基礎(chǔ)教育數(shù)學課程的育人目標并非是將每個學生培養(yǎng)成數(shù)學家，而是要讓學生學會數(shù)學思考?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標”）將原有的“過程與方法”目標，分解為“數(shù)學思考”與“問題解決”兩個方面，這充分彰顯了數(shù)學思考在教學中的重要價值。課標指出：“義務(wù)教育階段數(shù)學課程的設(shè)計，充分考慮本階段學生數(shù)學學習的特點，符合學生的認知規(guī)律和心理特征，有利于激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)數(shù)學思考”。對于小學階段的數(shù)學教學而言，以活動為載體，依托兒童在活動中的感受與體驗拓展數(shù)學思考，是教學目標達成的重要路徑。

一、“活動體驗”與“數(shù)學思考”的內(nèi)涵及其關(guān)系

學生的數(shù)學學習是在活動中建構(gòu)、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程。它基于活動體驗但又不能僅停留于體驗層面，必須以活動體驗為基礎(chǔ)，引導學生邁向觸及深度學習的數(shù)學思考。

（一）活動體驗的縷析

活動是數(shù)學學習的重要基礎(chǔ)和過程表達。體驗是學生親身經(jīng)歷數(shù)學活動過程，并在數(shù)學活動中獲得的個性化感受和理解，是數(shù)學學習的內(nèi)在過程?！盎顒印迸c“體驗”相互交融，構(gòu)成了學生數(shù)學學習的“活動體驗”?；顒芋w驗以經(jīng)驗為基礎(chǔ)，立足于精神世界，具有過程性、親歷性和不可傳遞性。體驗是學習者帶有感情色彩地對數(shù)學經(jīng)驗進行回味、反芻和體味，是對數(shù)學經(jīng)驗的升華和超越，它包括操作活動體驗和思維活動體驗。

（二）數(shù)學思考的定位

有研究者認為，數(shù)學思考是學生“在面臨各種問題情境時，能夠從數(shù)學的角度去思考問題，能夠從中發(fā)現(xiàn)所存在的數(shù)學現(xiàn)象并運用數(shù)學的知識與方法去解決問題。”“數(shù)學思考”不同于“思考數(shù)學”，思考數(shù)學側(cè)重點在“數(shù)學”，指向數(shù)學活動本身，著力于數(shù)學問題的解決，而數(shù)學思考側(cè)重點在“思考”，而且是從數(shù)學角度展開思考，指向?qū)W生思維發(fā)展。數(shù)學思考一方面依托數(shù)學知識技能學習，在解決問題過程中展開，另一方面又不以知識技能的掌握、數(shù)學問題的解決為唯一標志。因此，“數(shù)學思考”比“思考數(shù)學”更具有一般性意義。

（三）相互關(guān)系的考量

“活動體驗”與“數(shù)學思考”有明顯的區(qū)別：活動體驗是感性的，數(shù)學思考則是理性的；活動體驗具有個體性特點，而數(shù)學思考則具有數(shù)學化特征；活動體驗是較為淺表的個體感受，數(shù)學思考則是觸及深度思維、個體認知、內(nèi)在情感甚至是價值觀念的深度學習活動。

活動體驗與數(shù)學思考是學生數(shù)學學習過程的不同階段，兩者缺一不可?；顒芋w驗是數(shù)學思考的前提與基礎(chǔ)，數(shù)學思考是活動體驗的提高與升華，沒有活動體驗的數(shù)學思考是空洞、抽象、難以理解的，沒有深入思考的活動體驗是零散、膚淺、缺乏數(shù)學味兒的。數(shù)學學習正是由感性到理性，由膚淺到深刻、由零散到系統(tǒng)的漸進過程。

二、基于“活動體驗”拓展兒童數(shù)學思考的內(nèi)在機制

建構(gòu)主義學習理論表明，學習是學習者根據(jù)自己的經(jīng)驗背景，對外部信息進行主動選擇、加工和處理，對所接受到的信息進行解釋與應(yīng)用，從而生成個人的意義或自己的理解。從外部信息到內(nèi)在理解，因?qū)W習者的自身差異而形成了富有個性的學習結(jié)果，但是學習發(fā)生的過程卻經(jīng)歷了大致相同的階段（如圖1）。

圖1 基于“活動體驗”拓展兒童數(shù)學思考的內(nèi)在機制

（一）初級階段：從情境引入到活動感知

小學階段，數(shù)學學習對象一般通過情境呈現(xiàn)給學習者，學習者依靠眼、耳、手等感官獲得對對象屬性的初步感知，形成部分信息材料。這些信息材料由學習者主動獲取，自然進入學習者的認知系統(tǒng)中，表現(xiàn)為以非言語信息為載體的活動體驗。學生初級階段的活動體驗與感知未經(jīng)過邏輯加工，尚未形成結(jié)構(gòu)性的理解與認識，呈點狀分布。數(shù)學思考在這一階段表現(xiàn)為材料積累、整合和簡單加工，一旦獲取適合的刺激源，大腦皮層便會產(chǎn)生相應(yīng)的刺激反應(yīng)，進入到更高階段的思考層級。

