☉浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 蔣安娜

☉浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 唐恒鈞

知識經(jīng)濟(jì)時代背景下，學(xué)習(xí)者的終身學(xué)習(xí)能力、自主學(xué)習(xí)能力和知識創(chuàng)新能力都要以深度學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)［1］，深度學(xué)習(xí)也成為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑.在我國，指向具體學(xué)科的深度學(xué)習(xí)研究逐漸引起人們的關(guān)注，但還處于起步階段［2］.其中，指向數(shù)學(xué)學(xué)科的深度學(xué)習(xí)研究正成為中學(xué)數(shù)學(xué)教育中最熱門的話題之一［3］.深度學(xué)習(xí)能促進(jìn)數(shù)學(xué)高階思維發(fā)展，與問題鏈教學(xué)使思維“淺入深出”理念相契合.在數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)特征的指導(dǎo)下，以問題鏈教學(xué)為載體設(shè)計學(xué)習(xí)活動，以期實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)目標(biāo).

一、基于問題鏈的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)設(shè)計理念

1.數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的特征

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，要求建立在完整而深刻地理解和處理數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)之上，在學(xué)習(xí)過程中充分參與和積極建構(gòu)，并能在復(fù)雜情境中有效遷移與運(yùn)用，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維.數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)也因此具有批判理解、信息整合、知識建構(gòu)、遷移運(yùn)用、情境交互、終身主動等特征.

具體地，批判理解特征表現(xiàn)在：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯之精髓就在于批判的方法，即對原來不嚴(yán)格的論證或思想實驗進(jìn)行批判、論證［4］.

信息整合指學(xué)習(xí)個體需要整合來自各學(xué)科領(lǐng)域乃至社會領(lǐng)域的信息，在復(fù)雜情境中進(jìn)行取舍，精準(zhǔn)提煉出數(shù)學(xué)問題，抽象出數(shù)學(xué)對象，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型以解決問題.

此外，學(xué)習(xí)個體進(jìn)行多元知識建構(gòu)時，不僅強(qiáng)調(diào)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化外部信息，還需通過外部信息順應(yīng)和改組原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而建構(gòu)起新的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò).

同時，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)個體在復(fù)雜情境中抓住關(guān)鍵，進(jìn)而能在新情境中遷移運(yùn)用新知，從而避免非本質(zhì)屬性泛化的錯誤.遷移運(yùn)用與情景交互兩大特征相輔相成.

最后，對學(xué)習(xí)的由衷熱愛是深度學(xué)習(xí)的活力源泉，主動學(xué)習(xí)是熱愛的外部表征.這意味著數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)個體的學(xué)習(xí)熱情、韌性意志力等方面也達(dá)到一定的深度.

2.基于問題鏈的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)活動

“問題鏈”是指在課堂上呈現(xiàn)給學(xué)生的、有序的主干問題串［5］.基于問題鏈的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是以問題鏈教學(xué)作為深度學(xué)習(xí)的促進(jìn)策略，是一種具體化的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)活動形式.目的是通過問題鏈的設(shè)計滲透數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)特征，進(jìn)而營造數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)課堂.

根據(jù)對數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)內(nèi)涵的認(rèn)識，借鑒Jensen和Nickelsen的深度學(xué)習(xí)路線［6］、皮連生的知識分類學(xué)習(xí)論及教育目標(biāo)分類理論［7］，綜合國外研究者對深度學(xué)習(xí)框架的構(gòu)想，納入問題鏈教學(xué)的思想理念，構(gòu)建了基于問題鏈的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)一般活動環(huán)節(jié)（如圖1）.

圖1 基于問題鏈的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)活動環(huán)節(jié)

該模型中的各個環(huán)節(jié)共同構(gòu)成了一個完整的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)過程.前三個環(huán)節(jié)為預(yù)備階段.“學(xué)習(xí)單元選擇與設(shè)計”是指教師需要根據(jù)學(xué)情、教學(xué)目標(biāo)等對一個整體的數(shù)學(xué)單元進(jìn)行設(shè)計，以便于深刻而全面地把握知識塊之間的聯(lián)系.“預(yù)評估”及“營造積極的數(shù)學(xué)文化”是為了深入了解學(xué)情，創(chuàng)造活潑而生活化的數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生在文化熏陶下追隨數(shù)學(xué)先賢的思維脈絡(luò)探索知識生成.“激活原有知識”和“接受新知識”環(huán)節(jié)為導(dǎo)入階段.該階段為一般學(xué)習(xí)活動過程中都具備的環(huán)節(jié)，能為深度學(xué)習(xí)活動的開展提供知識基礎(chǔ).深度加工階段則分為兩支線、一創(chuàng)造、七環(huán)節(jié)進(jìn)行：陳述性知識通過“復(fù)述與精加工”使得“知識結(jié)構(gòu)重組建構(gòu)”，以便“提取知識進(jìn)行應(yīng)用”；程序性知識通過“不同情境下的變式訓(xùn)練”使得“知識轉(zhuǎn)化為技能”以便“遷移運(yùn)用”.兩種類型知識的最終“創(chuàng)造”體現(xiàn)信息加工的深度.最后為評價階段.事實上，評價貫穿整個深度學(xué)習(xí)活動環(huán)節(jié)，而遷移運(yùn)用、信息整合、批判理解、知識建構(gòu)等特征在四個階段，尤其是深度加工階段循環(huán)交錯，貫穿整個活動過程.

