江蘇省梁豐高級中學數學組 王 燕

直線和圓的位置關系在高考要求中屬于“理解”，它是平面解析幾何的基礎。平面解析幾何中解決這類問題的方法通常是坐標法，也就是將幾何問題代數化、用代數的方法解決幾何問題?？荚嚧缶V中對橢圓、雙曲線、拋物線要求的弱化，更加凸顯了直線與圓的地位，但是有些直線與圓的題目如果用代數法解決計算比較復雜，得分也就比較低。 圓的垂徑定理和蘇教版選修4-1《幾何證明選講》中割線定理、切割線定理、相交弦定理在考試大綱要求中屬于“理解”。如果我們能夠熟練應用圓的這幾個定理，則一定會為我們解決解析幾何中直線與圓的有關問題提供更為廣闊的思維空間。

方法二：取弦AB的中點M，由垂徑定理，設OA=x，AB=2x，兩次利用勾股定理，得

評注：本題如果設直線方程后和圓方程聯(lián)立來求弦長，AB=2OA這個條件用起來比較困難，而且計算比較復雜。這里巧妙利用圓的相交弦定理或垂徑定理，使問題得到了順利解決。

評注：本題若設兩條直線的方程并與圓方程聯(lián)立來解決，計算非常復雜，而且還需要討論直線斜率是否存在，在此巧妙運用圓的垂徑定理和基本不等式處理，使問題很快就迎刃而解。

例3 （2008年江蘇省百所高中樣本分析考試第18題）如圖，已知圓A的半徑是2，圓外一定點N與圓A上的點的最短距離為6，過動點P作A的切線PM（M為切點），連接PN，使得

（1）試建立適當的坐標系，求動點P的軌跡E；

（2）方法一：設圓心（16,0），作圓的切線AK，連接MK。

方法二：設x軸與圓交于點Q，R，則由圓的割線定理得：

評注：本題第二問利用圓的切割線定理或割線定理，巧妙簡化了計算，為求解其他題目可以贏得更多的時間。

例4 （2009屆蘇州五市三區(qū)高三數學九月調研測試卷第17題）已知圓，直線。

（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點A、B；

（2）求弦AB的中點M的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；

（2）由垂徑定理，CM⊥l, ∠CMP=90°，所以點M的軌跡是以CP為直徑的圓，即以為圓心，為半徑的圓（除掉點P（1,1））。所以AB的中點M的軌跡方程是：（除掉點P（1,1））。

（3）P（1,1）在直線l上，∴P，A，B共線。

過點P作圓C的直徑EF，

評注：本題第（2）小題若將直線與圓聯(lián)立得交點，再求中點，然后消去參數m，得中點的軌跡方程。大多數同學在求出后，不知如何消去參數m，也就無法得出軌跡了。這里我們利用圓的垂徑定理，得中點M的軌跡是以CP為直徑的圓（除掉點P（1,1））），巧妙地得到了解答，而且也簡化了計算。

（1）求橢圓C的方程；

（2）證明點Q在以AB為直徑的圓O上；

（3）試判斷直線QN與圓O的位置關系。

（3）QN與圓O相切。

證明：連接OQ,ON,QB。

由（2）得，OQ=OB，∠AQB=90°，N為MB中點，所以QN=NB，OQ=OB，得出△OQN≌△OBN,所以∠OQN=∠OBN=90°，OQ⊥QN，QN與圓O相切。

評注：本題第三問研究直線與圓相切，可以利用斜率之積為-1，但是需要討論分母是否為0，計算相對麻煩。在這里利用兩個直角三角形全等，獨辟蹊徑，使問題得到圓滿解決。

處理直線與圓的位置關系這一類的問題，如果我們能夠換一種思路，從我們學習過的圓的性質入手，也許我們就能夠找到柳暗花明又一村的感覺。如果我們平時能夠積累一些處理類似問題的方法，在解決問題的時候也會往這方面想一想，而不是一味蠻干，這樣也就達到了知識之間的融會貫通和綜合運用的目的。