桂水榮， 陳水生， 萬 水

(1.華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院 南昌，330013) (2.東南大學(xué)交通學(xué)院 南京，210096)

引 言

路面不平順是影響車橋耦合振動的主要因素之一，因路面不平順激勵可以看成高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程，考慮車輛在橋上的變速行駛，路面不平順激勵將引起車橋耦合非平穩(wěn)隨機(jī)振動。Chatterjee等[1]根據(jù)橋面隨機(jī)不平順激勵樣本，計(jì)算橋梁沖擊系數(shù)的均值和偏差。Li等[2]認(rèn)為橋面不平順樣本的峰值位置對沖擊系數(shù)有很大影響。經(jīng)典Monte-Carlo法計(jì)算工作量大，工程實(shí)踐中，人們不但關(guān)心響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差，而且重視樣本的均值及最大值，僅進(jìn)行少量樣本分析，計(jì)算結(jié)果可信度降低。目前研究車橋耦合隨機(jī)振動除Monte-Carlo法外，演變隨機(jī)過程[3]、概率密度演化分析[4]及虛擬激勵法[5]也是常用數(shù)值方法。

車輛在橋梁上變速行駛，彭獻(xiàn)等[6]認(rèn)為加速度對梁橫向振動影響不可忽略。殷新鋒等[7]認(rèn)為車輛制動初期對橋梁的沖擊系數(shù)較制動末期沖擊系數(shù)大。方志等[8]認(rèn)為車輛加速度、前后輪輸入激勵相關(guān)性對橋梁及車輛振動均產(chǎn)生影響。目前研究車輛變速引起的車橋耦合振動響應(yīng)主要以單次性確定響應(yīng)為主，單次性確定響應(yīng)難以有效體現(xiàn)非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)效應(yīng)。彭獻(xiàn)等[9]運(yùn)用虛擬激勵法研究車輛變速與共振空間頻率關(guān)系，認(rèn)為低頻對人體和車輛振動起主要作用。韓萬水等[10]分析認(rèn)為路面一致激勵和非一致激勵輸入對橋梁跨中動響應(yīng)及頻譜特性存在差異。上述文獻(xiàn)主要研究車輛變速行駛引起的車輛振動響應(yīng)或路面輸入激勵時滯效應(yīng)對車橋耦合振動影響，車輛變速行駛引起的車橋耦合非平穩(wěn)隨機(jī)振動響應(yīng)相對較少。

基于路面不平順一致激勵輸入模型，筆者采用虛擬激勵法建立車輛變速行駛的三維車橋耦合非平穩(wěn)隨機(jī)振動模型，以江西某高速公路梁橋?yàn)楸尘?，通過與Monte-Carlo法結(jié)果對比驗(yàn)證文中模型的正確性，重點(diǎn)研究車輛行駛的初速度、加速度對橋梁跨中豎向位移、加速度均方根值及頻譜特性的影響。

1 車-橋耦合振動模型

1.1 車輛振動方程

目前，行駛在公路橋梁上的載重汽車主要有兩軸、三軸自卸汽車及多軸掛車，筆者選取三軸自卸汽車作為研究對象，考慮車體豎向振動、縱向點(diǎn)頭、側(cè)翻以及車輪振動，將車輛簡化為“彈簧-質(zhì)量-阻尼”的三維九自由度振動體系，車輛簡化模型如圖1所示。

圖1 整車模型Fig.1 3D vehicle model with nine degrees of freedom

圖中車輛各自由度表示如下：ks1，ks2為前軸懸架彈簧剛度；kt1，kt2為前軸車輪剛度；ks3；ks4為中軸懸架彈簧剛度；kt3，kt4為中軸車輪剛度；ks5，ks6為后軸懸架彈簧剛度；kt5，kt6為后軸車輪剛度；cs1，cs2為前軸懸架阻尼系數(shù)；ct1，ct2為前軸車輪阻尼系數(shù)；cs3，cs4為中軸懸架阻尼系數(shù)；ct3，ct4為中軸車輪阻尼系數(shù)；cs5，cs6為后軸懸架阻尼系數(shù)；ct5，ct6為后軸車輪阻尼系數(shù)；m1，m2為前軸懸架系統(tǒng)質(zhì)量；m3，m4為中軸懸架系統(tǒng)質(zhì)量；m5，m6為后軸懸架系統(tǒng)質(zhì)量；mhb為車體質(zhì)量；Ihp為車體仰俯轉(zhuǎn)動慣量；Ir為車體側(cè)翻轉(zhuǎn)動慣量；θb為仰俯角；φ為側(cè)傾角；zb為車體豎向位移；z1,…,z6為車輛懸架位移坐標(biāo)；Bf為前軸寬度，Br后軸寬度；a為前軸到車輛質(zhì)心距離；b為中軸到車輛質(zhì)心距離；c為后軸到車輛質(zhì)心距離。

