朱立明

一、高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力研究的背景

（一）國(guó)際教育發(fā)展趨勢(shì)的指引

為增強(qiáng)全球化進(jìn)程中的綜合競(jìng)爭(zhēng)力，各國(guó)紛紛調(diào)整教育政策，將教育目標(biāo)聚焦人的關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，并視之為教育變革的根本指向，關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)的提出，是對(duì)人才質(zhì)量與規(guī)格的新要求，旨在推進(jìn)教育深度發(fā)展，進(jìn)而迎接21世紀(jì)的挑戰(zhàn)。從國(guó)際教育發(fā)展趨勢(shì)來(lái)看，關(guān)鍵能力既是課程目標(biāo)取向，也是一種育人理念，是信息時(shí)代國(guó)際教育發(fā)展的重要方向。無(wú)論是國(guó)際經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（Organization for Economic Cooperation and Development，簡(jiǎn)稱OECD）、歐盟，還是美國(guó)教育，都將培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力與實(shí)踐能力作為教育的首要任務(wù)。例如，美國(guó)著重聚焦四個(gè)“超級(jí)核心素養(yǎng)”（4Cs）：創(chuàng)新能力、批判性思維、合作能力、交流能力。

（二）我國(guó)深化課程改革的訴求

2014年，教育部發(fā)布的《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》提出，要“研究制訂學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”，“明確學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”，“各級(jí)各類學(xué)校要從實(shí)際情況和學(xué)生特點(diǎn)出發(fā)，把核心素養(yǎng)和學(xué)業(yè)質(zhì)量要求落實(shí)到各學(xué)科教學(xué)中”。2017年，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于深化教育體制機(jī)制改革的意見(jiàn)》提出要注重培養(yǎng)支撐終身發(fā)展、適應(yīng)時(shí)代要求的關(guān)鍵能力。在培養(yǎng)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的過(guò)程中，強(qiáng)化學(xué)生關(guān)鍵能力培養(yǎng)，重點(diǎn)培養(yǎng)認(rèn)知能力、合作能力、創(chuàng)新能力、職業(yè)能力，也是我國(guó)深化課程改革的新訴求。

（三）高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的落實(shí)

2018年根據(jù)我國(guó)對(duì)核心素養(yǎng)的研究，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指學(xué)生應(yīng)具備的、適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備數(shù)學(xué)品格和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，具有內(nèi)隱性與外顯性，其內(nèi)隱性表現(xiàn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、情感、態(tài)度與價(jià)值觀，而外顯性表現(xiàn)為學(xué)生的關(guān)鍵能力。［1］數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是關(guān)鍵能力在數(shù)學(xué)學(xué)科上的投射，旨在借助數(shù)學(xué)學(xué)科特性來(lái)提升學(xué)生的關(guān)鍵能力，這與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）的修訂是密不可分的。

二、高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力研究的追溯

（一）數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的內(nèi)涵研究

關(guān)于數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力內(nèi)涵的研究，不同的學(xué)者研究取向各有不同，涉及數(shù)學(xué)、心理學(xué)與教育學(xué)等學(xué)科范疇，主要包含心理取向、技能取向與經(jīng)驗(yàn)取向。心理取向的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力內(nèi)涵來(lái)自心理學(xué)中對(duì)能力的界定，國(guó)內(nèi)大多學(xué)者基于蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯切茨基（Kruteskil）對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)能力的研究，從心理學(xué)視角出發(fā)，認(rèn)為數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力也就是順利完成數(shù)學(xué)活動(dòng)所必需且直接影響其活動(dòng)效率的一種心理特征［2］，并認(rèn)為數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力離不開(kāi)數(shù)學(xué)教學(xué)，是在整個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中形成和發(fā)展起來(lái)的。技能取向的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力內(nèi)涵的界定不再認(rèn)為數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是學(xué)生心理活動(dòng)傾向，而是一種外在的行為表現(xiàn)，這與心理學(xué)取向的內(nèi)涵恰好相反，認(rèn)為數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是學(xué)生擁有或者學(xué)到的、能夠解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的技能與技巧，并在變化情境中成功并負(fù)責(zé)地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的相關(guān)能力。［3］經(jīng)驗(yàn)取向的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力內(nèi)涵強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，將數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力界定為在不同的數(shù)學(xué)情境中，獲得理解、判斷與使用數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)［4］，借助數(shù)學(xué)眼光感受并認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得超越數(shù)學(xué)的方法與能力，這些方法和能力可以用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。這三種內(nèi)涵各具特色，心理學(xué)取向?qū)?shù)學(xué)關(guān)鍵能力視為能力的下位概念，強(qiáng)調(diào)其內(nèi)隱性與宏觀性；技能取向?qū)?shù)學(xué)關(guān)鍵能力視為學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的技術(shù)，強(qiáng)調(diào)其外顯性；經(jīng)驗(yàn)取向?qū)?shù)學(xué)關(guān)鍵能力視為學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)其生成性。

