北京交通大學(xué)海濱學(xué)院 楊慧賢

近些年來(lái)，數(shù)學(xué)的快速發(fā)展使復(fù)變函數(shù)變得越來(lái)越重要，這也使越來(lái)越多的專家與學(xué)者投入到復(fù)變函數(shù)的研究中。復(fù)變函數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域中發(fā)揮著重要作用，通過(guò)復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用，有助于對(duì)實(shí)際生活中所遇到的各種問(wèn)題進(jìn)行有效解決，從而大大推動(dòng)各個(gè)領(lǐng)域的技術(shù)發(fā)展。隨著人們對(duì)復(fù)變函數(shù)研究的不斷深入，復(fù)變函數(shù)的重要性也日益凸顯出來(lái)，人們更加迫切地需要解決復(fù)變函數(shù)研究中存在的問(wèn)題。為此，以下便對(duì)復(fù)變函數(shù)的相關(guān)應(yīng)用及其介紹進(jìn)行了闡述與分析。

一、復(fù)變函數(shù)介紹

復(fù)數(shù)這一概念是人們?cè)谇蠼夥匠谈鶗r(shí)無(wú)意中發(fā)現(xiàn)的，長(zhǎng)期以來(lái)，人們一直無(wú)法理解復(fù)數(shù)，不過(guò)，隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的不斷發(fā)展，復(fù)數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域中的重要性也逐漸凸顯出來(lái)，這也使人們將復(fù)數(shù)的形式通常定義為a+bi，在該定義中，虛數(shù)單位由i 表示。單復(fù)變函數(shù)起源于數(shù)學(xué)中的多復(fù)分析，由于多復(fù)分析過(guò)于復(fù)雜，而且分析難度較大，這也使人們?cè)诙鄰?fù)分析中所研究出的方法和單復(fù)變函數(shù)存在很大差異，這是因?yàn)槎x區(qū)域所具有的拓?fù)湫再|(zhì)與幾何性質(zhì)會(huì)在很大程度上影響多復(fù)變?nèi)兒瘮?shù)的性質(zhì)。因此，人們?cè)谘芯窟^(guò)程中，需要從局部性質(zhì)逐漸向著整體性質(zhì)轉(zhuǎn)移，并利用微分幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等學(xué)科中的方法及概念，從而為復(fù)變函數(shù)的發(fā)展拓寬道路。在20 世紀(jì)90 年代，復(fù)變函數(shù)論得到了高速的發(fā)展，并在當(dāng)時(shí)成為重要的研究熱門，在那時(shí)，大多數(shù)數(shù)學(xué)家都認(rèn)為復(fù)變函數(shù)論具有廣闊的研究前景，并將其譽(yù)為抽象科學(xué)中和諧性最強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論。歐拉達(dá)朗貝爾最早創(chuàng)建了復(fù)變函數(shù)論，在隨后的幾年里，拉普拉斯也投入到復(fù)變函數(shù)積分的研究中，從而為復(fù)變函數(shù)學(xué)科的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)。

二、復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用

部分學(xué)者在研究函數(shù)時(shí)，已經(jīng)不再對(duì)個(gè)別函數(shù)進(jìn)行考慮，而是將其當(dāng)作某種具有特定性質(zhì)的族函數(shù)來(lái)進(jìn)行統(tǒng)一的研究。P·蒙泰爾提出的解析函數(shù)正規(guī)族便是采用上述方法來(lái)進(jìn)行的，這也使復(fù)變函數(shù)的發(fā)展得到了很大突破。例如，Hp 空間就和很多數(shù)學(xué)分支都有著緊密的聯(lián)系，而復(fù)變函數(shù)則是從一個(gè)變數(shù)向多個(gè)變數(shù)進(jìn)行自然推廣，多變數(shù)會(huì)大幅增加定義域的復(fù)雜性，其函數(shù)性質(zhì)相比于單變數(shù)有著很大區(qū)別，在對(duì)多變數(shù)進(jìn)行研究時(shí)，需要通過(guò)近代數(shù)學(xué)工具才能實(shí)現(xiàn)。自柯西以來(lái)，復(fù)變函數(shù)論已經(jīng)歷經(jīng)了一個(gè)半世紀(jì)的發(fā)展，其理論與技巧的不斷完善，使復(fù)變函數(shù)成為數(shù)學(xué)中不可或缺的組成部分，復(fù)變函數(shù)論促進(jìn)了許多學(xué)科的發(fā)展，其經(jīng)常被人們當(dāng)作工具來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，其內(nèi)容更是理工專業(yè)所必須掌握的。目前，復(fù)變函數(shù)論在研究過(guò)程中仍舊有許多問(wèn)題亟需解決，因此復(fù)變函數(shù)的不斷發(fā)展必將進(jìn)一步拓寬其應(yīng)用范圍。

