祝麗萍 崔朝劍雄 張 勝 羅夢(mèng)迪

（昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100）

1 引言

冪期權(quán)是金融市場(chǎng)中一類變異期權(quán),區(qū)別于一般期權(quán)的特點(diǎn)在于，其持有人在到期日行權(quán)條件不是簡(jiǎn)單地用標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格與執(zhí)行價(jià)格相比較,而是用標(biāo)的資產(chǎn)的某個(gè)指數(shù)冪與執(zhí)行價(jià)格相對(duì)比,因而冪期權(quán)能夠放大風(fēng)險(xiǎn),且具有一定的靈活性,能滿足不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者的需要[1]。為了簡(jiǎn)化，傳統(tǒng)的金融產(chǎn)品定價(jià)理論往往假設(shè)金融市場(chǎng)是無(wú)套利、均衡和完備的市場(chǎng),然后就可以得到相應(yīng)的定價(jià)公式[2]。然而實(shí)際市場(chǎng)總是有套利、非均衡、不完備的,因而傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型往往不太適合真實(shí)市場(chǎng)。注意到保險(xiǎn)產(chǎn)品和期權(quán)在性質(zhì)上的類似，1998年,Bladt和Rydberg首次將保險(xiǎn)精算方法運(yùn)用在期權(quán)定價(jià)中,稱為保險(xiǎn)期權(quán)定價(jià)法[3]，該方法對(duì)金融市場(chǎng)并沒(méi)有特別的假設(shè),適應(yīng)性也比較廣泛。但是，2005年Schmitz用反例說(shuō)明Bladt和Rydberg基本結(jié)論是錯(cuò)誤的,關(guān)鍵就是Bladt和Rydberg的行權(quán)條件會(huì)導(dǎo)致套利機(jī)會(huì)[4]。2008年,鄭紅等人在利用保險(xiǎn)精算方法上進(jìn)一步修正了Bladt和Rydberg的精算公式，得到新的歐式期權(quán)保險(xiǎn)精算定價(jià)公式[5]。其次,傳統(tǒng)的模型往往都是基于正態(tài)分布的模型假設(shè),但實(shí)際數(shù)據(jù)往往都具有尖峰厚尾的特點(diǎn)，與正態(tài)分布有差異。分形布朗運(yùn)動(dòng)可以描述這種非正態(tài)的特性,于是1997年Roger將分形布朗運(yùn)動(dòng)引入期權(quán)定價(jià)公式[6]。由于現(xiàn)存的文獻(xiàn)中基于分形布朗運(yùn)動(dòng)用保險(xiǎn)精算定價(jià)法研究?jī)缙跈?quán)還不多,因此本文試圖討論保險(xiǎn)精算方法在股票價(jià)格服從分形布朗運(yùn)動(dòng)條件下冪期權(quán)定價(jià)問(wèn)題中,導(dǎo)出其定價(jià)公式,進(jìn)一步推廣鄭紅等人的成果。

2 冪期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)模型

由于冪期權(quán)也分為看漲和看跌兩種。本文以看漲冪期權(quán)為例來(lái)研究。

假定金融市場(chǎng)由兩種資產(chǎn)來(lái)組成，一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，另一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（例如股票）。假設(shè)在t時(shí)刻，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)瞬時(shí)收益率為r(t),其價(jià)格過(guò)程為Q(t):t≥0,風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程為S(t):t≥0，是定義在給出的濾子化完備概率空間(Q ,F,F(t)t≥0,P)上的隨機(jī)過(guò)程,F(t):t≥0是由S(t)所產(chǎn)生的自然濾子，討論時(shí)間區(qū)間為[0,T],0表示為初始時(shí)刻,T表示為到期日，假設(shè)S(0)=S為大于零的常數(shù)。

定義1假設(shè)S(t):t≥0是某個(gè)隨機(jī)的過(guò)程,S(0)=S,β(t):t≥0是某一函數(shù)。如果在區(qū)間[0 ,t]上有

假設(shè)C(K,T)表示以股票的價(jià)格S(t)作為標(biāo)的資產(chǎn),執(zhí)行價(jià)格為K,到期日為T的看漲冪期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)。

定義2稱當(dāng)期權(quán)在到期日被執(zhí)行時(shí)，股票在到期日股價(jià)S(T)α折現(xiàn)值與其執(zhí)行價(jià)K之間的差額在股票價(jià)格實(shí)際分布下的數(shù)學(xué)期望為分形布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下冪期權(quán)保險(xiǎn)精算的價(jià)值。一般情況下無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按照無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)，而風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按其期望收益率折現(xiàn)，即

其中,E表示T時(shí)刻實(shí)際概率測(cè)度下的數(shù)學(xué)期望。

相比于傳統(tǒng)期權(quán)保險(xiǎn)精算定價(jià)法，此精算定價(jià)法嚴(yán)格按照期權(quán)的定義和保險(xiǎn)精算的思想來(lái)給出期權(quán)的定價(jià)模型。最關(guān)鍵的區(qū)別是期權(quán)所執(zhí)行的條件,即上式中的示性函數(shù)。

3 冪期權(quán)的精算定價(jià)公式

為求解公式（1）,我們進(jìn)一步假設(shè)股票的飄移項(xiàng)和波動(dòng)項(xiàng)以及利率都是常值，并且假設(shè)股票價(jià)格服從分形布朗運(yùn)動(dòng)。

其中，H:0≤H≤1是赫斯特指數(shù),BH()t代表參數(shù)為H的分形布朗運(yùn)動(dòng).u,σ,r都是常數(shù)。下面僅給出看漲冪期權(quán)在分形布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的保險(xiǎn)精算定價(jià)公式。

因?yàn)榉中尾祭蔬\(yùn)動(dòng)不再是半鞅,故不能用Ito?引理來(lái)求解，就需要以下得引理

引理1[7]對(duì)于0≤t≤T隨機(jī)微分方程（2）的解是

定理1在基本的假設(shè)下,分形布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下冪期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)公式應(yīng)為

其中，

證明：由引理1,

特別地有,

注意到σBH(t)～N( )0,σ2T2H,從而有

注意到,定義2中執(zhí)行期權(quán)的條件S(T)α＞K的等價(jià)條件是：

現(xiàn)將式（5）（6）帶入式（1）即得公式（4）。證畢。

4 結(jié)論

從公式（4）我們可以看出,在風(fēng)險(xiǎn)為中性的條件下,公式（4）與何成潔等和周圣武文等文中通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)中性原理推導(dǎo)的結(jié)果一致[8,9],而且與唐奎等人研究的結(jié)論一致,并且我們?cè)谔瓶热宋恼伦C明過(guò)程中發(fā)現(xiàn)其結(jié)論只能在風(fēng)險(xiǎn)中性情況下才成立【10】,這一點(diǎn)說(shuō)明我們方法的優(yōu)勢(shì)。當(dāng)α=1時(shí),冪期權(quán)就轉(zhuǎn)變?yōu)橐话闫跈?quán),結(jié)論與鄭紅文中的結(jié)果一致。因此，本文的確是上述文章的推廣。但是由于我們的研究?jī)H僅是在漂移項(xiàng)、波動(dòng)項(xiàng)都為常數(shù)，也不帶分紅的情況下進(jìn)行的，具有一定的局限性，今后我們要對(duì)冪期權(quán)在具有時(shí)間依賴的漂移項(xiàng)、波動(dòng)項(xiàng)和利率以及帶有紅利分配的保險(xiǎn)精算定價(jià)問(wèn)題進(jìn)一步討論。