人民教育出版社編審章建躍博士認(rèn)為：理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)（以下簡(jiǎn)稱“三個(gè)理解”）是教師專業(yè)化發(fā)展的基石，是數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的根本保證。［1］近日，筆者有幸參加了江蘇省教育廳“名師團(tuán)送培”活動(dòng)，在連云港市“提升高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性”專題培訓(xùn)班上開設(shè)公開課——“充分條件與必要條件”（蘇教版高中數(shù)學(xué)教材選修2－1），收獲了研訓(xùn)教師的廣泛好評(píng)。在經(jīng)歷了備課修改、課堂展示和課后反思后，筆者深切體會(huì)到“三個(gè)理解”對(duì)于課堂教學(xué)的指導(dǎo)作用。本文結(jié)合“充分條件與必要條件”的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劰P者在數(shù)學(xué)教學(xué)中踐行“三個(gè)理解”的探索與思考。

一、教學(xué)立意：追求“三個(gè)理解”

許多教師都知道理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的重要性，但在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，卻往往會(huì)忽略這“三個(gè)理解”，表現(xiàn)為過(guò)分追求數(shù)學(xué)結(jié)論、強(qiáng)化學(xué)生的訓(xùn)練、強(qiáng)調(diào)教師的講解，降低數(shù)學(xué)教育價(jià)值，忽視學(xué)生思維能力的發(fā)展。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要明確教學(xué)立意，旗幟鮮明地追求“三個(gè)理解”。

1.理解數(shù)學(xué)，以知為基。

理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提。而要教好數(shù)學(xué)首先要站在課標(biāo)的高度明確所教內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)與任務(wù)。數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，幾乎處處涉及命題之間的邏輯關(guān)系和推理論證。在中學(xué)階段，“常用邏輯用語(yǔ)”一章的內(nèi)容不同于大學(xué)的數(shù)理邏輯，在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的過(guò)程中，更側(cè)重于“用語(yǔ)”，講究基本表示符號(hào)和規(guī)則，教學(xué)定位突出“工具性”原則。而在“充分條件和必要條件”一課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，不應(yīng)當(dāng)把難點(diǎn)放在其他相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的回顧復(fù)習(xí)上，應(yīng)當(dāng)選擇學(xué)生熟悉和易于接受的知識(shí)載體呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，避免過(guò)于困難的命題真假判斷沖淡本節(jié)課的重點(diǎn)。

同樣的，在日常生活中，人們無(wú)論是進(jìn)行思考、交流，還是從事各項(xiàng)工作，都經(jīng)常涉及一些邏輯上的問(wèn)題，都需要正確地運(yùn)用邏輯用語(yǔ)表達(dá)自己的思想。值得一提的是由于實(shí)際問(wèn)題往往受到各種現(xiàn)實(shí)因素的影響，在建構(gòu)數(shù)學(xué)的過(guò)程中其嚴(yán)謹(jǐn)性有待檢驗(yàn)，所以不建議以實(shí)際問(wèn)題作為問(wèn)題情境，應(yīng)注意本節(jié)內(nèi)容的適度“生活化”。

2.理解學(xué)生，以學(xué)定教。

學(xué)情應(yīng)成為教師備課的重要參考，是教學(xué)設(shè)計(jì)的珍貴源泉。學(xué)情包括學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律如何，思維方式怎樣，情感需求有哪些，對(duì)已學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)的掌握情況如何，等等。

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生在初中階段已經(jīng)接觸過(guò)命題、真假命題，高中教材在本節(jié)課教學(xué)之前安排了命題、命題的形式和四種命題的學(xué)習(xí)，一定程度上有助于學(xué)生對(duì)充分條件、必要條件及充要條件概念的學(xué)習(xí)理解，但是學(xué)生對(duì)于這一概念的知識(shí)儲(chǔ)備不夠豐富、邏輯思維能力的訓(xùn)練還不夠充分，容易用生活中感性的體會(huì)去理解數(shù)學(xué)的邏輯問(wèn)題。

學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)命題“若p則q”為真命題時(shí)，p是q的充分條件比較容易理解，但是，對(duì)同時(shí)稱q是p的必要條件就不怎么理解了。不理解的原因主要是學(xué)生容易從字面的意思片面地理解“條件”。在命題“若p則q”中，q明明是“結(jié)論”，怎么成了“條件”了呢？事實(shí)上，p和q是兩個(gè)語(yǔ)句，通過(guò)“若p則q”的形式將它們聯(lián)結(jié)起來(lái)形成一個(gè)命題，通過(guò)命題的真假來(lái)判定這兩個(gè)語(yǔ)句相互之間的關(guān)系。就“若p則q”為真命題時(shí)，p是q的充分條件而言，不能誤認(rèn)為p是這個(gè)命題的充分條件，同樣q也不是這個(gè)命題的必要條件。因果關(guān)系具有相對(duì)性，因?yàn)橐粋€(gè)現(xiàn)象對(duì)某現(xiàn)象來(lái)說(shuō)是結(jié)果，但對(duì)另一個(gè)現(xiàn)象來(lái)說(shuō)卻是原因，這使得事物之間的因果聯(lián)系形成了一條沒(méi)有起點(diǎn)和終點(diǎn)的因果鏈，因此，因果本身也是可以相互轉(zhuǎn)換的。對(duì)這一內(nèi)容的認(rèn)知過(guò)程其實(shí)是對(duì)符號(hào)“pq”多角度的詮釋與理解過(guò)程。