（二）數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的要素研究

從國(guó)家層面來(lái)講，強(qiáng)化數(shù)學(xué)能力是世界各國(guó)數(shù)學(xué)課程改革的共同趨勢(shì)，因此，在各國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，提出其構(gòu)成要素的劃分。長(zhǎng)期以來(lái)，我國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)注數(shù)學(xué)三大能力，即計(jì)算能力、邏輯推理能力與空間想象能力。［5］（P434）德國(guó)借鑒 PISA 對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測(cè)評(píng)框架，構(gòu)建數(shù)學(xué)論證、數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)表征的應(yīng)用、數(shù)學(xué)符號(hào)、公式以及技巧的熟練掌握和數(shù)學(xué)交流六大數(shù)學(xué)能力。［6］2000年，《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》（Principles and Standards for School Mathematics）中提出數(shù)學(xué)交流、問(wèn)題解決、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)聯(lián)系、數(shù)學(xué)表征五大數(shù)學(xué)能力。［7］（P55-68）2010年，《美國(guó)共同核心州數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》（Common Core State Standards for Mathematics，簡(jiǎn)稱CCSSM）中將其擴(kuò)充為八大數(shù)學(xué)能力，即理解并解決問(wèn)題、推理、論證并評(píng)價(jià)他人推理、數(shù)學(xué)建模、使用合適的工具、精確化、探求并利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以及探求規(guī)律。［8］澳大利亞與其他國(guó)家不同，并非直接提出數(shù)學(xué)能力，而是結(jié)合數(shù)學(xué)、科學(xué)、英語(yǔ)等學(xué)科共同提出七大能力，然后再?gòu)臄?shù)學(xué)學(xué)科對(duì)其進(jìn)行闡釋。［9］

從個(gè)人層面來(lái)看，各國(guó)學(xué)者也在探討數(shù)學(xué)能力的構(gòu)成?？唆斍写幕臄?shù)學(xué)能力構(gòu)成對(duì)學(xué)者們的影響較大，尼斯提出“數(shù)學(xué)能力之花”模型，具體包含數(shù)學(xué)思維、提出并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)符號(hào)化與形式化、數(shù)學(xué)交流、工具的使用等數(shù)學(xué)能力［10］，孫以澤將數(shù)學(xué)能力分為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力、數(shù)學(xué)核心能力、綜合性數(shù)學(xué)能力三大類，其中包含9個(gè)數(shù)學(xué)能力［11］，喻平也將數(shù)學(xué)能力分為三類，包含自我監(jiān)控能力、數(shù)學(xué)閱讀能力在內(nèi)的 11 種數(shù)學(xué)能力［12］（P296-303），與孫以澤不同的是，在數(shù)學(xué)能力中添加了數(shù)學(xué)元能力，這與塞克瑞等在數(shù)學(xué)能力加入數(shù)學(xué)元認(rèn)知、數(shù)學(xué)記憶等成分是一致的。也有其他學(xué)者基于課堂教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)能力進(jìn)行概括，例如，曹一鳴等認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力包含學(xué)習(xí)能力、應(yīng)用能力、創(chuàng)新能力。［13］無(wú)論是各國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，還是學(xué)者們的相關(guān)研究，觀其構(gòu)成要素，基本上均含有數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)交流、問(wèn)題解決等關(guān)鍵詞，研究者與數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)呈現(xiàn)一致性，但是缺少對(duì)其進(jìn)一步詳細(xì)說(shuō)明。

