朱向陽

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)以其顯著的學(xué)科特征而獨具魅力，以《植樹問題》教學(xué)為例，嘗試、分析如何更優(yōu)質(zhì)地體現(xiàn)教學(xué)的價值。本文分三個層次闡述：一是從三類模型入手，分析其思維價值，對解決問題和培養(yǎng)孩子的分析、想象、比較以及借助模型思考的能力起到了積極作用；二是針對其問題及問題解決中孩子的困惑和困難，從模型到應(yīng)用，引發(fā)植樹問題教學(xué)的變式與轉(zhuǎn)化；三是讓模型回歸意義，“植樹問題”的根基和歸屬是除法意義和除法運(yùn)算。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅要善于提煉結(jié)構(gòu)、建立模型、分類解答，還需能透過現(xiàn)象，看清本質(zhì)，不只是做“加法”，更要尋找解決思路的意義歸屬。

關(guān)鍵詞：模式；意義；模型；思維價值；意義歸屬

數(shù)學(xué)具有抽象性、邏輯性等特點，數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系非常豐富，同樣的知識，從不同的角度思考、理解不同的關(guān)聯(lián)、設(shè)定不同的序列、采用不同的方式，其教與學(xué)有著顯著的差異，對知識的理解和應(yīng)用區(qū)別很大。

取向各異的理解、千差萬別的思路、千變?nèi)f化的教學(xué)，進(jìn)而各不相同的效果，構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)的獨特魅力，如何更優(yōu)質(zhì)地體現(xiàn)教學(xué)的價值，值得我們探索。

下面以《植樹問題》的教學(xué)為例，如何讓數(shù)學(xué)知識體現(xiàn)更好的教學(xué)價值。

一、從情境到模型：三類模型的思維價值

“植樹問題”是數(shù)學(xué)中一個經(jīng)典的教學(xué)內(nèi)容，具有突出典型性和廣泛應(yīng)用性。教學(xué)中一般通過對植樹情境的比較分析，抽象概括“棵數(shù)和段數(shù)”的關(guān)系，構(gòu)建三種不同數(shù)量關(guān)系的模型，建立解決此類問題的模式。

教例1：

出示問題：“在全長1500米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共需要多少棵樹苗？”

師：我們一起來種一下（邊畫邊說：先種一棵，畫一段；再種一棵，又畫一段……）

師：有什么感覺？

生：種不完，數(shù)據(jù)太大了。

師：可以將數(shù)據(jù)變小，改為“在全長15米的小路一邊植樹”。

（學(xué)生列式計算，畫圖驗證。）

生：15÷5=3（段），3+1=4（棵），或15÷5+1=4（棵）。

師（畫圖時特意開頭沒種）：15÷5=3（棵），可以嗎？

生：不同意，開頭沒種。

師：開頭沒種是有“苦衷”的，遇到了一幢房子。

生：那這樣是可以的。

師：還有其他種法嗎？

生：兩頭都不種，苦衷——兩邊都遇到房子。

小結(jié)：3種情境，兩端都種，只種一端，兩端都不種。（完成板書，文字、圖示、算式、關(guān)系式）

兩端都種：15÷5+1=4（棵），棵數(shù)=段數(shù)+1。

只種一端：15÷5=3（棵），棵數(shù)=段數(shù)。

兩端都不種：15÷5-1=2（棵），棵數(shù)=段數(shù)-1。

師：再看第一個問題。有幾種情況？不知道“苦衷”在哪兒？（兩端都種，只種一端，兩端都不種）

……

教師利用數(shù)形結(jié)合的方式，借助“一一對應(yīng)”地畫圖，理解棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系，建立三種模型，滲透了數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)、模型思想等。

學(xué)生在解決問題時首先應(yīng)確認(rèn)這是一個植樹問題，明確“什么是樹”“總長多少，間隔多少”，其次思考“屬于哪種類型”，最后利用模型公式計算出結(jié)果，解決問題。

有了三種基本模型，分析問題就有了依據(jù)，思考對策就有了路徑，解答問題就有了方法。由此，在解決問題的過程中培養(yǎng)了孩子分析、想象、比較以及借助模型思考的能力。