3.理解教學(xué)，深入淺出。

數(shù)學(xué)教育學(xué)者張奠宙先生認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的核心是如何體現(xiàn)“數(shù)學(xué)的本質(zhì)”，教師應(yīng)將“冰冷的美麗”變?yōu)椤盎馃岬乃伎肌?，讓學(xué)生高效率、高質(zhì)量地領(lǐng)會(huì)和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值和魅力。

我們?cè)趯W(xué)習(xí)任何一門知識(shí)時(shí)都要明確這樣幾個(gè)問(wèn)題：為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)？這個(gè)知識(shí)的本質(zhì)是什么？應(yīng)如何理解？學(xué)習(xí)它可以幫助我們解決哪些問(wèn)題？為了尋找這些問(wèn)題的答案，在研讀課本、教參的基礎(chǔ)上，筆者重溫了邏輯學(xué)的知識(shí)，查閱了相關(guān)資料，形成了本節(jié)課的學(xué)習(xí)路徑：

情境引入（將“若p，則q”為真命題符號(hào)化）→問(wèn)題導(dǎo)學(xué)（從“p”和“q”在“pq”中的作用來(lái)理解命題中p、q兩部分的因果關(guān)系）→數(shù)學(xué)建構(gòu)（通過(guò)具體數(shù)學(xué)實(shí)例得出命題因果關(guān)系的四種情況）→數(shù)學(xué)應(yīng)用（在練習(xí)過(guò)程中深化理解）→回顧反思（回顧學(xué)習(xí)路徑并體會(huì)充分條件和必要條件在數(shù)學(xué)和生活中的應(yīng)用）。

在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)有高度、有深度、有層次、有呼應(yīng)的問(wèn)題，通過(guò)交流、對(duì)話合作、探究等一系列方式，讓學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)、自我調(diào)整、自我矯正，有效地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造這一自我建構(gòu)過(guò)程。

二、教學(xué)過(guò)程：踐行“三個(gè)理解”

下面將本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程展示如下：

1.問(wèn)題情境。

師：同學(xué)們，我們知道能夠判斷真假的語(yǔ)句叫作命題，那么，你能判斷下列命題的真假嗎？

問(wèn)題1：請(qǐng)判斷下列命題的真假。

（1）若 x=1，則 x2=1；（2）若 x2＞1，則 x＞1（3）若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的面積相等。

2.數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化。

師：用這個(gè)命題為真命題或者假命題來(lái)敘述有一些繁瑣，為了簡(jiǎn)便，我們可以引入推出符號(hào)。如果“若p，則q”為真命題，我們就說(shuō)，“p推出q”，記作 pq?！叭魀，則q”為假命題，我們就說(shuō)，“p不能推出p”，記作 pq。

（1）x=1______x2=1；（2）x2＞1_____x＞1（3）兩個(gè)三角形全等_____兩個(gè)三角形的面積相等。

問(wèn)題2：請(qǐng)?jiān)跈M線上填上合適的語(yǔ)句。

思考：上述問(wèn)題中的答案唯一嗎？這說(shuō)明什么？

一方面，如果p成立，就一定能得到q成立；要使q成立，只要具備p就足夠了。我們可以通俗地說(shuō)“有p就行”。

另一方面，q成立是p成立必不可缺的條件。如果沒(méi)有q作為條件，那么一定沒(méi)有結(jié)論p，也就是說(shuō)，要得到結(jié)論p，必須要有q作為條件。我們可以通俗地說(shuō)“沒(méi)q不行”。

3.新知建構(gòu)。

再次回到問(wèn)題1，請(qǐng)用“充分條件”和“必要條件”來(lái)說(shuō)明兩個(gè)語(yǔ)句的關(guān)系，直觀感知概念。

例題 下列命題中，是充分條件的有_____。

（1）p：x-1=0，q：（x-1）（x+2）=0；（2）p：兩直線平行，q：內(nèi)錯(cuò)角相等；（3）p：a＞b，q：a2＞b2；（4）p：四邊形的四條邊相等，q：四邊形是正方形。