建立九自由度整車模型振動方程為

(1)

1.2 橋梁振動方程

運(yùn)用有限元方法將橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，建立三維空間有限元模型。對橋梁進(jìn)行離散時，橋梁振動方程可以寫成

(2)

使用典型Rayleigh阻尼，利用模態(tài)綜合疊加技術(shù)，式(2)可以改寫為

(3)

其中：I，X，Ω分別為對角質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣；Φ為模態(tài)向量矩陣。

1.3 車橋耦合振動方程

假設(shè)車輛行駛過程中，車輪與橋面保持不脫離，車輛與橋梁通過車輪與橋面接觸點(diǎn)處的位移協(xié)調(diào)和相互作用力的平衡條件相聯(lián)系。車輛荷載與橋面板的接觸關(guān)系可以表示成如圖2所示，考慮橋面不平順激勵的影響，汽車荷載通過車輪與橋面接觸關(guān)系如圖3所示。

圖2 車輛荷載與橋面板單元接觸示意圖Fig.2 An example to illustrate the interaction between bridge deck and vehicle

圖3 車輛與橋面接觸示意圖Fig.3 Sketch map of a vehicle running on bridge deck

第i個車輪與橋梁之間相互作用力可表示為

(4)

dvb,i=zi-ri-?i(i=1,2,…,6)

(5)

其中，dvb, i為第i個車輪相對于橋面的垂直位移；?i為i車輪處橋面板初始豎向位移量；ri為i車輪處的橋面不平順幅值，zi為i車輪的豎向振動位移。

車輛在三維空間橋梁模型上行駛時，時間積分步內(nèi)，車輛輪胎作用于橋面板的力，需通過插值函數(shù)等效到節(jié)點(diǎn)。有限元建模時橋面板及鋪裝層采用shell63單元進(jìn)行離散，其插值函數(shù)N可表示成

N= [NiNjNkNm]

(6)

(7)

其中：ξ=(x-xc)/a，η=(y-yc)/b；ξ0=ξξs；η0=ηηs；a，b為單元長度；xc，yc為單元形心坐標(biāo)。

車輪作用于板單元荷載向節(jié)點(diǎn)等效，第i車輪相對于橋面的位移及速度可以表示成

dvb,i=-NbiΦq-ri+zi

(8)

(9)

其中，Nbi為i車輪插值函數(shù)。

考慮路面不平順激勵后，將式(8)和式(9)代入式(4)，可得車輛作用于橋梁的慣性力為

(10)

車輪荷載作用于橋梁的荷載矩陣可以寫成

(11)

其中：nl為車輪總數(shù)。

單個車輪作用于橋梁的荷載寫成向量形式

(12)

將式(11)代入式(3)可得

(13)

聯(lián)立式(12)和式(1)，建立車橋耦合振動方程

(14)

其中：Mbv，Cbv，Kbv分別為車橋耦合振動模型的質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣；u為車橋耦合坐標(biāo)向量，u={q1,q2,…,qr,z1,…,z6,zb,θb,φ}T；Fg為車輛自重引起的動荷載；Fw為路面不平順激勵引起的動荷載。

(15)

2 車橋耦合非平穩(wěn)隨機(jī)虛擬激勵模型

2.1 六輪路面譜輸入模型

設(shè)l1和l2為中輪和后輪距前輪距離，B為車輛左右輪的間距，三軸六輪車平面布置如圖4所示。

圖4 三軸車輛平面布置示意圖Fig.4 Plan sketch of a vehicle with three triaxial

路面空間功率譜密度為靜態(tài)時，其垂直激勵可近似看作一種平穩(wěn)隨機(jī)過程，因車輛行駛過程中，車速不斷變化，輸入路面激勵實(shí)際上是動態(tài)非平穩(wěn)的隨機(jī)過程。路面不平度系數(shù)、左右輪間距、左右輪相干函數(shù)，都將影響著各車輪輸出的路面不平順激勵響應(yīng)。六輪相關(guān)路面激勵功率譜密度矩陣可以表示為

