朱靜

每個(gè)同學(xué)都可能遇到過這樣的兩種情形：其一，面對(duì)一道數(shù)學(xué)問題無從下手，反復(fù)在腦海中百度，也搜索不到能夠借用、類比或轉(zhuǎn)化的信息，只能望題興嘆，匆匆跳過；其二，每天練了一道義一道的數(shù)學(xué)試題，可拿到數(shù)學(xué)試卷時(shí)，總感覺多數(shù)題是新的，心中不無感慨：是命題老師太厲害了，還是數(shù)學(xué)問題無窮無盡？

其實(shí)，這兩種情形是正常的.究其原因，不是我們學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)能力的問題，而是我們解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的策略有缺陷.當(dāng)你無從下手時(shí)，有沒有考慮從簡單、特殊的情形（狀態(tài)）之中，解讀問題信息、探尋數(shù)學(xué)規(guī)律，進(jìn)而破解難題？當(dāng)你解完一道數(shù)學(xué)問題時(shí)，你是否匆匆忙忙急于完成下一題，而遺忘問題解決的關(guān)鍵步驟——題后反思？

本文擬結(jié)合具體的數(shù)學(xué)問題，與同學(xué)們談?wù)勥@兩柄利劍：特殊化和一般化，

一、特殊化：退一步海闊天空

所謂“特殊化”，可以簡單地理解為：“從一般問題中抽取特殊情形，充分利用特殊情形的簡單性去認(rèn)識(shí)復(fù)雜事物，”學(xué)會(huì)“特殊化”能將抽象的數(shù)學(xué)命題變得具體而簡單，能從復(fù)雜的問題表征中刪去干擾的、冗余的信息.由簡單情形作為起點(diǎn)，猶如一面鏡子，可為一般情形提供對(duì)比，在對(duì)比中解決問題，在變化中把握趨勢，在特殊中窺見一般，從而破解難題，甚至獲得驚喜的發(fā)現(xiàn).

題后反思（1）回顧本題的求解過程，用到了兩個(gè)知識(shí)：對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的互化、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的比較大小，顯然，先“特殊”后“一般”，我們思維通道的密度增加，這些知識(shí)回想起來自然些，運(yùn)用起來簡單些.

（2）本題本質(zhì)上是比較三個(gè)數(shù)的大?。簒∈（0，1）上不具備單調(diào)性，我們比較這類數(shù)的大小時(shí)，“構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性比較大小”的方法不是很適合.

例2 在數(shù)列{an}中，已知a1=p>0，且an+1'an=n2+3n+2，n∈Nx，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)，

分析由數(shù)列{an}相鄰項(xiàng)的關(guān)系式求通項(xiàng)，我們常用的方法是“變形一換元一轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列”，但面對(duì)“an+1an=n2+3n+2，n∈Nx”，我們一籌莫展，怎么辦呢？“特殊化”！數(shù)列中運(yùn)用“特殊化”是一種基本策略，通過“歸納”前幾項(xiàng)的規(guī)律，探求一般的解題路徑.

仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)：似乎數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)按原來的順序構(gòu)成的數(shù)列{a2n-1）成等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)按照原來的順序構(gòu)成的數(shù)列{a2n}也成等差數(shù)列.如果猜想成立，我們只需研究相隔一項(xiàng)的兩項(xiàng)之間的關(guān)系.

題后反思數(shù)列中的“特殊化”策略可以通俗地表達(dá)為“寫出來，看一看”.這是因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)列的定義不是直接給出“通項(xiàng)公式”，就是給出“相鄰項(xiàng)的關(guān)系式”.無論是“通項(xiàng)公式”，還是“相鄰項(xiàng)的關(guān)系式”，它們都是“全稱命題”，即對(duì)于任意的滿足要求的“n”均成立.我們將之“特殊化”——從初始的值開始，代入等式，一個(gè)個(gè)地“寫出來”.所謂“看一看”，就是“觀察”、“歸納”.一般地，如果遭遇令人一籌莫展的數(shù)列題時(shí)，“寫出來，看一看”不失一條“簡”道，同學(xué)們可以嘗試嘗試，大多能夠“柳暗花明義一村”.