應(yīng)該說，三種基本模型確實對解決問題、培養(yǎng)思維能力起到了作用，然而，其中也存在問題且問題明顯。

二、從模型到應(yīng)用：問題解決的變式與轉(zhuǎn)化

在問題解決中，孩子有許多困惑：種樹只有這三種情況嗎？如果不止，為什么就只概括這三種模型？

學(xué)生的學(xué)習(xí)困難也很明顯：準(zhǔn)確識別“樹”；正確識別類型。為了解決這些問題，教師利用了變式練習(xí)和轉(zhuǎn)化思想。

教例2：

就問題變化，安排如下題目：

（1）在全長1500米的小路一邊植樹（兩端都種），每隔5米栽一棵，一共需要多少棵樹苗？

（2）在全長1500米的小路一邊植樹（一端不種），每隔5米栽一棵，一共需要多少棵樹苗？

（3）在全長1500米的小路兩邊植樹（兩端不種），每隔5米栽一棵，一共需要多少棵樹苗？”

（4）在全長1500米的小路一邊植樹（兩端都種，但有兩個種樹位置剛好遇到電線桿），每隔5米栽一棵，一共需要多少棵樹苗？

（5）在全長1000米的小路一邊植樹（一端不種），一共種了200棵樹，相鄰兩棵樹之間的距離是多少米？

（6）在小路一邊間隔5米種樹，種了200棵樹（兩端不種），這條小路全長多少米？

（7）兩位工人要將一根10米長的木頭鋸成2米一段，需要鋸幾次？

（8）淘氣家住五樓，兩層之間有20級臺階，淘氣上樓回家要走多少級臺階？

……

在分析這些變式練習(xí)時，將問題轉(zhuǎn)化為與三種模型相應(yīng)的結(jié)構(gòu)，然后“對號入座”解決問題，確實是一個不錯的辦法。

然而，問題依然存在。比如：在全長1000米的小路一邊植樹（兩端都種），先每隔5米栽一棵楊樹，再每隔10米栽一棵樟樹。需要多少棵楊樹？多少棵樟樹？

三、讓模型回歸意義：植樹問題的本質(zhì)意義

我們不禁思考：數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，不能只做“加法”，更重要的是建立知識間的有效“關(guān)聯(lián)”。這種關(guān)聯(lián)既能增強(qiáng)知識間的聯(lián)系，加深理解，還能提高運(yùn)用的靈活性。

植樹問題一定要作為一類獨立問題來研究嗎？三種模型與孩子之前所學(xué)知識及認(rèn)知結(jié)構(gòu)有無聯(lián)系？如有聯(lián)系，如何更有效地建立這種關(guān)聯(lián)，降低難度，提高融合？

比較三種模型，我們可以發(fā)現(xiàn)，要解決棵數(shù)問題，首先要求出段數(shù)，然后利用對應(yīng)關(guān)系調(diào)整棵數(shù)。

于是，我們思考“植樹問題”的根基和歸屬：除法意義和除法運(yùn)算。實際上，“植樹問題”最基本的要素是“段數(shù)”，求段數(shù)的問題屬于“一個數(shù)里面有幾個幾”的問題，是除法意義中的一種，也即“包含除”問題；確定棵數(shù)，需要根據(jù)生活現(xiàn)實進(jìn)行“調(diào)商”。