Gq(n) =

(16)

其中：coh(n)=e2πnB為左右輪路面譜激勵輸入相干函數(shù)；Gq(n)為路面不平度系數(shù)；n為空間頻率。

2.2 車輛勻加速行駛路面譜激勵

當(dāng)車輛以速度v作勻速行駛時，車速與頻率時空關(guān)系有ω=Ωv，即f=nv。其中，f和n分別表示時間頻率和空間頻率，v為車速。當(dāng)車輛以勻加速a行駛時，由t時刻車速vt=v0+at與時間頻率和空間頻率關(guān)系，可得t時刻時間頻率函數(shù)f=n(v0+at)。其中，v0為初始速度。

(17)

時間頻域內(nèi)的功率譜密度函數(shù)可轉(zhuǎn)化成圓頻率域內(nèi)的功率譜密度函數(shù)為

(18)

2.3 路面一致激勵車橋耦合虛擬激勵模型

若不考慮左右車輪軌跡的相干性及各車軸之間路面譜激勵輸入的時間滯后效應(yīng)，即輸入各車輪的路面譜激勵完全不相干，則相干系數(shù)coh(n)=0，時滯效應(yīng)系數(shù)為0，相干系數(shù)矩陣ρ=diag{1,1,1,1,1,1}。ρ為單位對角矩陣，可以表示成ρ=IIT，I為單位矩陣。設(shè)S為各車輪路面輸入譜激勵幅值矩陣，路面激勵的輸入矩陣可以表示成

Gq(ω)=SIITS=P*PT

(19)

由式(16)和式(19)構(gòu)造路面不平順激勵的虛擬激勵荷載

(20)

其中：Ie為單位列向量；Tb0，Tb1，Tv0，Tv1為車橋耦合虛擬激勵荷載系數(shù)矩陣。

將式(20)代入式(14)，由路面虛擬荷載激勵引起的確定性運(yùn)動方程可以寫成：

(21)

(22)

其中：u*為u的復(fù)共軛。

響應(yīng)方差可通過功率譜密度函數(shù)積分求得

(23)

式(23)為無窮限的廣義積分，可借助數(shù)值積分方法進(jìn)行求解。實(shí)際數(shù)值積分計(jì)算中的上限一般取有限值，假設(shè)取積分區(qū)間為[0,ωb]，若采用等間距梯形積分公式，式(23)可以寫為

其中：m為離散頻點(diǎn)數(shù)；Δω=ωb/m；ωk=kΔω(k=0,1,2,…,m)。

3 算例分析

3.1 車輛及橋梁動力特性參數(shù)

3.1.1 車輛參數(shù)

為研究虛擬激勵法求解整車模型在路面隨機(jī)激勵作用下車橋耦合振動響應(yīng)的準(zhǔn)確性，選取一輛三軸載重汽車單向行駛，分析裝配式簡支梁橋豎向振動響應(yīng)。車輛模型各參數(shù)如表1所示。橋面不平順激勵選用GB7031-2005[11]建議的B級路面不平度功率譜(B級路面不平度系數(shù)Gq(n0)為64 mm2·m)。

表1 車輛模型參數(shù)

3.1.2 橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)及動力特性

以某預(yù)應(yīng)力混凝土簡支T梁橋?yàn)檠芯繉ο?，主梁跨?0 m，上部結(jié)構(gòu)橫向由6片T梁組成，T梁高2 m，單片梁寬2.10 m，橋面鋪裝為10 cm厚C50混凝土橋面鋪裝層+10 cm改性瀝青混凝土。采用ANSYS軟件建立橋梁三維空間有限元模型，運(yùn)用板單元模擬橋面鋪裝層，板-殼實(shí)體單元模擬主梁。橋面鋪裝層及橫隔板采用shell63板單元，主梁結(jié)構(gòu)采用solsh190板-殼實(shí)體單元，有限元模型如圖5所示。對結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，提取簡支梁橋前10階自振頻率和振型，簡支梁橋前十階自振頻率及振型特征如表2所示。

