位瑞英，李 銀

（韶關學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 韶關 512005）

線性代數(shù)是高等數(shù)學中非常重要的一門課程，是大學本科計算機、管理、工程、經(jīng)濟等各專業(yè)必修的基礎課，也是一門在很多領域中具有廣泛應用的工具課程。在以往傳統(tǒng)的課堂教學中，受制于課堂45分鐘時間、硬件設施等方面的限制，授課重點通常放在理論知識的講授上。自從2014年教育部關于地方本科高校轉(zhuǎn)型發(fā)展的指導意見頒布以來，部分地方本科高校開始向應用型本科院校轉(zhuǎn)型，作為大學數(shù)學核心課程的“線性代數(shù)”也面臨著教學的改革和調(diào)整，克服重理論、輕實踐的傾向，其一般的方式是信息的多元融合，融入教學輔助工具，將理論問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學實驗問題的思路引入教學過程中［1-5］，再結合數(shù)學軟件的功能，讓學生掌握如何用數(shù)學軟件進行相關計算的同時，加深對所學線性代數(shù)知識的理解。無論是從掌握一門實用技巧出發(fā)，還是從線性代數(shù)這門課程教學改革的意義出發(fā)，兩者相結合實施教學都有可取之處，進而體現(xiàn)出地方應用型高校學生以“應用為驅(qū)動，學生為主導”的特點。

隨著信息技術的飛速發(fā)展，基于開放、包容原則發(fā)展的數(shù)值實驗呈排山倒海之勢在快速改變著傳統(tǒng)的一切。數(shù)學軟件MATLAB以其具有的數(shù)值與符號計算、圖像顯示、文字處理以及強大的矩陣運算功能等特點受到廣大師生的推崇，而線性代數(shù)中向量組的線性相關性，以及在它的基礎上推導和衍生出的其他相關理論，如矩陣的運算、向量組的線性相關性的判定、線性方程組解的結構及求法、二次型等許多知識點都離不開矩陣。如何將MATLAB軟件引入線性代數(shù)的教學中已經(jīng)成為地方高校線性代數(shù)教學改革的一種趨勢。一方面，能加深學生對理論知識的理解；另一方面，改進了傳統(tǒng)的教學方式，也可以突出該學科與數(shù)學模型、數(shù)值分析等課程的聯(lián)系，提高學生的動手能力及參與度，激發(fā)學習的興趣，使學生對知識的獲取、理解與掌握有重要的推動作用，從而達到“學練結合，學有所獲，學以致用”的效果。

在傳統(tǒng)的線性代數(shù)解題中，計算一個矩陣的秩、判斷向量組線性相關性、求解方程組等知識點中，學生需要花很長時間，并且計算準確率不高。而利用現(xiàn)代教學方式與信息化軟件融合的方式，將會大大縮短計算的時間，增加準確率，增加學生的學習興趣。下面將以具體例子說明，首先給出常用的軟件命令，見表1。

表1 常用的軟件命令表

一、MATLAB在向量組線性相關性中的應用

例1求下列矩陣列向量組的一個最大無關組：

記矩陣 B的 4個列向量依次為 α1,α2,α3,α4，則α1,α2,α4是列向量組的一個最大無關組，且有α3=3α1-2α2。

解 編寫程序如下：

說明 α1,α2,α3是 R3的一個基，且有 b1=5α1+α2+α3,坐標為(5,1,1)T。

二、利用MTALAB求解齊次線性方程組

例3 求解線性方程組：

解 在MTALAB命令窗口輸入程序：

＞＞A=［1-2-1-1;2-4 5 3;4-8 17 11］;

＞＞r=rank(A) %求系數(shù)矩陣的秩

＞＞y=null(A,‘r’) %求齊次方程組的基礎解系

＞＞r=2， ξ1=(2,1,0,0)T,ξ2=(2,1,-5,7)T

結果分析：系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)x的個數(shù)(rank（A）=2＜3)，根據(jù)相關判定定理可知，該齊次方程組有非零解，并且基礎解系中有兩個列向量；通過命令null(A,‘r’)，可以進一步得到該方程組的基礎解系。