可以安排如下的解決問題序列：

（1）求“段數(shù)”——根據(jù)除法的意義，就是求“幾里面有幾個幾”。

（2）求“點數(shù)”——點數(shù)是與段數(shù)客觀對應(yīng)的，線形“段數(shù)+1”，環(huán)形“等于段數(shù)”。

（3）求“棵數(shù)”——樹種在點上，幾個點上種樹就是幾棵；或者減去不能種樹的點，就可以得到能種的棵數(shù)。

教例3：

1. 欣賞算式：24÷5=4.8。

師：用這個算式可以解決哪些問題？（可以編平均分、包含除等題）

出示：（1）24千克大米，平均裝在5個袋子里，每個袋子裝多少？

（2）24位同學(xué)租車到科技館，每輛車坐4人，需要租幾輛車？

（3）24米布做服裝，5米做一套，可以做幾套？

師：解決這三個問題，用同樣的算式，得到同樣的計算答案，為什么結(jié)果不同？

生：算出結(jié)果，還要根據(jù)實際情況調(diào)整商。

2. 出示算式：20÷5=4。

師：結(jié)果是整數(shù)，還需要調(diào)商嗎？

生：應(yīng)該不用了。

3. 出示問題：在一條20米長小路的一邊植樹，每5米種一棵樹。

（先自己在紙上畫一畫。）

師：20÷5=4，4表示什么？

生：4表示段數(shù)。

師：樹種在哪兒？可以種幾棵樹？

生：樹種在每個“點”上，有4+1=5（點），可以種5棵樹。

師：點數(shù)一定比段數(shù)多1嗎？

生（先是猶豫）：一定的。（段數(shù)+1=點數(shù)）

師：這些“點”就代表種樹的洞，有幾個“點”就可以種幾棵樹。有5個點，一定是種了5棵樹嗎？

生（猶豫）：不一定吧！

生：我知道，有兩頭都種、一頭種一頭不種、兩頭都不種。

（學(xué)生上來擺出三種情況。）

師：只有這三種情況嗎？

（生猶豫，師移動房子位置到不同的點，孩子感受到現(xiàn)實中的多種可能。）

師：比較種5棵、4棵、3棵……各種情況，有什么相同的地方？又有什么不同？

生：每種情況，其實算出的段數(shù)都是相同的，點數(shù)也相同，就是能種的棵數(shù)不同。

師：雖說“樹”種在“點”上，但“種的棵樹”不一定就等于“點數(shù)”，因為有的“點”不能種樹，需要根據(jù)實際情況調(diào)整。你現(xiàn)在認(rèn)為，“植樹問題”是研究什么的問題？

生：段數(shù)、點數(shù)、棵數(shù)關(guān)系的問題。

師：植樹問題怎么解決？

生：先計算出段數(shù)就知道點數(shù)了，再減去不能種樹的點數(shù)，求出能種樹的點數(shù)，就是棵數(shù)。

試一試：同學(xué)們在一條全長100米的小路一邊植樹，每5米栽一棵（只種一端）梧桐樹，一共要栽多少棵梧桐樹？

師：“只種一端”是什么意思？

生：有一個點不能種樹。

（思考并解答，求“種幾棵樹”，就是求“有幾個點種樹”。）

（變式：“100米”為“200米”“n米”；“只種一端”為“兩端不種”“有5個點遇到電線桿”。）

師：在生活中，你有看到過、聽到過和植樹問題相類似的情況嗎？誰是樹？誰是點？哪個是段？

（出示生活中的圖片：裝路燈、擺花盆、設(shè)站點、敲鐘點、借圖書、爬樓梯、畫停車線、……）

師：“植樹問題”一定是和植樹有關(guān)的問題嗎？

生：不一定?？梢钥醋骱头N樹一樣的情況。

4. 拓展練習(xí)。

（1）一條繩子長42米，每3米剪一段跳繩，可以剪幾根？需要剪幾次？

（2）5，8，11，14，…，47，共有幾個數(shù)？

（3）5路公共汽車行駛路線全長12km，相鄰兩站之間的路程都是1km。一共設(shè)有多少個車站？（線形路線，環(huán)形路線）

植樹問題就是除法的應(yīng)用問題，其基礎(chǔ)在于根據(jù)除法意義算出“段數(shù)”，其關(guān)鍵在于明白樹是種在“點”上的，其重點在于根據(jù)實際情況“調(diào)棵數(shù)”。它與之前的“調(diào)商”問題的不同之處在于，雖然根據(jù)除法意義算出的“段數(shù)”是整數(shù)，與“段數(shù)”對應(yīng)的“點數(shù)”也是整數(shù)，但“棵數(shù)”與“點數(shù)”間的對應(yīng)依然因?qū)嶋H情況有所差異。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，善于提煉結(jié)構(gòu)、建立模型、分類解答很重要，但更重要的是，還要能透過現(xiàn)象看清本質(zhì)，不只是做“加法”，而是要尋找解決思路的意義歸屬。