問題鏈設(shè)計則強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密貼合數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)各個環(huán)節(jié).在預(yù)備階段，問題鏈的設(shè)計應(yīng)在單元目標(biāo)、學(xué)情等指導(dǎo)下，梳理知識脈絡(luò)以確立教學(xué)聯(lián)結(jié)點，明確具體課型和學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計主干問題鏈.在導(dǎo)入階段和深度加工階段，問題鏈的設(shè)計則要充分考慮學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，于細(xì)微之處編排富有層次的問題，為學(xué)生搭建合理的階梯.最后，在問題鏈實施后，在評價階段，教師需要及時反饋把控學(xué)習(xí)結(jié)果.

二、基于問題鏈的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)案例設(shè)計

根據(jù)基于問題鏈的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)過程模型，結(jié)合浙教版八年級上冊第二章第三節(jié)“等腰三角形的性質(zhì)定理”的學(xué)習(xí)目標(biāo)，設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)實踐方案，來說明如何在問題鏈設(shè)計、實施、評價中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成.

1.預(yù)備階段：確立教學(xué)聯(lián)結(jié)點

圖2 等腰三角形的性質(zhì)定理的教學(xué)聯(lián)結(jié)點

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)要求把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，因此在“學(xué)習(xí)單元選擇與設(shè)計”環(huán)節(jié)中，以數(shù)學(xué)單元核心知識群作為深度學(xué)習(xí)的切入點和載體.本節(jié)“等腰三角形的性質(zhì)定理”是學(xué)生學(xué)習(xí)了全等三角形、定義與命題、軸對稱等相關(guān)知識后所安排的內(nèi)容，為特殊三角形章節(jié)的重要部分.此時學(xué)生具備進(jìn)一步綜合探究、證明等腰三角形性質(zhì)的理論基礎(chǔ)，同時具備了初步的自主探究能力和邏輯推理能力.因此本節(jié)課摒棄“給出定理—分析、證明定理—應(yīng)用定理”的教學(xué)方法，而是以折紙活動作為主線，讓學(xué)生在動手操作中“發(fā)現(xiàn)猜想—解析結(jié)構(gòu)—證明定理—應(yīng)用定理”；以探究環(huán)節(jié)順序設(shè)主干問題鏈，并在各個環(huán)節(jié)串聯(lián)軸對稱、命題、全等三角形等知識，從而助力學(xué)生的自主探究.以上為本節(jié)課的教學(xué)聯(lián)結(jié)點（如圖2）.

2.導(dǎo)入階段和深度加工階段：建構(gòu)主干問題鏈

在教學(xué)聯(lián)結(jié)點的基礎(chǔ)之上，為使所設(shè)計的問題富有層次而又貼合學(xué)生認(rèn)知水平，設(shè)計了如下“等腰三角形的性質(zhì)定理”的主干問題鏈.

問題1：（導(dǎo)入——情景設(shè)疑） 新農(nóng)村建設(shè)中，樓房都有房梁，并且房梁保持水平狀態(tài).你們知道木匠師傅是用什么方法確定房梁是否保持水平嗎？下面這個方法可不可行：如圖3，房梁上放一把等腰直角三角尺，在頂點A處掛一條鉛錘線，使得線經(jīng)過三角尺斜邊的中點O？你能用等腰三角形相關(guān)知識回答嗎？

圖3

問題2：（導(dǎo)入——實驗與猜想）如何利用手上的一張長方形紙片得到一個等腰三角形紙片？從折疊方法中你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形有何特點？把剪出的等腰三角形沿折痕對折，你還能發(fā)現(xiàn)等腰三角形存在哪些等量關(guān)系？觀察這些結(jié)論，你能發(fā)現(xiàn)什么？請做進(jìn)一步梳理.

以上兩個問題鏈針對導(dǎo)入階段設(shè)置.導(dǎo)入階段為知識的初步感知.問題源于情境，情境是產(chǎn)生問題的沃土.問題1創(chuàng)設(shè)生活情境引發(fā)學(xué)生思考，而當(dāng)學(xué)生意識到已有等腰三角形概念知識無法解答該問題時，自然激起求知欲.問題2借助折紙活動引導(dǎo)學(xué)生通過觀察等腰三角形對折重合，直觀得出軸對稱這一特點，并繼續(xù)從軸對稱的角度出發(fā)，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)邊、角的等量關(guān)系.層層推進(jìn)的問題鏈設(shè)計幫助學(xué)生在情境交互中感受等腰三角形性質(zhì)結(jié)論的猜想與歸納，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、合情推理的思維能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)情景交互的特征.