三、利用MTALAB解非齊次線性方程組

情況1 方程組解的存在性判斷定理：若非齊次線性方程組系數(shù)矩陣A的秩不等于增廣矩陣B的秩，則該方程組無解。

在MATLAB命令窗口運行以下命令：

＞＞A=［2 1-1 1;3-2 2-3;5 1-1 2;2-1 1-3］;%系數(shù)矩陣

＞＞b=［1;2;0;4］;%常數(shù)列向量

＞＞B=［A b］; %增廣矩陣

＞＞rank(A),rank(B)%系數(shù)矩陣的秩及增廣矩陣的秩

結果：rank（A）=3，rank（B）=4.

由于 rank（A）≠rank（B），故由解的存在性判斷定理可知，該非齊次線性方程組無解。

情況2 方程組解的存在性判斷定理：若非齊次線性方程組系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣B的秩，同時又等于未知數(shù)x的個數(shù)，則該方程組有唯一解。

借助MATLAB軟件求解，具體程序如下：

＞＞A=［1 3 5-4 0;1 3 2-2 1;1-2 1-1-1;1-4 1 1-1;1 2 1-1 1］;

＞＞b=［1;-1;3;3;-1］;

＞＞B=［A b］;

＞＞rank(A)

＞＞rank(B)

由于 rank（A）=rank（B）=4（未知數(shù) x的個數(shù)），因此由解的存在性判斷定理可知，該方程組有唯一解。

情況3 方程組解的存在性判斷定理：如果系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣B的秩，同時小于未知數(shù)x的個數(shù)，則該方程組有無窮多解。

編寫MATLAB程序：

＞＞A=［2-1 4-3;1 0 1-1;3 1 1 0;7 0 7-3］;

＞＞b=［-4;-3;1;3］;

＞＞B=［A b］;

＞＞rank(A)

＞＞rank(B)

結果分析：矩陣A的秩等于矩陣B的秩=3＜4(未知數(shù)x的個數(shù))，因此由解的存在性判斷定理可知，該線性方程組有無窮多解。

四、MATLAB在相似矩陣及二次型中的應用

解 二次型矩陣為：

P就是所求的正交矩陣，使得PTAP=D，令X=PY，其中 X=［x1x4］T,Y=［y1y4］T，化簡后的二次型為g=9+18+18。

上面求得的正交矩陣P是數(shù)值解，下面求正交矩陣的精確解。由命令可求：

此處v的第1、2、3列分別是所求得矩陣A的特征值9、18、18所對應的特征向量。然后對v化簡，正交化與單位化處理，可求出正交矩陣P。

通過本文的案例可以看出，通過將數(shù)學實驗軟件MTALAB引入到線性代數(shù)的教學中，一方面有助于學生對知識的理解與鞏固；另一方面改變了傳統(tǒng)的教學方式，讓學生更多的參與到教學討論中，提高學生學習的效率和興趣，也避免了手動將矩陣做行初等變換等一系列的計算過程，從而大大縮短了計算時間，增加了準確率，讓學生在學習理論知識的同時了解了計算機的實用，并能熟練運用MTALAB軟件解決線性代數(shù)中的問題，進而達到學有所用、學以致用，提高學生的綜合素質(zhì)的目的。

利用信息融合方法解決線性代數(shù)問題是現(xiàn)代教育研究課題之一，本文從線性代數(shù)的實際出發(fā)，借助信息技術與數(shù)學軟件功能，輔助求出線性代數(shù)問題，形成了“講授、板書、計算機演示”為一體的教學模式，從而豐富了線性代數(shù)問題的案例教學，并從實際意義和結果分析上，揭示實際學習中代數(shù)問題快速求解的重要意義。