圖5 簡支梁橋有限元模型Fig.5 The FEM of simple supported beam bridge

模態(tài)階數(shù)1234頻率/Hz4.1755.37211.3914.28振型特性豎彎(正)豎彎(正)+橫向扭轉(zhuǎn)豎彎(反)+橫向扭轉(zhuǎn)豎彎(反)模態(tài)階數(shù)5678頻率/Hz17.2819.4322.3925.60振型特性豎彎(反)+橫向扭轉(zhuǎn)橫向彎曲+微弱豎彎(反)豎彎(正)微弱豎彎(正)+橋面板局部扭轉(zhuǎn)模態(tài)階數(shù)910頻率/Hz30.5133.01振型特性豎彎(反)+橋面板局部扭轉(zhuǎn)豎彎(正)+橋面板局部扭轉(zhuǎn)

從表2可以看出，簡支梁橋前5階頻率均以豎彎為主，第2階頻率伴隨豎向彎曲振型，主梁出現(xiàn)了橫向扭轉(zhuǎn)振型；從第6階振型開始出現(xiàn)橫向彎曲，進(jìn)入第8階頻率后，橋面板開始出現(xiàn)局部扭轉(zhuǎn)振動，隨自振頻率增大，橋面板局部扭轉(zhuǎn)振動愈明顯。

3.2 車橋耦合隨機(jī)響應(yīng)校驗(yàn)

3.2.1 車輛加載

為驗(yàn)證筆者提出的整車非平穩(wěn)隨機(jī)振動模型及算法正確性，運(yùn)用虛擬激勵法(pesudo-excitation method, 簡稱PEM)和Monte-Carlo法(運(yùn)用三角級數(shù)疊加法模擬路面不平順樣本，計(jì)算單次確定性響應(yīng)，然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析)，采用精細(xì)積分算法(precise intergration method, 簡稱PIM)數(shù)值迭代格式求解，對比分析單車荷載在簡支梁橋上勻速行駛時，各片梁跨中及四分之一位置(L/4)的豎向動位移、加速度時程響應(yīng)及功率譜密度曲線。根據(jù)車輛在橋梁上行駛特性及《橋規(guī)》[12]，研究車輛按偏載和正常行車道兩種工況行駛，PL1(偏載工況)：車輛距路緣石0.5 m；BL1(標(biāo)準(zhǔn)行車道工況)：車輛按左側(cè)標(biāo)準(zhǔn)行車道行駛。主梁橫斷面及車輛加載示意圖如圖6所示。經(jīng)分析，車輛按PL1工況行駛，邊梁及次邊梁所承受荷載最大，為車輛行駛最不利工況。文中僅分析車輛按PL1工況行駛的響應(yīng)。

圖6 主梁橫斷面及加載示意圖(單位:cm)Fig.6 Sketch map of girder cross section and loading (unit:cm)

3.2.2 車橋耦合隨機(jī)響應(yīng)校驗(yàn)

圖7 為車輛以25 m/s勻速按PL1工況行駛在B級路面上，Monte-Carlo法及PEM法計(jì)算邊梁跨中及L/4位置因路面不平順激勵引起的豎向位移均方根響應(yīng)曲線。Monte-Carlo法統(tǒng)計(jì)次數(shù)較少時，位移均方根曲線圍繞著PEM計(jì)算結(jié)果上下波動，隨著統(tǒng)計(jì)次數(shù)增加，跨中及L/4位置豎向位移均方根曲線趨近于PEM計(jì)算結(jié)果。筆者提出的基于PEM整車車橋耦合隨機(jī)模型準(zhǔn)確可行。

圖7 Monte-Carlo法與PEM法結(jié)果對比Fig.7 Comparison of PEM and Monte-Carlo results for the root mean square curves of the different bridge point

圖8給出了車輛按PL1工況以25 m/s勻速通過簡支梁橋，路面不平順激勵時滯效應(yīng)對邊梁跨中位置豎向位移均方根的影響。從圖8可知，PEM法不考慮路面激勵輸入的時間滯后效應(yīng)，Monte-Carlo法與PEM法計(jì)算結(jié)果接近；PEM法考慮路面輸入激勵的時滯效應(yīng)后，跨中豎向位移均方根響應(yīng)曲線與未考慮時滯效應(yīng)的Monte-Carlo法及PEM法計(jì)算結(jié)果存在一定的偏差；車輛未進(jìn)入跨中之前，時滯效應(yīng)的跨中位移均方根最大值比未考慮時滯效應(yīng)大，車橋耦合進(jìn)行空間分析，需考慮車輛前后各車輪輸入路面激勵的時滯效應(yīng)。