問題3：（深度加工——解析結(jié)構(gòu)）利用實驗操作的方法，我們發(fā)現(xiàn)并概括出等腰三角形的特征，對于結(jié)論1：等腰三角形的兩底角相等，若要證明其為真命題，請寫出該命題的題設(shè)和結(jié)論是什么.結(jié)論2的題設(shè)和結(jié)論又是什么？

問題3引導(dǎo)學(xué)生對“定義與命題”相關(guān)知識進(jìn)行遷移運(yùn)用，明晰針對等腰三角形歸納的命題的題設(shè)與結(jié)論.這一步是合情推理到演繹推理結(jié)合的關(guān)鍵一步，也是學(xué)生對新知的認(rèn)知結(jié)構(gòu)組建的一個重要步驟，即突出數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)知識建構(gòu)的特征.

問題4：（深度加工——分析論證）數(shù)缺形時少直觀，請根據(jù)畫出的圖形，用符號語言翻譯命題的內(nèi)容，并寫出已知和求證.證明角和角相等有哪些方法？通過折疊等腰三角形紙片，你認(rèn)為用什么方法證明該等腰三角形兩個底角相等？證明中作輔助線的方法有幾種？請采取任意一種方法進(jìn)行證明.

幾何命題的證明對八年級的學(xué)生來說比較抽象，難度過大，為了突破難點，設(shè)計的三個子問題層層推進(jìn)，充分利用折紙活動，調(diào)動學(xué)生思考，容易聯(lián)想到利用全等三角形來證明兩底角相等，以及折痕所在即為輔助線所在，讓學(xué)生逐步實現(xiàn)由實驗幾何到論證幾何的過渡，環(huán)環(huán)相扣，并穿插進(jìn)行符號語言、圖形語言、文字語言的轉(zhuǎn)換.另外，在探討命題多樣證法時，可培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、廣闊性和深刻性，促進(jìn)高階思維發(fā)展.

問題5：（深度加工——學(xué)以致用）（1）等腰三角形一個底角為75°，它的另外兩個角為__________.

（2）等腰三角形一個角為70°，它的另外兩個角為____________.

（3）等腰三角形的周長為13，腰長為5，它的另外兩條邊長為_________.

（4）現(xiàn)在你能否解決該問題：房梁上放一把三角尺（等腰直角三角形），在頂點A處掛一條鉛垂線，使線經(jīng)過三角尺斜邊的中點O，這根房梁是否保持水平呢？為什么？

問題5中前三個問題是等腰三角形性質(zhì)①在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用（包括逆用），變式間的辨析促進(jìn)學(xué)生對知識的批判理解.第四個問題則是性質(zhì)②于生活實際問題中的應(yīng)用.一方面，全面的應(yīng)用能發(fā)揮數(shù)學(xué)的實用功能和文化功能；另一方面，在全面的應(yīng)用中，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)將不斷地修改完善，從而進(jìn)一步促進(jìn)知識建構(gòu).

問題6：（深度加工——回顧小結(jié)）回顧今天的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為數(shù)學(xué)對象性質(zhì)的探究過程包含哪幾個環(huán)節(jié)？等腰三角形性質(zhì)的證明方法又是如何想到的？

問題6的小結(jié)重視對數(shù)學(xué)對象性質(zhì)探究的基本過程及方法的回顧，這將為今后的學(xué)習(xí)提供思維導(dǎo)向路線.

3.評價階段的問題鏈反思與評價

評價階段是學(xué)習(xí)活動結(jié)果的總結(jié)階段，其目的是對學(xué)習(xí)活動及結(jié)果等進(jìn)行多元化的評價，總結(jié)經(jīng)驗、反思缺陷并根據(jù)反饋進(jìn)行改進(jìn).在本節(jié)的問題鏈中，由于分支問題設(shè)置得較為詳細(xì)，因此不免存在“教師主導(dǎo)過度”的問題，例如，問題4為了降低學(xué)生證明命題的難度，將翻譯命題、尋找證明方法等步驟逐一進(jìn)行提示.實際教學(xué)中則需要教師提出“如何證明該命題”的問題指向，然后適當(dāng)“留白”，放手讓學(xué)生獨(dú)立思考解答，接著根據(jù)學(xué)生反饋進(jìn)行有針對性的、詳略得當(dāng)?shù)乃悸芬龑?dǎo)，而不是“牽著”學(xué)生解題.課后，教師需要根據(jù)教學(xué)實踐中學(xué)生的反應(yīng)，對該課的問題鏈設(shè)計作進(jìn)一步修改與調(diào)整，同時為今后相似類型的問題鏈設(shè)計提供依據(jù).另外，對于學(xué)生而言，沒有反饋則無法有效建構(gòu)復(fù)雜的認(rèn)知結(jié)構(gòu).因此，需要學(xué)生在課后站在更宏觀的角度思索、總結(jié)課堂中所研究的問題脈絡(luò)，從而達(dá)到對本節(jié)知識及數(shù)學(xué)思想方法更為深刻的理解與建構(gòu).

