數(shù)學(xué)活動的積極性和思考力，發(fā)掘知識之間的聯(lián)系性。問題9可以借助圖中隱藏的元素——公共角相等，添加另一組角相等或夾公共角的兩邊成比例的條件。問題10編擬的問題源于相似，可以先給定判定相似的條件，再利用相似的對應(yīng)邊、對應(yīng)角的性質(zhì)研究邊或角的關(guān)系。通過這樣的條件增補(bǔ)和問題設(shè)計，調(diào)動學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗，深化其對相似條件的理解，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)智能結(jié)構(gòu)，提升其應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

4.小結(jié)思考——關(guān)聯(lián)深化。

問題11 本節(jié)課研究問題的路徑是什么？你有哪些收獲和困惑？

問題12 如何選擇適當(dāng)?shù)臈l件判定兩個三角形相似？

設(shè)計意圖：問題11回顧本節(jié)課的研究路徑，形成

“由特殊到一般”以及“由一般到特殊”的研究思路，突出數(shù)學(xué)知識的“縱向數(shù)學(xué)化”，引領(lǐng)學(xué)生感悟和經(jīng)歷條件弱化和加強(qiáng)的過程以及思維視角，促進(jìn)對數(shù)學(xué)的深刻理解。問題12相似條件的選擇，是基于數(shù)學(xué)思考的角度，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考方式，提升其整體理解和運(yùn)用相似判定的能力，促進(jìn)其數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累和升華。

二、教學(xué)啟示

基于整體關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)活動，緊扣數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)鍵要素，整體把握數(shù)學(xué)知識之間的本質(zhì)聯(lián)系，從而使學(xué)生獲得穩(wěn)定而牢固的數(shù)學(xué)知識，感受新的思想和方法。這樣的學(xué)習(xí)高于一般意義的記憶和理解層面，能使學(xué)生的思維方法不斷優(yōu)化，思維品質(zhì)不斷提升，思辨能力不斷加強(qiáng)，高階思維得以發(fā)展。

（一）基于關(guān)聯(lián)，讓“數(shù)學(xué)化”自然而清楚

弗賴登塔爾指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是進(jìn)行‘再創(chuàng)造‘?dāng)?shù)學(xué)化。在數(shù)學(xué)教育中，應(yīng)當(dāng)特別注意這個數(shù)學(xué)化的過程，培養(yǎng)學(xué)生自己獲得數(shù)學(xué)的態(tài)度，構(gòu)造他們自己的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動是一個螺旋生長的過程。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之前，經(jīng)歷過生活中的一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象以及腦海中已有的數(shù)學(xué)知識和方法，在學(xué)習(xí)展開的過程中，及時分析生活現(xiàn)象中的數(shù)學(xué)特征進(jìn)行橫向數(shù)學(xué)化，將已有的數(shù)學(xué)知識和方法等進(jìn)行縱向數(shù)學(xué)化，并經(jīng)過比較、推演等活動建構(gòu)和生長新的數(shù)學(xué)知識?！蓖怀鲋R之間的聯(lián)系，可以促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的深入，形成穩(wěn)定且牢固的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

在本節(jié)課探索三角形相似的條件之前，學(xué)生已經(jīng)擁有了三角形全等的判定知識和探究經(jīng)驗，對于“由特殊到一般”關(guān)系的研究也具有一定的探索經(jīng)歷，如“四邊形→平行四邊形→矩形（菱形）→正方形”“三角形→等腰三角形（直角三角形）→等邊三角形（等腰直角三角形）”，條件之間的加強(qiáng)或弱化關(guān)系明晰?；谶@些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，通過弱化三角形全等條件的過程來探索三角形相似的條件，自然而清楚。

關(guān)注新、舊知識之間的聯(lián)系，讓新知識的生成有依有據(jù)、有情有理，這樣的學(xué)習(xí)是靈動而深刻的。

（二）整體建構(gòu)，讓“

結(jié)構(gòu)鏈”完整而堅固

布魯納說過：“知識如果沒有完美的結(jié)構(gòu)把它連接在一起，那是一種多半會遺忘的知識?！闭w把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，可以形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識和方法鏈，洞悉數(shù)學(xué)脈絡(luò)，深度理解數(shù)學(xué)。

