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【摘要】在指數(shù)函數(shù)教學中，利用幾何畫板輔助作圖，以動態(tài)、直觀的形式引導學生觀察、思考、總結、歸納，不僅激發(fā)了學生的學習興趣，還大大提高了學習效率.幾何畫板作圖還可以推廣到對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的教學中，更好地促進函數(shù)的教學，實現(xiàn)高效課堂.

【關鍵詞】幾何畫板；指數(shù)函數(shù)；教學

函數(shù)是高中數(shù)學最重要的內容之一，但由于其抽象性強，多數(shù)學生難以理解.教學大綱要求學生能從函數(shù)圖像中提取信息并運用這些信息解決問題.在傳統(tǒng)教學模式中，教師徒手繪圖問題不少，比如，耗時、多個函數(shù)在同一坐標系中圖像雜亂、參數(shù)變化時函數(shù)圖像的變化情況難以動態(tài)顯現(xiàn)出來等.如何解決這些問題？筆者借助幾何畫板，動態(tài)、直觀展現(xiàn)函數(shù)圖像，引導學生觀察、思考、總結、歸納.現(xiàn)結合“指數(shù)函數(shù)及其性質”的教學設計淺談幾何畫板在函數(shù)教學中的輔助作用.

一、教學內容分析

“指數(shù)函數(shù)及其性質”是人教版普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學必修1》第2.1.2節(jié).考慮到筆者所執(zhí)教班級學生數(shù)學基礎差，將本節(jié)分兩個課時，第一課時研究指數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質，第二課時研究指數(shù)函數(shù)應用.本文案例是第一課時.指數(shù)函數(shù)是很重要的基本初等函數(shù)，不僅是后面學習對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的基礎，而且在生產生活中應用廣泛，因此，需要重點研究.

二、學情分析

此前學生已經學習了函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法以及函數(shù)的性質.已了解函數(shù)有多種表示方法，常見的有解析式和圖像法.初步懂得這兩種表示法可以結合起來研究函數(shù)，即我們常說的“數(shù)形結合”.但是還沒有應用此法對一類函數(shù)進行過深入分析，而指數(shù)函數(shù)剛好給學生一個應用的機會.

三、教學目標

1.理解指數(shù)函數(shù)的概念，感受什么是指數(shù)爆炸增長.會用幾何畫板畫具體的指數(shù)函數(shù)的圖像，同時會通過列表描點連線的方法畫底數(shù)為2，12等較為簡單的指數(shù)函數(shù)的大致圖像.

2.借助幾何畫板，通過觀察不同底的指數(shù)函數(shù)圖像，分類并歸納、總結出指數(shù)函數(shù)性質，由感性認識上升到理性認識.同時，培養(yǎng)學生自主探究、團隊協(xié)作的能力.

3.能利用指數(shù)函數(shù)相關知識解決簡單的數(shù)學問題.

四、教學重難點

重點：指數(shù)函數(shù)概念，指數(shù)函數(shù)性質及研究方法.

難點：借助函數(shù)圖像研究函數(shù)性質；指數(shù)函數(shù)性質.

五、教學過程設計

（一）情境創(chuàng)設

問題1：如果1號同學在自己的本子上畫2個圓點，2號同學在自己的本子上畫4個圓點，3號同學畫6個，按照這樣的規(guī)律，8號同學該在自己的本子上畫多少個圓點？

問題2：如果1號同學畫2個圓點，2號同學畫4個，3號同學畫8個，4號同學畫16個，按照這個規(guī)律，8號同學該畫多少個圓點？

設計意圖：《必修1》2.1節(jié)開頭提出我國GDP的增長問題和生物體內炭14的衰減問題，這讓學生感受到指數(shù)函數(shù)和生產生活有緊密聯(lián)系，但也讓學生感到復雜煩瑣，望而卻步，比如，這兩個問題涉及的函數(shù)分別為y=1.073x，x∈N*，x≤20和P=12t5730.因此，創(chuàng)設情境，一來調動全班同學學習積極性，二來讓學生在問題情境中感受到一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的不同.特別地，以如下表格形式呈現(xiàn)問題1，2的結果，對比發(fā)現(xiàn)問題2中隨著學號增加，圓點個數(shù)增長比較厲害，讓學生感受到指數(shù)函數(shù)爆炸增長.

