陜西省延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 田 星

在數(shù)學(xué)解題中，我們經(jīng)常會(huì)遇到利用常規(guī)思維解題而陷入思維定式中難以得到問(wèn)題答案的現(xiàn)象。但如果我們“反其道而思之”，從問(wèn)題的對(duì)立面進(jìn)行深入思考，使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，進(jìn)而有利于我們解題。

在教育心理學(xué)中，逆向思維就是挑戰(zhàn)常規(guī)，克服思維定式，打破我們?nèi)粘５乃季S經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣造成的僵化的認(rèn)識(shí)模式，得出的結(jié)果則會(huì)使我們豁然開(kāi)朗。逆向思維體現(xiàn)在生活的方方面面，在我們的日常學(xué)習(xí)及生活中利用逆向思維解決問(wèn)題經(jīng)常會(huì)以“出奇”達(dá)到“制勝”，結(jié)果常常出人意料，喜出望外，別有所得。

數(shù)學(xué)家們?cè)谔剿鲾?shù)學(xué)的過(guò)程中便有許多利用逆向思維成功的例子，本文列舉出了運(yùn)用逆向思維的幾種具體方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，如：逆向分析法、反例法、構(gòu)造輔助函數(shù)、倒推法、求補(bǔ)法、排除法，解決一些在中學(xué)數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，挑戰(zhàn)常規(guī)，打破思維定式，拓展思維，并學(xué)會(huì)使用逆向思維更加容易地解決問(wèn)題。

一、反證法

反證法是常見(jiàn)的利用逆向思維的論證方式，是“間接證明法”的一類，常被用于證明題中。其解題過(guò)程一般為當(dāng)證明所給的數(shù)學(xué)猜想或命題遇到困難時(shí)，便會(huì)在原命題的題設(shè)下假設(shè)結(jié)論不成立，然后推出明顯矛盾的結(jié)果，從而使原命題得證。

二、逆向分析法

逆向分析法是一種執(zhí)果索因的分析方法，是一個(gè)由需要逐步推向已知結(jié)果的過(guò)程。在日常解題中，當(dāng)我們遇到一些難題，如果從題目所給的條件出發(fā)逐漸求出結(jié)論的過(guò)程可能復(fù)雜且困難，不易直接證明結(jié)論，但若反其道而行之，對(duì)題目從結(jié)果出發(fā)，進(jìn)行反方向的分析、分解與重構(gòu)，并分析每一種可能，則會(huì)降低難度，從而便于求出正確答案。該方法的一般順序?yàn)閺墓揭蜻M(jìn)行分析，逐步求出與條件相符的答案。

三、逆用定義法

在中學(xué)幾何題中，有非常多的可逆的定義定理，在我們?nèi)粘＝忸}中，對(duì)原有的數(shù)學(xué)定義定理逆用也是一種常見(jiàn)的解題方法，利用逆向思維對(duì)相關(guān)定義定理進(jìn)行逆用，便可使一些問(wèn)題化難為易，從而提高解題效率，也能更好地開(kāi)拓我們的數(shù)學(xué)思維。

四、構(gòu)造輔助函數(shù)法

在證明一些存在性命題與解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)往往需要構(gòu)造輔助函數(shù)，但有時(shí)輔助函數(shù)并不好找，所以我們就需要將構(gòu)造輔助函數(shù)與逆向思維聯(lián)系起來(lái)，從具有特征的結(jié)論入手進(jìn)行逆向分析與推理，便可很快找出輔助函數(shù)，該方法是一種簡(jiǎn)單、適用、易掌握且有效的數(shù)學(xué)解題方法，在解題時(shí)我們只需找到符合要求的輔助函數(shù)問(wèn)題便迎刃而解。

五、求補(bǔ)法

求補(bǔ)法，即正難則反，當(dāng)所求問(wèn)題比較復(fù)雜或者直接解題較為困難時(shí)，可以考慮在與原題所給條件相反的情況下求解，最后只需取其所得結(jié)果的反面即可。比如求大于零的空集，可以用小于零的非空集合來(lái)考慮。此處介紹該方法用于概率論中求某事發(fā)生的概率時(shí)，當(dāng)所求事件發(fā)生的概率較難求時(shí)，則可以考慮先求出所求事件的對(duì)立事件的概率，化難為易，更易于求出答案。

六、排除法

排除法是數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)常用的方法之一，尤其是在選擇題中有著廣泛的應(yīng)用，其應(yīng)用更是層出比窮，在一些重要考試中是需要重點(diǎn)掌握的方法，是逆向思維中“正難則反”數(shù)學(xué)思想的一個(gè)重要應(yīng)用。日常學(xué)習(xí)中應(yīng)學(xué)會(huì)巧妙使用取特殊例子排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，加快解題效率。學(xué)會(huì)使用一些解題技巧，化難為易，在考試時(shí)更有效、準(zhǔn)確地解出答案，亦為在有限的考試時(shí)間中提供一種有效的解題技巧。

逆向思維在數(shù)學(xué)方方面面都存在著應(yīng)用，在我們的日常學(xué)習(xí)中，逆向思維不僅可以幫助我們解決思維定式化難為易，快速有效地解決一些難題，而且經(jīng)常使用逆向思維解決問(wèn)題可以開(kāi)拓學(xué)生思維，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使學(xué)生減少繼而消除對(duì)數(shù)學(xué)的畏懼感，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生的頭腦更加靈活，并且也可以培養(yǎng)學(xué)生全面思考問(wèn)題的思維習(xí)慣，逐漸形成較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。就一些中學(xué)中常用的解題方法著手，利用逆向思維反向思考，使一些原本看似難以解決的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了化。拓展解題思維，以便在解一些難題時(shí)能夠活題活用，找到最佳的解題方法。本文將逆向思維在數(shù)學(xué)的多個(gè)方面進(jìn)行了探討，詳細(xì)敘述了應(yīng)用逆向思維時(shí)的具體方法理論，使學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)將問(wèn)題簡(jiǎn)易化，并有利于學(xué)生提高解題效率與數(shù)學(xué)能力。