除了在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，復(fù)變函數(shù)在流體力學(xué)、航空力學(xué)等物理學(xué)科中也有著重要應(yīng)用，復(fù)變函數(shù)在數(shù)論及微積分等學(xué)科中的融入程度也越來(lái)越高，并帶動(dòng)了這些學(xué)科的發(fā)展。目前，在復(fù)變函數(shù)研究中仍舊有許多問(wèn)題亟需研究，隨著越來(lái)越多學(xué)者的不斷研究，復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展前景必將變得無(wú)比廣闊，并在更多領(lǐng)域中得到應(yīng)用。例如，茹柯夫斯基便通過(guò)復(fù)變函數(shù)論的應(yīng)用優(yōu)化了飛機(jī)的機(jī)翼結(jié)構(gòu)，其通過(guò)復(fù)變函數(shù)有效解決了航空與流體力學(xué)中存在的問(wèn)題，為航空領(lǐng)域的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)。

復(fù)變函數(shù)憑借其完善的理論與技巧，使其成為數(shù)學(xué)中不可分割的一部分，并帶動(dòng)了諸多學(xué)科的進(jìn)步與發(fā)展，是對(duì)實(shí)際生活中各種問(wèn)題進(jìn)行有效解決的有力工具，其基礎(chǔ)內(nèi)容更是成為理工科專業(yè)所必須掌握的。

三、復(fù)變函數(shù)的發(fā)展史

在16 世紀(jì)中期，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在求解三次方程時(shí)發(fā)現(xiàn)了復(fù)數(shù)開(kāi)平方這一數(shù)學(xué)思想，在17 至18 世紀(jì)，人們?cè)噲D從幾何層面來(lái)解釋函數(shù)，并將其和平面向量進(jìn)行相互對(duì)應(yīng)，以此解決實(shí)際生活中存在的問(wèn)題。在18 世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)論發(fā)展起來(lái)，并在19 世紀(jì)得到了全面的發(fā)展，至20 世紀(jì)起，復(fù)變函數(shù)已經(jīng)能夠在彈性物理、理論物理以及天體力學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用。此外，我國(guó)在數(shù)學(xué)研究中，也在復(fù)變函數(shù)的研究基礎(chǔ)上取得了碩果累累的成就，并在當(dāng)時(shí)位于世界先進(jìn)水平。多復(fù)變函數(shù)論是19 世紀(jì)末被正式創(chuàng)立的，哈托格斯、庫(kù)辛等人的研究更是對(duì)多復(fù)變?nèi)兒瘮?shù)的性質(zhì)進(jìn)行了揭示。在20 世紀(jì)30 年代，人們對(duì)多復(fù)變函數(shù)的研究正式全面展開(kāi)，并研究出著名的全純自同構(gòu)唯一性定理，日本也針對(duì)多復(fù)變中心問(wèn)題進(jìn)行了有效的研究，從而為多復(fù)變函數(shù)的后續(xù)發(fā)展帶來(lái)了深遠(yuǎn)影響。

總而言之，復(fù)變函數(shù)已經(jīng)成為當(dāng)代數(shù)學(xué)中的重要組成部分，復(fù)變函數(shù)的發(fā)展史更是帶動(dòng)了諸多學(xué)科的發(fā)展與進(jìn)步，在實(shí)際生活中有著巨大的應(yīng)用價(jià)值。與此同時(shí)，在復(fù)變函數(shù)發(fā)展中仍舊有許多課題有待更進(jìn)一步的研究，這便需要更多的專家與學(xué)者投身其中，不斷解決研究過(guò)程中遇到的各種問(wèn)題，以此促進(jìn)復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用與發(fā)展。