（二）高級階段：從信息提取到邏輯加工

當大腦皮層受到刺激后，學習個體會主動調(diào)取相關(guān)表象、信息、記憶，依靠思考、推理、想象等思維活動，對進入認知系統(tǒng)的非言語信息及其它信息進行多次邏輯加工與整合，不斷刺激思維聯(lián)結(jié)點，產(chǎn)生信息的重組與反應(yīng)。學習在這種螺旋過程中逐步形成和優(yōu)化，從而獲得對學習對象的結(jié)構(gòu)性理解與把握，形成學習個體關(guān)于學習對象的言語信息和非言語信息。這一階段，認知由點狀材料加工為塊狀信息，線狀單向思維模式轉(zhuǎn)變?yōu)榫W(wǎng)狀多向思維方式，從而完成數(shù)學思考的過程。

（三）拓展兒童數(shù)學思考的三種模式

從活動體驗到數(shù)學思考是隱性的思維加工過程，盡管因人而異，可能產(chǎn)生不同的思維結(jié)果，但這個過程卻存在一些可以梳理和把握的形式或規(guī)律。依據(jù)教學內(nèi)容和活動形式的不同，結(jié)合兒童的思維差異，可以拓展出兒童數(shù)學思考的方式大致有以下三種，如圖2-4所示。

圖2 自然生長式

圖3 板塊對接式

圖4 螺旋回升式

1.自然生長式。

單一的知識點教學活動指向比較明確，學生在經(jīng)歷活動的過程中會獲得深刻、豐富的感受或體驗，在單一指向性與充分體驗性的雙重作用下，活動體驗與數(shù)學思考之間的垂直距離逐漸縮小，數(shù)學思考便會自然生長出來。

2.板塊對接式。

不同內(nèi)容之間會存在內(nèi)在邏輯關(guān)系，學生不易察覺與發(fā)現(xiàn)，難以理解與消化。通過外力作用啟發(fā)學生數(shù)學思考，可以實現(xiàn)“活動體驗”與“數(shù)學思考”兩個板塊的碰撞與對接，促進學生感悟知識之間的聯(lián)系，使得活動體驗數(shù)學化，數(shù)學思考體驗化，達到二者的融合與深化。

3.螺旋回升式。

在比較復雜的研究性學習中，數(shù)學思考與活動體驗往往交織在一起。學生的活動體驗走向數(shù)學思考后，便會產(chǎn)生新的問題，學生帶著新問題再次進入活動，深入觀察、比較、分析、概括，不斷豐富活動體驗，逐步優(yōu)化和提升數(shù)學思考，從而促進指向問題解決的數(shù)學思考能力螺旋上升。

三、基于“活動體驗”拓展兒童數(shù)學思考的實踐路徑

筆者立足活動設(shè)計、問題引領(lǐng)、自主反思，從不同維度追本溯源，由外部影響向內(nèi)部因素生發(fā)，探究拓展兒童數(shù)學思考的實踐路徑。

（一）以活動涵養(yǎng)體驗，醞釀數(shù)學思考

活動體驗是數(shù)學思考的土壤，數(shù)學活動不能僅停留于“動手”層面，而要將其作為數(shù)學學習的載體，進行優(yōu)化設(shè)計和有序組織。這里的活動既包括具體的實務(wù)操作，也包括游戲比賽、數(shù)學計算等數(shù)學活動。

1.對比設(shè)計，于橫向關(guān)聯(lián)中刺激體驗，讓數(shù)學思考“生根”。

單一性數(shù)學活動，其形式與內(nèi)涵較多融合在一起，受形式干擾，學生不易從活動中獲得對數(shù)學的認知與體驗。比較是數(shù)學學習的重要方式，可以將單一性活動轉(zhuǎn)化成具有橫向關(guān)聯(lián)的對比性活動群組，幫助學生在對比中獲得不同感受，產(chǎn)生豐富體驗，從而刺激大腦皮層，自然展開數(shù)學思考。

例如：教學蘇教版六下“動手做”板塊中《有趣的平衡》一課，教師可以在課始設(shè)計“直尺平衡”與“鋼筆平衡”兩個操作活動，將質(zhì)量比較均勻的直尺和兩端質(zhì)量明顯不等的鋼筆分別放在食指上，使其保持平衡，在活動中觀察記錄手指的位置。學生通過操作、觀察、比較，感受到兩次平衡活動中手指位置的不同，有效激活了學生的生活經(jīng)驗，促進學生自主思考“手指位置為什么不同”“平衡與哪些因素有關(guān)”，從而形成對平衡現(xiàn)象的初步感知。