“探索三角形相似的條件”一節(jié)，蘇科版教材分多個課時編排，一是基于知識逐步呈現(xiàn)的方式，二是基于難點分散的需要。但是這樣的教學(xué)易形成知識的碎片化，使知識的系統(tǒng)性和連貫性有所缺失。筆者采用“從特殊走向一般”的教學(xué)設(shè)計，將全等的四個判定（“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）弱化為相似的三個判定（兩角分別相等，兩邊成比例且夾角相等，三邊成比例）。這樣的整體推進(jìn)和建構(gòu)，讓推演過程精煉簡約、一氣呵成，讓知識“結(jié)構(gòu)鏈”

完整而堅固。此外，作圖感知、推理論證互相關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解甚為透徹。

基于數(shù)學(xué)知識整體建構(gòu)活動，讓學(xué)生對新知識的理解有層次、有厚度，這樣的學(xué)習(xí)是生動而深入的。

（三）經(jīng)歷過程，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)明晰而透徹

數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)概念、定理、法則的探索過程。概念的內(nèi)涵、外延，定理、法則的適用條件、結(jié)論等揭示了數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)。教師要讓學(xué)生在規(guī)律探索的活動中，疑、思、表達(dá)、完善，積累觀察、猜想、分析、比較、歸納、演繹等數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，不斷深化數(shù)學(xué)理解。

本節(jié)課中，三角形相似的條件從三角形全等的條件推演而來，經(jīng)歷“從特殊到一般”的條件弱化過程：從全等圖形邊、角對應(yīng)相等到相似圖形邊成比例、角對應(yīng)相等，或從所需條件的數(shù)量等方面不斷減弱。如對全等條件“ASA”，一方面弱化邊得到“AA”，另一方面減少角得到“A”，分析是否相似。學(xué)生依據(jù)弱化條件分別舉例，得出一角相等的兩個三角形不一定相似。對于兩角對應(yīng)相等的兩個三角形可通過特殊（如三角板）初步感知相似性，再研討一般（如兩角分別為40°、70°的兩個三角形，兩角分別為α、β的兩個三角形），接著通過作圖以及同桌相互比對活動，進(jìn)一步感受圖形的相似性，最后思考并完成推理論證，得出“兩角分別相等”的相似條件。接著再用同樣的方法變換：“AAS”→兩角分別相等，“SAS”→兩邊成比例且夾角相等，“SSS”→三邊成比例，并逐一論證。

學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)規(guī)律的探索活動，自主思考、探究、整合、加工，形成知識；在數(shù)學(xué)探索活動中感受數(shù)學(xué)家般的創(chuàng)造過程，品嘗“酸甜苦辣”滋味，樂此不疲。這樣的學(xué)習(xí)關(guān)注數(shù)學(xué)活動，聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出數(shù)學(xué)理解。

（四）開放探索，讓數(shù)學(xué)思考深化而靈動

深度學(xué)習(xí)尤其關(guān)注知識、方法的有效遷移和問題解決，這是高階思維發(fā)展的重要標(biāo)志。學(xué)生能否在理解的基礎(chǔ)上將習(xí)得的數(shù)學(xué)思想方法真正融入自己的知識結(jié)構(gòu)和體系中，其對新問題的解決是最好的考量。

本節(jié)課中，三角形相似條件的探索活動結(jié)束后，筆者設(shè)置了具有開放特征的兩個問題：問題9意在讓學(xué)生利用所學(xué)和所知選擇合適的條件判定三角形相似；問題10意在讓學(xué)生利用三角形相似的判定自主編擬所欲解決的問題，把學(xué)生的思考引向深入。在問題9中，學(xué)生可以利用隱含的公共角相等的條件，增補(bǔ)一個合適的條件，如另外的一組角相等或夾公共角的兩邊成比例來確定三角形相似。這樣的活動有助于學(xué)生深入理解判定條件，整體認(rèn)識和優(yōu)化判定方法，提升判定的選擇和應(yīng)用能力。在問題10中，學(xué)生可以利用圖形關(guān)系，設(shè)定相關(guān)的條件，建構(gòu)相似，再利用相似解決邊、角的關(guān)系，問題的設(shè)置可以是判定、計算、說理。學(xué)生在探索活動中，進(jìn)一步提升思維力，增強(qiáng)知識應(yīng)用的靈活性。

在開放的情境里，學(xué)生能夠自由思想，自主內(nèi)化、整合數(shù)學(xué)知識，優(yōu)化數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而形成創(chuàng)新素養(yǎng)。

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