☉重慶市重慶復旦中學丁慶彬

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在教學建議中提出：“數學教學應從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（以下簡稱‘四基’），使得學生主動地、富有個性地學習，不斷提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力（以下簡稱‘四能’）.”可見，“四基”和“四能”均為數學教學的核心內容.“四基”是在實踐、思考、探索、交流等教學環(huán)節(jié)中獲得的，應體現(xiàn)過程性.“四能”的培養(yǎng)則依賴于教師的教學方法，應體現(xiàn)策略性.數學教學只有兼顧過程性和策略性，才能使“四基”和“四能”得以落地.下面以義務教育人教版九年級上學期第二十四章“圓周角”第1課時的教學為例進行說明.

一、概念“源”發(fā)生，自然流暢滲透思想

教材對圓周角的描述，只有一句話：“在圓中，還有另一類角，它的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交.”許多教師也基本上是開門見山給出概念，這樣處理教材略顯簡單，沒有對教材中“另一類角”進行自然挖掘，使得概念的發(fā)生較為突然.為此，教師進行如下設計：

師：同學們，我們知道圓心角是頂點在圓心的角，請同學們畫出一個圓心角∠AOB.保持角的兩邊與圓的兩個交點A、B不變，任意改變角的頂點，試一試還能畫出什么樣的角.

學生紛紛在剛才的圓中畫出各種各樣的角，教師匯總后利用多媒體呈現(xiàn)，如圖1.

師：請同學們觀察一下這些角，各有哪些特征？

生：有些角的頂點在圓的內部，有的在圓上，有的在圓外.

師：是的，事實上無論頂點在圓內、圓上還是圓外，都可以畫出無數個角.今天，我們重點學習比較特殊的一類角，它的頂點在圓周上，就是像∠ADB這樣的角.

教師引導學生進一步觀察并歸納出圓周角的定義.

設計意圖：概念的生成改變了“開門見山”的方式，由復習切入，讓學生動手實踐，自然“發(fā)揮”，在此基礎上，引導學生進一步觀察角的位置特征，教師及時引入“正題”，明確告訴學生要重點學習一類頂點在圓周上的角.這樣自然的引入，不僅讓學生在體驗中領悟到概念發(fā)生的“源頭”，回應了教材中“另一類角”的含義，同時滲透了“從一般到特殊”的數學思想方法.

二、新知“慢”探究，循序漸進重視體驗

本環(huán)節(jié)主要內容是探究同弧所對圓周角和圓心角的關系及相關推論，既是本課時教學的重點，也是難點.因此，在教學中不能簡單處理，更不能直截了當給出結論，課堂節(jié)奏要“慢”下來，做到循序漸進，讓學生獲得足夠的活動體驗，感悟知識的來龍去脈.基于此，教師設計了如下三個探究活動.

探究1：一條弧所對圓周角和圓心角的關系.（圓周角定理）

該探究由五個小活動構成.

畫一畫：引導學生探究同一條弧所對圓周角和圓心角在位置上會出現(xiàn)哪些不同的情況，并在圓中畫出相應的圓周角，如圖2.

圖2

量一量：引導學生測量不同位置的圓周角和圓心角的度數，初步猜想它們之間的關系.

試一試：測量后的初步猜想“同弧所對圓周角是圓心角的一半”只是在三個不同圓周角的基礎上得到的，圓周角的個數并不具有普遍性，且人工測量會存在誤差.教師發(fā)現(xiàn)，在教材的正文旁邊有這樣一處旁白（如圖3），從而帶領學生運用幾何畫板進行動態(tài)展示（如圖4），發(fā)現(xiàn)無論圓周角和圓心角的位置和大小怎么變化，其比值始終是.

圖3

圖4

猜一猜：經歷測量和計算機軟件的動態(tài)演示后，學生在感知“同弧所對圓周角和圓心角的關系”的基礎上，進一步將猜想結論放大到“任意一條弧所對圓周角和圓心角的關系”上來.

證一證：經過畫圖、觀察、猜想得到結論后，還需要用數學的語言加以證明.教師先引導學生一起給出圖2（1）的證明過程，并在教材旁白（如圖5）的提示中，對推出符號“?”進行說明.對于另外兩種情況（圖2（2）、（3）），教師讓學生分組進行證明，并讓一名學生在黑板上書寫了圖2（2）的證明過程，另兩名學生到講臺上分享了圖2（3）的兩種不同的證明思路.

圖5

圖6

以上五個“一”活動后，教師進行了歸納總結，提煉出“分類討論”和“化歸”（將圓周角問題化歸為三角形的外角問題來解決）的數學思想方法，并向學生強調：“連接半徑（或直徑）是圓中比較常見的輔助線.”

設計意圖：教育是慢的藝術，數學教育更是如此.圓周角定理的推導是一個循序漸進的過程，在探究的過程中，節(jié)奏“慢”下，學生的思維才能“活”起來.無論是圓周角和圓心角的位置關系，還是數量關系，教師都沒有直接給出結論，而是讓學生自己動手操作，自主體驗和觀察，并在教材旁白的提示下，恰當使用了計算機技術輔助教學，使得教學過程流暢而嚴謹.在證明定理時，教師十分重視數學思想的滲透、數學語言的表達和書寫的規(guī)范.

