黨永生

【摘要】解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)必須經(jīng)歷的一個過程.在這一過程中，通過對概念的梳理、推理論證、語言轉(zhuǎn)換、直觀感知、正確運(yùn)算、數(shù)據(jù)處理等，提升數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)[5].

【關(guān)鍵詞】解題;提升;素養(yǎng);途徑

數(shù)學(xué)解題是一個創(chuàng)造性活動，它通過層層深入來解決問題.解題能力表現(xiàn)于發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的敏銳、洞察力與整體把握.解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)必須經(jīng)歷的一個過程.在這一過程中，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[6].

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成的[2].數(shù)學(xué)課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主陣地，怎樣在解題教學(xué)中培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？本文通過解題案例，談?wù)勅绾卧诮忸}教學(xué)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例題 （2018年全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅱ理科第20題）如圖1所示，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：PO⊥平面ABC;

（Ⅱ）若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值[7].

一、在理清概念、觀察圖形中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng);直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)[3].

在解題教學(xué)中，厘清概念就是數(shù)學(xué)抽象的過程，觀察幾何圖形是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析問題和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路，進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)[4].

解法1 （Ⅰ）如圖2所示，連接BO，由PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=22，得

AB2+BC2=AC2，△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形.

又O為AC的中點(diǎn)，由OA=OB=OC=2，

可得△POA≌△POB.

在△PAC中，PA=PC，O為AC的中點(diǎn)，得PO⊥AC，又有PO⊥OB.

又AC平面ABC，OB平面ABC，AC∩OB=O，故PO⊥平面ABC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABC，可得平面PAC⊥平面ABC，如圖3所示，在平面ABC內(nèi)作MN⊥AC，垂足為F，則MN⊥平面PAC，在平面PAC內(nèi)作NF⊥AP，垂足為F，連接MF，則MF⊥AP.故∠MFN為二面角M-PA-C的平面角，即∠MFN=30°.

設(shè)MN=a，則NC=a，AN=4-a，在直角△AFN中，F(xiàn)N=32（4-a），在直角△MFN中，由a=32（4-a）tan30°，得a=43.

在△APC中，過N作NE∥PC，在△MFN中，過N作NG⊥FM，垂足為G，連接EG，在直角△GMN中，NG=32NM=233，因?yàn)镹E∥PC，所以NE=NA=4-a=83.

由PA⊥平面FMN，可得平面PAM⊥FMN，交線為PM，在平面FMN內(nèi)，由NG⊥FM，可得NG⊥平面PAM，則∠NEG為直線NE與平面PAM所成的角.設(shè)∠NEG=α，則sinα=NGNE=23383=34.

又NE∥PC，所以直線PC與平面PAM所成角的正弦值為34.

教學(xué)意圖 引導(dǎo)學(xué)生通過線線垂直、線面垂直、面面垂直、線面角、面面角等概念的溫習(xí)，以及對直觀圖形的觀察分析、空間想象，體會數(shù)學(xué)對象的抽象和數(shù)學(xué)圖形特征，建立形與數(shù)的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路，體驗(yàn)直觀而具體的感受，提高學(xué)生抽象概括能力、直觀想象能力.引導(dǎo)學(xué)生在概念應(yīng)用中，通過觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、歸納、直觀感知，強(qiáng)化借助幾何直觀想象理解問題的意識，準(zhǔn)確把握概念的結(jié)構(gòu)與基本要素，提高學(xué)生的抽象概括能力和幾何直觀能力，提升數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)[4].

二、在理性分析、公式運(yùn)用中提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng);數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)[3].

在解題教學(xué)中，通過對題目的理性分析，歸納、類比，或從特殊到一般，或從一般到特殊的邏輯推理，再合理運(yùn)用恰當(dāng)?shù)墓?，?gòu)建數(shù)學(xué)體系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性和規(guī)范性.

教學(xué)意圖 引導(dǎo)學(xué)生通過線面關(guān)系的分析，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過程，體會數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯推理的嚴(yán)密性和推理論證的合理性，感受數(shù)學(xué)抽象過程的作用.讓學(xué)生掌握和運(yùn)用線面角公式，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)公式的嚴(yán)謹(jǐn)性、普遍性和簡約性，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和解題能力，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

三、在語言表達(dá)、數(shù)量關(guān)系中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)[1]

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng);數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng)[3].

在解題教學(xué)中，往往需要通過收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建模型進(jìn)行分析推斷，然后運(yùn)用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)，獲得結(jié)論.

解法3 （Ⅰ）如圖6所示，連接BO，由AB=BC=22，AC=4，得AB2+BC2=AC2，△ABC是以B為直角的等腰直角三角形.又PO=23，BO=AC=2，PB=4，所以PO⊥BO，又PO⊥AC，AC∩BO=O，所以PO⊥平面ABC.

教學(xué)意圖 引導(dǎo)學(xué)生在準(zhǔn)確的語言表達(dá)、規(guī)范書寫、推理論證過程中，展現(xiàn)知識發(fā)生、發(fā)展動態(tài)過程，發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題.通過對數(shù)據(jù)的分析處理，發(fā)現(xiàn)AB2+BC2=AC2，PO2+BO2=PB2，由線線垂直得到線面垂直.讓學(xué)生用文字語言、圖形語言、符號語言描述和表達(dá)，實(shí)現(xiàn)文字語言、圖形語言、符號語言之間的相互轉(zhuǎn)換，在發(fā)現(xiàn)和提出問題、有邏輯地表達(dá)和交流過程中，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)[4].

問題驅(qū)動是數(shù)學(xué)教學(xué)的一條基本原則，本例緊緊圍繞線面垂直、線面角、二面角等問題，通過層層遞進(jìn)，一題多解，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn).數(shù)學(xué)學(xué)科的六大素養(yǎng)，既有相互獨(dú)立性，又有相互交融性，形成一個有機(jī)整體，是需要通過每一個數(shù)學(xué)教學(xué)活動去滲透和實(shí)現(xiàn)，需要我們積極主動去實(shí)踐和探索.

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]師軼.數(shù)學(xué)閱讀在培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的作用（上）[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2018（6）：9-15.

[3]孔凡哲.關(guān)于《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的理解分析[J].福建基礎(chǔ)教育，2018（4）：8-12.

[4]陳未，向憲貴.踐行核心素養(yǎng) 變革數(shù)學(xué)教學(xué)[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（10）：4-5+19.

[5]普通高中9大核心素養(yǎng)一覽表[Z].

[6]羅增儒.核心素養(yǎng)與課堂研修[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（8）：14-20.

[7]孟囿弟，龔敏.2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ第20題研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（1）：62-64.