2.分層展開，于縱向深入中強化體驗，讓數(shù)學思考“萌芽”。

學生的數(shù)學思考是一個縱深發(fā)展的過程，這個過程伴隨活動展開而展開。因此，活動設(shè)計不僅可以橫向關(guān)聯(lián)，還可以縱向深入。通過一組相同類別但不同層次的活動序列，由淺入深、由表及里、由粗到精、由扶到放逐步展開，幫助學生不斷積累活動經(jīng)驗，打開數(shù)學思考，形成對數(shù)學知識的自主理解與建構(gòu)。

仍以《有趣的平衡》教學為例。在探究平衡規(guī)律時，教師組織了三次活動，第一次活動探究“左側(cè)第3孔掛2顆同樣的珠子，右側(cè)怎么掛珠”，學生通過實驗發(fā)現(xiàn)了多種掛珠方法，進而組織學生比較總結(jié)，發(fā)現(xiàn)兩端孔數(shù)與珠數(shù)的變化規(guī)律。第二次活動調(diào)整左側(cè)珠的顆數(shù)，探究“左側(cè)第3孔掛3顆珠，右側(cè)怎么掛珠”，進一步感受孔數(shù)與珠數(shù)的變化，同時獲得對“孔數(shù)與珠數(shù)乘積不變”的感知。第三次活動再改變左側(cè)離中心點的孔數(shù)，探究“左側(cè)第4孔掛3顆珠，右側(cè)怎么掛珠”，引導學生基于前兩次活動體驗來推理，最后實驗驗證，從而獲得對規(guī)律的整體性理解和把握。三次活動層層深入，有效促進了數(shù)學思考的“萌芽”。

3.交錯推進，于綜合融通中豐富體驗，讓數(shù)學思考“生長”。

以橫向或縱向視角觀照活動，我們會發(fā)現(xiàn)，有些活動之所以能夠引發(fā)學生的數(shù)學思考，并不是簡單以橫向或縱向的方式呈現(xiàn)，而是既有橫向?qū)Ρ鹊幕顒?，又有縱向展開的活動，縱橫交融，密不可分，構(gòu)成了整體性的活動系統(tǒng)。將數(shù)學學習置放在多空間、多維度、多層次的活動系統(tǒng)中，使得數(shù)學思考自然卷入其中。

以特級教師俞正強執(zhí)教的《用字母表示數(shù)》為例。俞老師抓住用字母表示數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，設(shè)計了往袋中裝粉筆的活動，先在“看見”和“看不見”的情況下分別往袋里裝粉筆，讓學生用數(shù)表示袋中粉筆的數(shù)量，形成橫向活動對比，使學生體驗在“看見”情況下可以用確定的數(shù)表示，從而思考“不確定的情況下如何表示袋中粉筆數(shù)量？為什么袋中粉筆的數(shù)量不是0、100等數(shù)字？”然后將活動引向縱深，出示另一種顏色袋子并用字母表示其中粉筆數(shù)量，啟發(fā)學生進一步思考“兩個袋中粉筆數(shù)量都不確定時，如何用字母表示？給出兩個數(shù)量之間的關(guān)系后，如何更好地表示另一袋中粉筆的數(shù)量？”促使學生進一步理解用字母式子表示數(shù)量的方法和好處。交錯推進的活動使學生的數(shù)學思考自然展開，抽象數(shù)學便“無聲”地植根于學生的認知結(jié)構(gòu)之中。

（二）以問題架構(gòu)橋梁，啟迪數(shù)學思考

美國數(shù)學家哈爾莫斯以“問題是數(shù)學的心臟”強調(diào)問題對數(shù)學的重要作用。數(shù)學思考離不開關(guān)鍵問題的引領(lǐng)。教學中，當學生有活動體驗，但未觸及數(shù)學思考時，教師要及時準確地找到數(shù)學思考的“最近發(fā)展區(qū)”，通過適當提問，打通活動體驗與數(shù)學思考的通道，將學生思維引向深入，引導學生逐步養(yǎng)成自我提問的習慣。

1.在“是什么”的發(fā)問中歸納總結(jié)，促進數(shù)學思考從模糊走向清晰。

數(shù)學學習不能僅滿足于結(jié)論的獲得，更不能將結(jié)論作為一種數(shù)學規(guī)定，簡單機械地強加給學生。教師要引導學生在充分感知、體驗的基礎(chǔ)上，用自己的方式進行表達。教師要善于進行“是什么”的發(fā)問，引導學生及時將活動體驗轉(zhuǎn)化為數(shù)學思考，并促進數(shù)學思考由模糊走向清晰。