探究2：同弧或等弧所對圓周角的大小關系.（圓周角定理推論1）

在探究1的基礎上，借助已學過的“弧、弦、圓心角”之間的等價關系，學生完全能自己得到結論.因此，教師讓學生自主探究該推論，學生很快由弧相等得到圓心角相等，再根據“同弧所對圓周角是圓心角的一半”得到圓周角也相等的結論.教師并未就此結束，而是帶領學生對圓中的弧、弦、圓心角及圓周角四個常見元素之間的轉化關系進行梳理，如圖6.

設計意圖：雖然由弧相等得到圓周角相等并不難，但教師并不是“就事論事”，更沒有“就此罷休”，而是引導學生在已有的元素（弧、弦、圓心角）之間的“知一得二”的基礎上進一步梳理增加圓周角后的等價關系，從而得到“知一得三”的性質結論，幫助學生建立新知識和舊知識之間的聯(lián)系，建構完整的知識體系.

探究3：半圓（或直徑）所對圓周角為直角，90°的圓周角所對的弦為直徑.

教師改變了傳統(tǒng)的直接給出結論的做法，而是先讓學生對圓周角的取值范圍進行探究，學生通過畫圖、觀察和探究得到圓周角的取值范圍為大于0°小于180°，教師又借助幾何畫板進行動態(tài)展示，進一步驗證了學生探究的結論.之后，教師做了如下設計：

師：我們知道了圓周角的取值范圍，在這個范圍內最為特殊的圓周角就是90°的圓周角，在演示的過程中，同學們發(fā)現(xiàn)當圓弧滿足什么條件時，圓周角是90°？

生：當圓弧與半圓重合時，所對圓周角為90°.

教師肯定學生的回答，并補充道：除了動態(tài)演示觀察，還可以通過半圓所對圓心角為180°得出“半圓（或直徑）所對圓周角為直角”這一命題，其逆命題也是成立的.

設計意圖：通過探究圓周角的取值范圍感知圓周角的大小變化，在變化的圓周角中進一步聚焦到90°的圓周角，再次滲透從一般到特殊的數學思想.

三、應用“巧”拓展，層層深入培養(yǎng)“四能”

經過圓周角定理及相關推論的探究和學習，本課時的教學目標基本達成，學生從中獲得了基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗.但作為一堂幾何教學課，還應該進一步拓展和提升，教師設計了如下例題：

例如圖7（1），AB為⊙O的直徑，AB=10，∠A=30°，C為圓上一點.

圖7

（1）求弦BC的長；

（2）如圖7（2），若CD為∠ACB的角平分線，交直徑AB于點E，交圓周于點D，求弦BD的長；

（3）如圖7（3），連接OD，求∠CDO的度數；

（4）在條件（1）（2）（3）的基礎上，你還能發(fā)現(xiàn)和提出哪些問題？嘗試解決.

學生運用本節(jié)課所學知識基本上可以獨立完成前三個問題.第（4）問完全點燃了課堂氣氛，學生顯得十分興奮，各個小組紛紛提出自己的問題，教師適時引導，并讓小組之間相互解決所提問題.學生發(fā)現(xiàn)和提出的問題大概有以下三類：

類型1：求角的度數，如∠CEB、∠ACD、∠AEC等；

類型2：求線段的長度，如線段AE、CE、OE等；

類型3：求三角形的面積，如△CEB、△DEB、△ODE.

第一類求角度問題較為簡單，借助圓心角、圓周角的性質及三角形內角（或外角）可以很快解決.第二類求長度問題有一定難度，借助角平分線的性質、勾股定理等知識解決，發(fā)現(xiàn)和提出該類問題的學生基本上能夠較為清晰地表達出解題思路.第三類問題在第二類問題上進一步升華，但解決問題的思路是一致的，仍然需要先求出長度.解決問題的過程中，學生的方法也是多樣的，下面就以求線段AE的長度為例.

生1：利用角平分線的性質.

解析：如圖8（1），過點E分別作EG⊥AC于G，EH⊥BC于H.由角平分線易得EG=EH.

圖8

生2：利用直角三角形的特殊角.

解析：如圖8（2），過點E作EG⊥AC于G.

由題意易得∠GCE=45°，∠A=30°.△CEG、△AEG均為直角三角形.

設計意圖：拓展不是無端增加難度，而是要體現(xiàn)知識的關聯(lián)和方法的融合.前三個問題的設置由易到難，層層深入，在變式練習中鞏固新知.第（4）小問的設計非常巧妙，既兼顧了本課時的內容要求，又超越其知識范圍，實現(xiàn)了相關知識的深度融合；在思維能力上，不僅培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力，更注重發(fā)現(xiàn)和提出問題能力的培養(yǎng)，從而達到了“四能”并舉的教學目的.這種于“預設”中不“限設”、寓“四能”于無形的設計，充分體現(xiàn)了教學的策略性.

四、教學思考

本節(jié)課是一堂常態(tài)的幾何課，教師卻上出了不同尋常的味道，于“源”中追溯概念的發(fā)生，于“慢”中體驗新知的關聯(lián)，于“巧”中兼顧“四能”的培養(yǎng)，為幾何教學提供了一種可借鑒的模式.同時體現(xiàn)出一種教學觀念：“‘四基’的獲得不能速成，應充分體現(xiàn)在教學的全過程；‘四能’的培養(yǎng)不能一枝獨芳，應于巧妙的教學策略中全面開花.”