問題3：在上述問題中，如果學號x的同學應畫圓點個數(shù)用y表示，那函數(shù)解析式分別是什么？

設計意圖：嘗試讓學生寫函數(shù)解析式，為學習指數(shù)函數(shù)的定義做準備.根據(jù)經驗，定義域是學生容易忽略的問題，可通過分析學生的不同結果，提醒其注意定義域.

（二）探索新知

1.指數(shù)函數(shù)的定義.

問題4：《必修1》第2.1節(jié)開頭的問題1和上述問題2的函數(shù)解析式分別是y=2x，x∈N*，x≤80和y=1.073x，x∈N*，x≤20，是函數(shù)家族的新面孔吧？它們的形式相同嗎？能給這類函數(shù)一個類似于一次、二次函數(shù)的一般形式，并給它起個名字嗎？

設計意圖：讓學生發(fā)現(xiàn)此類函數(shù)的特征并嘗試命名，激發(fā)學生興趣，加深學生對指數(shù)函數(shù)形式的理解.學生很快能寫出y=ax，教師強調：底數(shù)是常數(shù)，自變量在指數(shù)位置.

問題5：對于指數(shù)函數(shù)模型，在實際中我們希望自變量x可以任意取值，在這個前提下底數(shù)a可取任意實數(shù)嗎？

設計意圖：經過自主思考和合作交流，同學們會根據(jù)“負數(shù)沒有偶次方根，零的負分數(shù)指數(shù)冪不存在”得到a>0.但是為什么又規(guī)定a≠1呢？當a=1時y=1x這個函數(shù)確實存在，但由于y=1x即y=1，x∈R，是常函數(shù)，不再歸為指數(shù)函數(shù).通過生生互動和師生互動，得出形如y=ax（a>0且a≠1）的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù)，加深學生對底數(shù)限制條件的印象.教師通過數(shù)軸巧妙地把底數(shù)a的范圍轉化為a>1和1>a>0，為下面學習指數(shù)函數(shù)性質時如何進行分類討論做鋪墊.

問題6：判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)？

設計意圖：注意對底數(shù)a的限定，并注意利用指數(shù)冪的運算性質化簡后再觀察其形式.

2.指數(shù)函數(shù)的圖像及性質.

根據(jù)學生的認知規(guī)律和思維習慣，按照動手操作，觀察猜想，幾何畫板作圖驗證猜想的思路進行教學.

（1）動手操作.

問題7：同學們還記得畫函數(shù)圖像的方法嗎？請奇數(shù)學號的同學在同一直角坐標系中畫指數(shù)函數(shù)y=2x和y=3x的圖像，偶數(shù)學號的同學在同一直角坐標系中畫y=12x和y=13x的函數(shù)圖像.

設計意圖：對于底數(shù)比較簡單的指數(shù)函數(shù)，讓學生通過列表、描點、連線的方法畫函數(shù)圖像，這是學生畫指數(shù)函數(shù)大致圖像的最基本的要求.展示同學們的畫圖結果，發(fā)現(xiàn)奇偶號同學的圖差別較大，引發(fā)學生思考底數(shù)對圖像的影響.

（2）觀察猜想

問題8：觀察這四個指數(shù)函數(shù)的大致圖像，它們有什么共同點和不同點？指數(shù)函數(shù)有什么性質？

設計意圖：讓學生通過觀察圖像分析指數(shù)函數(shù)的性質.

（Ⅰ）圖像都過點（0，1）；

（Ⅱ）函數(shù)定義域為R，值域為（0，+∞）；

（Ⅲ）a>1時，函數(shù)圖像呈上升趨勢，即函數(shù)在R上單調遞增；1>a>0時，函數(shù)圖像呈下降趨勢，即函數(shù)在R上單調遞減.

（3）利用幾何畫板作圖驗證猜想.

（Ⅰ）教師利用幾何畫板演示

由于底數(shù)a可取任意大于0且不等于1的實數(shù)，因此，在幾何畫板中對a設置滑動條，即用一端固定于x軸的豎直線段的長度表示a的值，當鼠標拉動滑動條變長變短時，a的值就隨著變大變小，而a的值和對應的指數(shù)函數(shù)y=ax的解析式則一一顯示在幾何畫板中，方便同學們觀察a取不同值時函數(shù)y=ax的圖像.如圖1所示，當a>1時，從上到下拖動滑動條，隨著滑動條長度越來越接近1，即a的值越來越接近1，圖像就越來越接近直線y=1，特別地，a=1時圖像就是直線y=1.同時，a>1時，圖像呈上升趨勢，并且a值越大，在第一象限內的圖像越接近y軸.