二、一般化：舉三歸一、舉一返類

數(shù)學(xué)問題的解決固然重要，但題目的變化千千萬萬，我們肯定無法窮盡，也無須窮盡.因?yàn)閿?shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)知識(shí)的一種表征，隱在數(shù)學(xué)問題后的數(shù)學(xué)知識(shí)是有限的，將有關(guān)聯(lián)的問題根據(jù)所用知識(shí)、方法等“聯(lián)系”起來，進(jìn)行“一般化”，我們稱之為“舉三歸一”；如果能將這些知識(shí)歸類、整合、打包，形成一類完整的“知識(shí)塊”，我們稱之為“舉一返類”，這樣學(xué)習(xí)起來就更簡單了，

為了說明問題，我們做個(gè)類比：數(shù)學(xué)問題好比電腦里的一個(gè)個(gè)“文件”，“舉三歸一”就是將那些“特殊的”、“關(guān)聯(lián)的”文件放人同一個(gè)“文件夾”；如果將這些“文件夾”進(jìn)一步“一般化”，歸類放人更大的“文件夾”中，就是“舉一返類”.這種“一般化”的優(yōu)勢在于“我們需要時(shí)，能夠快捷檢索”.類比到學(xué)習(xí)，做到“舉三歸一”、“舉一返類”，數(shù)學(xué)問題解決時(shí)，我們能將相關(guān)知識(shí)快速遷移到問題情境之中.如此堅(jiān)持訓(xùn)練，自然而然，我們能夠坦然面對(duì)一切考題，不再“懼新、畏難”.當(dāng)然，有些同學(xué)難以做到“舉一返類”，可以先嘗試“舉三歸一”.

例3 求平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1（-4，0），A2（4，0）連線的斜率之積等于常數(shù)-1/4的點(diǎn)的軌跡.

分析本題是一道常規(guī)的求軌跡題，答案為：橢圓（去除A1，A2兩點(diǎn)）.

第一次“一般化”

變式1 求平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1（-a，0），A2（a，O）（a>O）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡.

分析將例3中的定點(diǎn)和定值用字母替代，進(jìn)行“一般化”.雖然問題解決時(shí)采用的方法完全一樣，但難度增加了，而且得到的結(jié)論需要討論：加上A1，A2點(diǎn)所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線.

第二次“一般化”

變式2 求平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1（-a，0），A2（a，O）（a>0）連線的斜率之積等于非零常數(shù)-b2/a2的點(diǎn)的軌跡.

分析反思變式1的解答，m的取值不同，軌跡也不同，怎樣才能是橢網(wǎng)呢？通過探求，我們不難發(fā)現(xiàn)取“m=-b2/a2”時(shí)，所得軌跡方程為：x2/a2+y2/b2=1（x≠±a）.

變式3 A1（-a，0），A2（a，O）是橢圓x2/a2+y2/b2=1的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P是橢圓除A1，A2的任意一點(diǎn)，求證：P與A1，A2連線的斜率之積為定值.

分析 變式3是變式2的“逆命題”，在變式2中我們發(fā)現(xiàn)“Al （-a，O），A2（a，0）”正好是所得橢圓的左、右頂點(diǎn)，自然要想，橢網(wǎng)上的點(diǎn)是否具有這樣的性質(zhì)？證明方法很簡單：只要設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入驗(yàn)證即可.

第三次“一般化”

變式4 已知過橢圓x2/a2+y2/b2=1中心的定直線交橢圓于A1，A2兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P是橢圓除A1，A2的任意一點(diǎn)，求證：P與A1，A2連線的斜率之積為定值.

分析 變式4將變式3中的A1，A2進(jìn)行“一般化”.變式3中的“A1（-a，o），A2（a，0）”是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)橢圓上的點(diǎn)，如果“一般化”為“橢圓上任意兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)”義會(huì)怎樣？“一般化”驗(yàn)證結(jié)果，讓人熱血沸騰——也成立.

當(dāng)然問題還能進(jìn)一步“一般化”，上述問題是橢圓的性質(zhì)，是圓的性質(zhì)嗎？是所有圓錐曲線共同的性質(zhì)嗎？進(jìn)一步地探索，鞏固方法的同時(shí)，自然地形成了一類圓錐曲線知識(shí)塊.