趙致遠(yuǎn)，景文博，鄒歡歡

（1.長(zhǎng)春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022；2.長(zhǎng)春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

在相干光條件下，復(fù)振幅是光場(chǎng)的空間分布。它包括光強(qiáng)和位相，能夠完整的描述光場(chǎng)信息。光學(xué)成像儀器CCD能夠采集到光場(chǎng)的強(qiáng)度信息，但是無法記錄位相信息。如何通過采集到的強(qiáng)度信息來計(jì)算出光場(chǎng)的位相信息，是現(xiàn)代光學(xué)中要解決的重要問題。常用的位相恢復(fù)方法包括干涉測(cè)量方法、Pyramid傳感、Hartman傳感、強(qiáng)度傳輸方程（TIE）法和相干衍射成像方法（CDI）法等。干涉測(cè)量方法原理是使待測(cè)光束和一束參考光進(jìn)行干涉，以干涉條紋的形式記錄位相信息[1]。該方法測(cè)量精度高，但引入了參考光使得光路結(jié)構(gòu)復(fù)雜，并且對(duì)環(huán)境要求苛刻。Pyramid傳感器及Shark-Hartman傳感器的特點(diǎn)是光路簡(jiǎn)單并且可測(cè)量非相干光的波前，工程化程度高，實(shí)時(shí)性好，但其測(cè)量精度受到微透鏡陣列的結(jié)構(gòu)限制[2,3]。TIE法也可以測(cè)量非相干光的波前，但是測(cè)量系統(tǒng)中需要添加透鏡，因此在X射線等領(lǐng)域應(yīng)用受限[4]。CDI技術(shù)是一種利用卷積理論和衍射定理，通過菲涅耳衍射面上記錄一幅或多幅光強(qiáng)信息，結(jié)合迭代運(yùn)算恢復(fù)位相信息的方法[5,6]。該方法的光路簡(jiǎn)單，恢復(fù)精度不受光學(xué)元件質(zhì)量限制，且在X射線等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。本文采用CDI成像系統(tǒng)，采集兩個(gè)面的強(qiáng)度圖像且已知兩個(gè)面的距離，通過迭代變換算法完成對(duì)相干光的位相恢復(fù)。其中，兩個(gè)邊界條件對(duì)恢復(fù)精度的影響程度，是本文主要研究的問題。

1 基本原理

相干光無透鏡成像系統(tǒng)如圖1所示。相干光束由相干光出射面射出，傳播距離z后到達(dá)U1面，記錄U1面的強(qiáng)度I1。相干光束繼續(xù)傳播距離d后到達(dá)U2面，記錄U2面的強(qiáng)度I2。通過I1，I2，d及迭代變換算法，恢復(fù)相干光位相信息。

圖1 相干光無透鏡成像系統(tǒng)

迭代變換算法流程如圖2所示。迭代的初始復(fù)振幅g可用I1和一個(gè)隨機(jī)位相分布θ0表示：

經(jīng)過k次迭代，U2面的復(fù)振幅可由gk(x)經(jīng)過角譜傳播后得到：

ASP代表角譜傳播：

在保持位相不變的條件下，將傳播后的強(qiáng)度信息替換成I2結(jié)合之后提到的外推法邊界條件得到：

式（4）中的θk(u)是k次迭代的位相估計(jì)。然后對(duì)替換強(qiáng)度后的復(fù)振幅進(jìn)行逆角譜傳播，結(jié)合之后提到的混合輸入輸出法（HIO）邊界條件來形成新的gk+1(x)：

IASP代表逆角譜傳播。該算法遍歷這個(gè)循環(huán)，直到找到滿足兩個(gè)約束條件的輸出，或者算法停滯不前，沒有進(jìn)一步的進(jìn)展時(shí)結(jié)束。這些算法的收斂性通常是由約束誤差來控制的：

式中S表示U1面強(qiáng)度圖像中光斑的區(qū)域，在這種條件下算法收斂。

圖2 迭代變換算法

2 邊界條件

2.1 HIO邊界條件

由于CCD相機(jī)固有的屬性，在實(shí)際采集相干光強(qiáng)度信息時(shí)難免會(huì)有噪聲的影響。通過一般的濾波處理比如：

雖然迭代可以收斂，但是要避開局部極小值是不可能的，并且使得算法容易陷入停滯。

HIO邊界條件又稱為混合輸入輸出法。在有效區(qū)域以外的地方，該算法使用之前的輸入來驅(qū)動(dòng)輸出：

反饋參數(shù)β通常在0：5和0：8之間分配一個(gè)值。已經(jīng)證明HIO邊界條件能夠成功地避開局部最小值，是重建復(fù)雜圖像的重要工具。

好的結(jié)果通常是通過結(jié)合使用迭代變換算法和HIO邊界條件來獲得的，在大多數(shù)迭代中使用HIO邊界條件來探索解空間，并周期性地執(zhí)行幾次誤差減少的迭代，以幫助當(dāng)前的重建穩(wěn)定下來。雖然這種算法組合已被證明是正確的，但它仍然可能被困在非常持久的停滯模式中，尤其是應(yīng)用于以最簡(jiǎn)單形式的復(fù)值圖像重建。

2.2 外推法邊界條件

在現(xiàn)實(shí)世界中，由于光學(xué)系統(tǒng)的有限孔徑，即使感興趣的對(duì)象有一個(gè)硬邊界支持，它的圖像都將會(huì)有旁瓣出現(xiàn)。在傅里葉空間中，為了繞過旁瓣問題，提出了一種基于加權(quán)投影的可控外推技術(shù)。外推法邊界條件又稱為外推法[7]。加權(quán)投影是通過代替傅里葉變換實(shí)現(xiàn)的：