圖8 時滯效應(yīng)對跨中位移均方根影響Fig.8 The displacement RMS curve concerning time-lag effect at mid-span

3.3 變速非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)分析

圖9和圖10為車輛以10 m/s 的初速度、不同加速度通過簡支梁橋B級路面，邊梁跨中豎向位移、加速度均方根響應(yīng)及加速度功率譜密度曲線圖。車輛行駛加速度為零時，即車輛勻速通過簡支梁橋，跨中位移及加速度均方根響應(yīng)曲線峰值均最小。車輛行駛加速度為6 m/s2，跨中最大位移均方根為0.411 6 mm，勻速行駛時的跨中最大位移均方根為0.141 5 mm，隨著加速度增加，位移峰值逐漸增大，且出現(xiàn)最大響應(yīng)時車輛加載位置接近。與位移響應(yīng)變化規(guī)律不同，加速度響應(yīng)峰值并不隨車輛行駛加速度單調(diào)增大。車輛加速度為4 m/s2時，跨中加速度均方根響應(yīng)最大值均較加速度為2，6 m/s2均小，出現(xiàn)加速度峰值的車輛加載位置并不相同。同時，從圖10可以看出，隨著車輛行駛加速度增大，路面激勵與車橋耦合共振的空間頻率區(qū)間加大，共振功率譜幅值降低。車輛勻速行駛引起的共振頻率與勻加速行駛引起的共振頻率有偏離；勻速行駛的共振頻率區(qū)間較小、且峰值較大。車輛勻加速行駛，梁底加速度功率譜在低階頻率未出現(xiàn)共振頻率峰值；車輛勻速行駛在橋梁基頻4 Hz處出現(xiàn)較小的共振頻率峰值。車輛勻加速行駛，梁底在12 Hz與路面空間頻率出現(xiàn)共振峰值，勻速行駛則在14 Hz處出現(xiàn)共振峰值；行駛加速度大小直接影響路面激勵與車橋耦合共振頻率的大小及區(qū)間長度。

圖9 車輛行駛加速度對跨中動響應(yīng)的影響Fig.9 The dynamic response of mid-span concerning different vehicle acceleration

圖10 車輛行駛加速度對跨中加速度功率譜曲線的影響Fig.10 The acceleration power spectrum of different vehicle acceleration

圖11給出了車輛以不同初速度和加速度行駛時，跨中豎向位移和加速度均方根最大值隨行車速度變化關(guān)系圖。相同行駛加速度下，車輛行駛初速度越大，跨中位移和加速度均方根最大值逐漸增大，初速度達(dá)到20 m/s時，位移及加速度均方根隨車速變化平穩(wěn)，這主要是因車輛在橋上行駛時間較短，車輛加速行駛效應(yīng)未能有效體現(xiàn)；橋梁跨中位移及加速度均方根最大值隨車輛行駛加速度呈現(xiàn)先快后緩的增長趨勢，但并不成線性關(guān)系。

圖11 車輛變速行駛對跨中動響應(yīng)最大值的影響Fig.11 The maximum dynamic response of variable vehicle at mid-span

4 結(jié)束語

基于路面不平順一致輸入激勵，采用虛擬激勵法建立車輛變速行駛?cè)S車橋耦合非平穩(wěn)隨機(jī)振動模型。以某簡支梁橋?yàn)槔?，分析車輛變速通過簡支梁橋隨機(jī)振動響應(yīng)，結(jié)果表明：PEM法與Monte-Carlo法計(jì)算結(jié)果能較好吻合，表明筆者提出的算法有效；研究空間車橋耦合隨機(jī)振動響應(yīng)，路面激勵輸入的時滯效應(yīng)不可忽略；車輛行駛最大瞬時速度是決定跨中位移和加速度響應(yīng)的主要因素；路面激勵與車橋耦合的共振頻率峰值車輛勻速行駛比勻加速度明顯。