三、若干反思

毫無疑問，深度學(xué)習(xí)理論對教與學(xué)提出了更高的要求，在保留我國傳統(tǒng)課堂學(xué)習(xí)模式的前提下，不僅需要從宏觀層面上架構(gòu)可操作性的深度學(xué)習(xí)活動環(huán)節(jié)，凸顯具有數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)特征的“深度”；更需要對教學(xué)的目標(biāo)、內(nèi)容、操作程序、實現(xiàn)條件、評價等要素在微觀層面上作相應(yīng)的調(diào)整，思考如何在學(xué)習(xí)者、教學(xué)者雙主體的角色轉(zhuǎn)換間抓住并落實“深度”，體現(xiàn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)六大特征.

1.情景互動，提升學(xué)生的參與感

問題源于情境，情境是產(chǎn)生問題的沃土，因此數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)提倡打破傳統(tǒng)封閉課堂，創(chuàng)設(shè)有價值的、開放的數(shù)學(xué)情境，促進(jìn)學(xué)習(xí)個體萌發(fā)問題意識.例如，導(dǎo)入階段為知識的感知，設(shè)置情境性問題對新知學(xué)習(xí)進(jìn)行鋪墊.案例中房梁水平檢測問題引發(fā)學(xué)生疑問，在問題5中呼應(yīng)出現(xiàn)，旨在通過復(fù)雜、豐富、多變的情景訓(xùn)練和應(yīng)用技能，促進(jìn)學(xué)習(xí)個體將所學(xué)應(yīng)用到真實項目與實際問題中，實現(xiàn)對新知識的深度理解與內(nèi)化.另一方面，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)個體在情境中的互動交流，以期發(fā)展有效溝通、團(tuán)隊合作的能力.案例以折紙活動貫穿始終，給學(xué)生提供數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的工具，又提升學(xué)生的參與感.

2.由淺入深，促進(jìn)知識建構(gòu)

根據(jù)“教學(xué)聯(lián)結(jié)點”梳理的知識脈絡(luò)設(shè)計問題鏈分支時，往往注重把握學(xué)生認(rèn)知的前概念，立足于學(xué)生的認(rèn)知起點以實現(xiàn)問題設(shè)置的梯度性原則，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生有意義地進(jìn)行知識建構(gòu).例如，深度加工階段為了知識的領(lǐng)會、鞏固和應(yīng)用，需要利用辨析性問題、應(yīng)用性問題對知識信息進(jìn)行挖掘.問題4證明的難度較大，則根據(jù)課堂實際，有選擇地將問題鏈從證明條件、證明方法等逐次剖析，為學(xué)生搭建腳手架.在這一過程中，學(xué)生記憶網(wǎng)絡(luò)中的知識被激活，并向外擴(kuò)展，依次激活相應(yīng)的知識，從而促進(jìn)其知識建構(gòu).

3.關(guān)注評價，實現(xiàn)終身主動

深度學(xué)習(xí)評價更強(qiáng)調(diào)評價的自主性、真實性、過程性和反饋性［8］.學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中能夠進(jìn)行自我監(jiān)控、自我評價，這意味著學(xué)習(xí)個體的學(xué)習(xí)熱情、意志力等方面也達(dá)到一定的深度.因此，教師可提供自我評價表、學(xué)習(xí)總結(jié)表、概念圖等具體的評價方式鼓勵學(xué)習(xí)者對自身的學(xué)習(xí)活動及結(jié)果進(jìn)行反思總結(jié)，及時發(fā)現(xiàn)不足之處，進(jìn)一步提升自身的思維發(fā)展和知識精加工.值得注意的是，中學(xué)生對自我的認(rèn)知存在一定偏差，需要結(jié)合教師所觀察到的學(xué)生外顯的課堂行為進(jìn)行綜合評價，從而助力學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和適合自己的學(xué)習(xí)策略，為終身主動的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

總之，深度學(xué)習(xí)已引起人們的廣泛關(guān)注，但在數(shù)學(xué)學(xué)科中的研究還比較少.本文以數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的特征為指導(dǎo)，以問題鏈為抓手開展數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的設(shè)計，試圖為數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的實施提供一些借鑒.當(dāng)然，這方面的研究還有待更多的理論與實踐探索.