（三）數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的評(píng)價(jià)研究

國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（Program for International Student Assessment，簡(jiǎn)稱PISA）引起了世界各國(guó)教育評(píng)價(jià)者的注意，PISA測(cè)評(píng)構(gòu)建了內(nèi)容、過(guò)程與情境三維一體的測(cè)評(píng)目標(biāo)結(jié)構(gòu)，包含了知識(shí)、能力、情境三個(gè)測(cè)評(píng)維度。［14］曹一鳴等從學(xué)習(xí)理解、實(shí)踐應(yīng)用、創(chuàng)造遷移三個(gè)維度，九個(gè)子維度構(gòu)建了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科能力測(cè)試框架，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)評(píng)，研究發(fā)現(xiàn)學(xué)生總體數(shù)學(xué)能力表現(xiàn)呈遞增趨勢(shì)，但基礎(chǔ)能力在高年級(jí)出現(xiàn)下滑，不同類別的學(xué)校之間存在顯著差異。［15］田金婷等基于高考數(shù)據(jù)，從性別視角對(duì)高中生數(shù)學(xué)能力進(jìn)行測(cè)評(píng)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)男生整體數(shù)學(xué)能力強(qiáng)于女生，但是在數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)上，女生得分明顯高于男生。［16］除此之外，還有一些學(xué)者關(guān)注某一個(gè)數(shù)學(xué)能力的測(cè)評(píng)，例如，杜宵豐等從了解、理解、掌握、運(yùn)用四個(gè)層次，對(duì)八年級(jí)學(xué)生圖形與幾何進(jìn)行測(cè)評(píng)。［17］張晉宇等對(duì)數(shù)學(xué)表征與變換能力測(cè)評(píng)指標(biāo)進(jìn)行綜述，得出再現(xiàn)水平、聯(lián)系水平、反思水平三個(gè)測(cè)量水平，并對(duì)其具體行為進(jìn)行描述。［18］關(guān)于對(duì)數(shù)學(xué)能力的評(píng)價(jià)，大多數(shù)學(xué)者的研究受PISA影響較大，測(cè)評(píng)框架本土化改造還比較缺乏。

（四）數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)研究

關(guān)于數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)的研究中針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的較多，針對(duì)高中的較少，黃翔等基于“新課標(biāo)”首次明確提出從課程內(nèi)容設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、問(wèn)題解決過(guò)程、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)等方面落實(shí)數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的培養(yǎng)［19］，史亞娟等提出數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的建議，包含全面、準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)，充分發(fā)揮模式能力的橋梁作用；精確加工與模糊加工相結(jié)合；形式化與非形式化相結(jié)合。［20］朱菊花從語(yǔ)言理解、邏輯推理、問(wèn)題解決三個(gè)方面例談數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)［21］，劉靜祎從教學(xué)實(shí)踐的視角提出豐富教學(xué)手段，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；引進(jìn)開(kāi)放型問(wèn)題，引導(dǎo)多種解答；貼合現(xiàn)實(shí)，重視實(shí)踐操作。［22］李穎等通過(guò)中德兩國(guó)高中階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的比較，提出應(yīng)注重在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的批判思維。［23］不同數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，所采用的策略也應(yīng)該與之對(duì)應(yīng)，而關(guān)于數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)策略的研究大體可以分為兩類，一類是從宏觀角度進(jìn)行提煉的，大多策略都是籠統(tǒng)概述，缺少一定的針對(duì)性，致使一些教學(xué)策略在提煉上“束之高閣”，難以落實(shí)到課堂教學(xué)之中：在闡述上“隔靴搔癢”，缺少一定的操作性。另一類雖然基于具體的數(shù)學(xué)能力，但是在闡述過(guò)程中更像是經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，缺少理論提升。

三、高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力研究的展望

（一）厘清高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的概念關(guān)系

關(guān)于數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的構(gòu)成要素一直是學(xué)術(shù)界爭(zhēng)論的焦點(diǎn)，到底哪些能力可以成為高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力范疇，是需要進(jìn)一步探究的話題，這直接影響數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力操作性定義的界定及其與相關(guān)概念之間的邏輯關(guān)系。目前數(shù)學(xué)教育界對(duì)于數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的概念關(guān)系還沒(méi)有統(tǒng)一的闡述，存在邏輯不清、要素混亂的現(xiàn)象，因此，需要進(jìn)一步厘清數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、深度學(xué)習(xí)等概念之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的二元對(duì)立關(guān)系由來(lái)已久，隨著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提及，逐漸將兩者融合，這種對(duì)立關(guān)系也即將削弱，下面又會(huì)呈現(xiàn)何種關(guān)系，需要探究。還有與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之間是上位與下位的從屬關(guān)系？還是兩個(gè)獨(dú)立個(gè)體的并列關(guān)系，需要明確。再有與深度學(xué)習(xí)的關(guān)系，有的學(xué)者也提及深度學(xué)習(xí)可以促進(jìn)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，這二者之間的銜接點(diǎn)在哪里，需要深思。