例如：在教學蘇教版四下《三角形的認識》時，為了讓學生建立“高”的概念，教師先讓學生基于對“高度”的理解，嘗試畫出三角形的高，使高的生活經(jīng)驗轉(zhuǎn)化成數(shù)學活動體驗，在頭腦中留下清晰的認知表象。然后通過展示、交流、評價不同的畫法，不斷激活學生活動體驗，獲得對“三角形的高”的初步理解。進而追問“什么是三角形的高”，讓學生用自己的語言表述高的概念，通過同伴之間相互交流與補充，建立清晰完整的概念。在這個過程中，“是什么”這一問題是引領(lǐng)學生深入探究的旗幟。

2.在“為什么”的追問中合理解釋，促進數(shù)學思考從淺表走向深層。

人們在認識世界時，如果只滿足于對常識的感知和了解，會思維固化，因而要善于追問“為什么”。“為什么”是對既有認知的追問，是深入理解知識的重要路徑。教學中，教師要通過拋出“為什么”的問題，引導學生對既有結(jié)論進行深度思考。

例如：教學蘇教版五下《圓的認識》，在探究圓的特征時，學生通過畫一畫體驗到同一個圓內(nèi)半徑有無數(shù)條，且都相等。此時，教師提出問題“為什么圓內(nèi)有無數(shù)條半徑且相等，能否給出合理的解釋或說明”，學生以“圓上有無數(shù)個點”來解釋“同圓內(nèi)半徑有無數(shù)條”，以“定長”說明“同圓內(nèi)半徑都相等”，深刻理解了圓的概念、畫圓方法與圓的特征之間的內(nèi)在聯(lián)系。在“無疑處生疑”是數(shù)學思維品質(zhì)的體現(xiàn)，教師應(yīng)主動提問“為什么”，適時引導學生自問“為什么”，幫助學生養(yǎng)成自問自究的習慣。

3.在“還可以怎樣”的再問中推理延展，促進數(shù)學思考從單一走向系統(tǒng)。

教學是一個開放的、互動交往、共同提高的過程，現(xiàn)代教學要打破傳統(tǒng)課堂中封閉式的教學方法，還給學生應(yīng)有的思維空間和話語權(quán)。學生有其獨特的思維方式，常呈現(xiàn)出兒童視角下的思維結(jié)果。當學生提出一種或幾種思考結(jié)果時，教師可以通過“還可以怎樣”的追問，讓學生的數(shù)學思考繼續(xù)延展，在此基礎(chǔ)上豐富學習素材，整合不同結(jié)果，梳理內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)學思考從點生發(fā)，形成脈絡(luò)，進而由單一逐步聯(lián)結(jié)成系統(tǒng)。

（三）以反思促進發(fā)展，提升數(shù)學思考

美國詩人金斯伯格在談及數(shù)學教學時說：“真正的數(shù)學頭腦是思維的頭腦，是內(nèi)省的頭腦，這也正是學校應(yīng)當教學生的東西?！卑凑蘸商m數(shù)學教育家弗賴登塔爾的觀點，“只要兒童沒能對自己的活動進行反思，就達不到高一級的層次”。一般意義上，反思是主體對經(jīng)歷過的或正在經(jīng)歷的事件進行回顧、剖析、內(nèi)省，達到對事件的進一步認識。數(shù)學學習中的反思是主體數(shù)學思考的自覺表現(xiàn)，是學生從活動體驗到數(shù)學思考的自主跨越。在活動體驗與數(shù)學思考的交織中，反思如同“黏合劑”，彌散于數(shù)學活動過程中，促進數(shù)學思考由外在啟發(fā)到內(nèi)部生發(fā)。

反思不是先天就有的，而是后天逐步養(yǎng)成的。教師在教學中要注意留給學生反思的時空，指導學生回顧活動過程，交流活動體會，評價活動成果，糾正活動錯誤，實現(xiàn)從知識學習到方法的提升。教師要指導學生學會在活動中“停下來”，思考“為什么這樣做”“這樣做對嗎”“怎樣做得更好”等問題，讓學生逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地思考，發(fā)展思維的敏捷性、深刻性、批判性和創(chuàng)新性。

總之，數(shù)學教學既要充分考慮兒童認知規(guī)律，讓學生在生動豐富的活動中“動手”，更要體現(xiàn)數(shù)學學科特點和其特有的育人價值，為兒童提供數(shù)學思考的時間和空間，幫助學生學會“動腦”，自主建構(gòu)對數(shù)學的理解，培養(yǎng)良好的數(shù)學思維品質(zhì)。只有正確處理好“動手”與“動腦”的關(guān)系，逐步指導學生學會數(shù)學思考，自覺進行數(shù)學思考，才能讓學生變得聰明、智慧，進而學會思維，并能由理性思維逐步走向理性精神。

本文獲2018年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。