同樣的方法，教師演示1>a>0時，a的值和對應的指數(shù)函數(shù)y=ax的解析式及圖像.最后讓同學們觀察這些圖像（圖2），發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的性質，驗證自己剛才關于指數(shù)函數(shù)性質的猜想是否正確.

設計意圖：研究同類函數(shù)的方法通常是在同一坐標系中，做出多個函數(shù)的圖像，通過觀察和比較得到函數(shù)的性質.通過幾何畫板可以快速繪制函數(shù)圖像，并能清楚地顯示參數(shù)a變化時函數(shù)圖像的變化，使學生更清楚、更直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，并驗證自己的發(fā)現(xiàn)和猜測.利用幾何畫板輔助作圖，一方面，大大提高了課堂效率，另一方面，突出了研究函數(shù)的方法，突破了重難點.

（Ⅱ）學生利用幾何畫板繪圖.

設計意圖：同學們可以親自利用幾何畫板繪制任意想要的指數(shù)函數(shù)的圖像，活躍課堂氣氛，并借機進一步深化指數(shù)函數(shù)相關知識，比如，什么是指數(shù)增長，經濟中的“復利率”以及高利貸為什么那么可怕等等.還可以幫同學們總結指數(shù)函數(shù)圖像和性質的口訣“左右無限上沖天，永與橫軸不沾邊，大1增，小1減，圖像恒過（0，1）點”，提高記憶效率，增強記憶效果.

六、教學反思

本節(jié)課的亮點是利用幾何畫板輔助作圖，與傳統(tǒng)的手工畫圖教學比較，利用幾何畫板輔助函數(shù)教學主要有以下優(yōu)點.

（一）精準作圖，省時高效

傳統(tǒng)的手工畫圖耗時、耗力，畫簡單函數(shù)的大致圖像時經常用到，但是畫任意的指數(shù)函數(shù)的精確圖像很難實現(xiàn).幾何畫板可以精準作圖，省時高效.

（二）動態(tài)演示，形象直觀

本節(jié)課在研究指數(shù)函數(shù)的圖像和性質時，通過幾何畫板動態(tài)演示底數(shù)a變化時的指數(shù)函數(shù)圖像的變化，給學生創(chuàng)設一個直觀形象的平臺，讓學生更快、更直接地發(fā)現(xiàn)并領悟指數(shù)函數(shù)的性質.學生通過觀察、思考、總結和歸納，對所學知識從感性認識上升為理性認識.

（三）突破難點、驗證猜想

本節(jié)課的教學難點是研究一類函數(shù)的方法及指數(shù)函數(shù)的性質.幾何畫板輔助作圖有效地突破了教學難點.事實上，學生自己手工做出兩個簡單的具體的指數(shù)函數(shù)的圖像后，對指數(shù)函數(shù)的性質已經有了初步猜想，但不是十分肯定，而通過幾何畫板可以做出任意的指數(shù)函數(shù)的圖像，由具體到一般，驗證了學生的猜想.眾所周知，由于函數(shù)的高度抽象性，高中生談“函數(shù)”色變，利用幾何畫板輔助作圖幫助他們驗證猜想，可以增強學生學習函數(shù)的自信心.

（四）激發(fā)興趣、授之以漁

幾何畫板的應用，引起了學生的注意力，激發(fā)了學生學習的興趣，活躍了課堂氣氛.讓學生親自利用幾何畫板做出任意的指數(shù)函數(shù)的圖像，不僅增強了學生動手操作的能力，還給學生滲透了一種方法，即遇到復雜的難以用手工畫圖的函數(shù)時，可以借助現(xiàn)代信息技術，如幾何畫板作圖.“授之以魚不如授之以漁”，教給學生方法和思路對學生今后學習數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)會有很大的幫助.

總之，在函數(shù)教學中，教師可以在手工畫圖的基礎上，結合幾何畫板作圖的優(yōu)勢，更好地促進函數(shù)教學，實現(xiàn)高效課堂.

【參考文獻】

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