（二）探究高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的生成機(jī)制

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，無(wú)論是數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得還是技能的獲取，越具體、越詳細(xì)，就越有利于在教學(xué)中實(shí)施，然而數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力具有心理傾向，并非全部是外顯的，同時(shí)不同的數(shù)學(xué)能力其生成機(jī)制又各不相同，而數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的提升具有延時(shí)性與周期性，并非像知識(shí)那樣可以立竿見(jiàn)影。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的生成并不是各個(gè)數(shù)學(xué)能力的簡(jiǎn)單疊加，而是各種能力相互作用、有機(jī)融合的結(jié)果，當(dāng)學(xué)生面臨數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力會(huì)在各個(gè)水平、各個(gè)要素和各個(gè)內(nèi)容的“交集”處生成，其發(fā)展是一個(gè)螺旋上升的過(guò)程。因此，高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的生成機(jī)制比較復(fù)雜，目前，對(duì)于其缺乏系統(tǒng)研究，急需探究各個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的生成機(jī)制，這是指導(dǎo)高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力形成的內(nèi)在基礎(chǔ)，系統(tǒng)地研究數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的生成機(jī)制還有助于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的特征與凝練相應(yīng)的培養(yǎng)策略。

（三）編制高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的測(cè)評(píng)體系

PISA測(cè)評(píng)體系在維度凝練、指標(biāo)構(gòu)建、題項(xiàng)選取上對(duì)于我們研究高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力都具有重要的參考價(jià)值，但又不能完全照搬，因?yàn)镻ISA測(cè)評(píng)是基于素養(yǎng)觀的，傾向于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測(cè)評(píng)。我國(guó)數(shù)學(xué)教育忽視對(duì)數(shù)學(xué)能力的判斷，注重對(duì)外在行為的監(jiān)測(cè)，忽視對(duì)內(nèi)心傾向的透視，很難對(duì)高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力層面進(jìn)行科學(xué)、合理的測(cè)評(píng)，難以保證測(cè)評(píng)結(jié)果之合理性與客觀性，即使有些測(cè)量已經(jīng)開(kāi)始關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力測(cè)評(píng)框架的構(gòu)建，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中也具有一定的困難。因此，整體數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力測(cè)評(píng)體系亟待構(gòu)建，這直接影響測(cè)試題目的選擇與設(shè)計(jì)，盡管出現(xiàn)了一些開(kāi)放性、探究性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但這些題型能夠測(cè)量學(xué)生哪些數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力還缺乏系統(tǒng)的實(shí)證研究。除此之外，在測(cè)評(píng)體系構(gòu)建時(shí)，只有注意與“新課標(biāo)”的一致性，才能找到學(xué)生實(shí)然水平與目標(biāo)之間的差距，以此為切入點(diǎn)，有針對(duì)性地分析其影響因素，形成培養(yǎng)策略，確保培養(yǎng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的教學(xué)的開(kāi)展。

（四）探索高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)策略

目前，關(guān)于高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)策略的研究出現(xiàn)理論與實(shí)踐相隔離的現(xiàn)象，缺少相互融合的探索，對(duì)于影響數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的教學(xué)因素尚未進(jìn)行深度分析，這導(dǎo)致培養(yǎng)策略針對(duì)性與可操作性缺失，難以在數(shù)學(xué)教學(xué)之中加以運(yùn)用。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的提出不能僅僅停留在文本層面，一方面，需要其能夠在課程與教學(xué)之中落地，在數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)策略研究過(guò)程中，需要關(guān)注數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)等方面，從課程理念、教學(xué)方法、學(xué)習(xí)內(nèi)容、課程評(píng)價(jià)等要素探索數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)途徑，并進(jìn)行相關(guān)的教學(xué)案例研究。另一方面，需要彰顯“自上而下”的理論引導(dǎo)與“自下而上”的實(shí)踐支撐，以保證理論與實(shí)踐相互融合。探索高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)策略是一項(xiàng)復(fù)雜而系統(tǒng)的研究，但這將有助于數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力在課堂上的落實(shí)，進(jìn)而推動(dòng)數(shù)學(xué)課程的變革。