其中W(u)是權(quán)重函數(shù)：

當(dāng)W(u)=1時(shí)，傅立葉幅度約束被執(zhí)行；當(dāng)W(u)=0時(shí)，Gk(u)的幅度和位相保持不變；當(dāng)0＜W(u)＜1時(shí)，Gk(u)介于兩種情況之間。公式（1）表示對(duì)傅里葉幅度約束的寬松投影。一般而言，數(shù)據(jù)外推的問題比插值的穩(wěn)定性差，并且隨著離測(cè)量數(shù)據(jù)越遠(yuǎn)，計(jì)算的外推就越不確定。因此，使用的權(quán)重函數(shù)不允許外推在整個(gè)計(jì)算窗口中自由擴(kuò)展。在測(cè)量窗口之外使用非二進(jìn)制加權(quán)函數(shù)可以使算法稍微外推測(cè)量數(shù)據(jù)。目的是為了使傅立葉數(shù)據(jù)外推足以使其與硬邊對(duì)象支持約束一致。這有效地?cái)U(kuò)展了解決方案的空間，從而包含了衍射限制條件，不需要引入大量的自由參數(shù)。

對(duì)于本文中的外推技術(shù)，HIO的作用是將測(cè)量數(shù)據(jù)嵌入到更大的零點(diǎn)陣列中。加權(quán)函數(shù)W(u)，如圖3所示。圖3在測(cè)量區(qū)域內(nèi)設(shè)置為1，以便測(cè)量的強(qiáng)度得到執(zhí)行。在零填充區(qū)域中，權(quán)重在測(cè)量幅度的邊緣處從零開始，并在計(jì)算窗口的邊緣處逐漸增加到1。該加權(quán)函數(shù)允許算法在接近測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)自由擴(kuò)展，并在接近計(jì)算窗口邊緣時(shí)逐漸減少零幅度，從而允許分析更多測(cè)量數(shù)據(jù)，同時(shí)防止纏繞效應(yīng)。

圖3 權(quán)重函數(shù)示意圖

3 實(shí)驗(yàn)研究

3.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)描述

為了驗(yàn)證相干光無透鏡成像系統(tǒng)對(duì)相干光位相恢復(fù)的可行性，以相干光源為例搭建相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，研究了光照充足條件下該系統(tǒng)對(duì)靜態(tài)像差的探測(cè)能力，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)光路圖與實(shí)物照片分別如圖4和圖5所示。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)由氦氖激光器，激光衰減組，CCD相機(jī)組成。氦氖激光器輸出的光束經(jīng)過激光衰減組，以保證激光光強(qiáng)在一個(gè)合理的閾值。光束在CCD相機(jī)上成像并記錄，之后沿光路方向移動(dòng)CCD相機(jī)使光束再次在CCD相機(jī)上成像并記錄。

圖4 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)光路圖

圖5 實(shí)物照片

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)上述的兩種邊界條件對(duì)迭代變換算法進(jìn)行改造，形成了新的迭代變換算法。它們分別是只使用HIO邊界條件的迭代變換算法和只使用外推法的迭代變換算法，以及兩種邊界條件相結(jié)合的迭代變換算法。利用上述的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中兩臺(tái)CCD采集到的光斑強(qiáng)度圖像如圖6（a）和圖6（b）所示，兩臺(tái)CCD的軸向距離d=5mm。通過上述兩幅強(qiáng)度圖像及傳播距離實(shí)驗(yàn)研究三種迭代變換算法對(duì)相干光位相恢復(fù)的效果并與干涉檢驗(yàn)方法進(jìn)行對(duì)比。干涉檢驗(yàn)方法得到的位相結(jié)果如圖6（c）所示。

為了研究HIO邊界條件對(duì)位相恢復(fù)的效果，將公式（9）改寫為：

不經(jīng)過外推法邊界條件限制的位相恢復(fù)的效果如圖6（d）所示，其殘差如圖7（a）所示；為了研究外推法邊界條件對(duì)位相恢復(fù)的效果，原先HIO邊界條件采用公式（7）。其位相恢復(fù)的效果如圖6（e）所示，其殘差如圖7（b）所示；兩邊界條件共同作用的位相恢復(fù)效果如圖6（f）所示，其殘差如圖7（c）所示。

圖6 光斑強(qiáng)度圖像

圖7 殘差圖像

位相恢復(fù)效果的約束誤差由公式（6）表示。HIO邊界條件的約束誤差如圖8（a）所示，其RMS=0.0189λ；外推法邊界條件的約束誤差如圖8（b）所示，其RMS=0.0096λ；雙邊界條件的約束誤差如圖8（c）所示，其RMS=0.0012λ；結(jié)果表明雙邊界條件的限制能有效提高位相的恢復(fù)精度。

圖8 約束誤差圖像

4 結(jié)論

本文基于相干光無透鏡成像系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一套雙邊界條件位相恢復(fù)方法。該方法有三個(gè)特點(diǎn)：（1）該位相恢復(fù)方法由于沒有使用透鏡，沒有引入多余的系統(tǒng)誤差，且有較廣的波長(zhǎng)適用范圍；（2）該系統(tǒng)搭建光路簡(jiǎn)單，對(duì)外界環(huán)境要求較低；（3）由于雙邊界的限制，該位相恢復(fù)系統(tǒng)中的迭代算法魯棒性強(qiáng)，不易停滯且有效限制了傅里葉空間中的旁瓣問題。本文對(duì)雙邊界條件進(jìn)行了誤差分析，結(jié)果表明雙邊界條件的限制能有效提高位相的恢復(fù)精度。