追問(wèn)：對(duì)于命題（1）、（2），我們可不可以稱q是p的必要條件呢？

變式 下列命題中，p是q的必要條件的有___________。

（1）p：x-1=0，q：（x-1）（x+2）=0；（2）p：兩直線平行，q：內(nèi)錯(cuò)角相等；（3）p：a＞b，q：a2＞b2；（4）p：四邊形的四條邊相等，q：四邊形是正方形。

追問(wèn)：對(duì)于命題（2）、（4），我們可不可以稱q是p的充分條件呢？

（設(shè)計(jì)意圖：為了深刻詮釋“充分條件和必要條件”的含義，通過(guò)正反兩方面的追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)要得到“p是q的必要條件”或者“q是p的充分條件”，均要從“pq”入手。）

師：在上述問(wèn)題中，我們發(fā)現(xiàn)要全面地認(rèn)識(shí)p和q的關(guān)系，應(yīng)從p是q的充分條件和p是q的必要條件兩方面加以考慮。從而我們可以得出充分必要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分也不必要條件四種關(guān)系。

注：定義中，要研究p是q的什么條件，一方面要判斷p能否推出q，即研究“充分性”，另一方面要判斷q能否推出p，即研究“必要性”，如果要研究q是p的什么條件，同樣要從充分性和必要性兩方面來(lái)說(shuō)明，即一方面要判斷q能否推出p（充分性），另一方面要判斷p能否推出q（必要性）。

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，構(gòu)建清晰明了的思維體系，培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括的能力。）

三、教學(xué)反思：參悟“三個(gè)理解”

1.“三個(gè)理解”，缺一不可。

要打造理想的數(shù)學(xué)課堂，需要哪些要素？知識(shí)是根基，一切教學(xué)活動(dòng)以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體。缺少了載體，數(shù)學(xué)課便成了無(wú)本之木、無(wú)源之水。但一味關(guān)注“數(shù)學(xué)”，難免給學(xué)生“高處不勝寒”的感覺(jué)，讓人望而生畏。學(xué)生是中心，人的成長(zhǎng)永遠(yuǎn)是課堂教學(xué)的最高價(jià)值。學(xué)生作為教育的對(duì)象應(yīng)當(dāng)站在課程和課堂的中央。但單純地考慮“學(xué)生”，容易天馬行空、偏離主題，失去數(shù)學(xué)課自由而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)莫?dú)特魅力。教學(xué)是橋梁，連通著數(shù)學(xué)與學(xué)生，它把問(wèn)題情境、學(xué)生活動(dòng)、數(shù)學(xué)建構(gòu)、數(shù)學(xué)應(yīng)用、反思小結(jié)中的若干環(huán)節(jié)串聯(lián)起來(lái)，為學(xué)生開啟了一扇通向數(shù)學(xué)世界的大門。因此，教學(xué)過(guò)程中必須同時(shí)關(guān)注數(shù)學(xué)、關(guān)注學(xué)生、關(guān)注教學(xué)。

2.“三個(gè)理解”，相輔相成。

孤立地看待數(shù)學(xué)、學(xué)生與教學(xué)，會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)是靜態(tài)的，學(xué)生是千差萬(wàn)別的，教學(xué)亦無(wú)固定方法可循。但是數(shù)學(xué)、學(xué)生、教學(xué)是一個(gè)整體，相互作用，不可分割。理解數(shù)學(xué)要立足于學(xué)生的視角，將知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為易于被學(xué)生理解的教育形態(tài)。理解學(xué)生應(yīng)著眼于其數(shù)學(xué)認(rèn)知水平和特征，理解學(xué)生參與數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式和特點(diǎn)。理解教學(xué)要置身于所教內(nèi)容與對(duì)象，以最恰當(dāng)?shù)姆绞浇M織教學(xué)。借用物理學(xué)中的作用力與反作用力的理論，“三個(gè)理解”之間是相互影響、相互支撐的，找到他們合力最大的平衡點(diǎn)也就找到了課堂自然、有效的生成方式。

3.“三個(gè)理解”，促進(jìn)發(fā)展。

數(shù)學(xué)教育最終目的是促進(jìn)學(xué)生的終身發(fā)展，“三個(gè)理解”是實(shí)現(xiàn)這一目的的前提和保證。在“三個(gè)理解”相容共生的課堂里，知識(shí)的生成更自然，學(xué)生的學(xué)習(xí)更自主，課堂的交互更廣泛。教師將“授之以魚”轉(zhuǎn)變?yōu)椤笆谥詽O”，而且是具有數(shù)學(xué)特色的“漁”。學(xué)生學(xué)會(huì)的不僅是知識(shí)，還有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的方向，思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題的方案，最終達(dá)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。