程 玲

（上海市南洋模范中學(xué)，上海200030）

一、引言

作為一種對教育理想的最新詮釋，核心素養(yǎng)顯然已在基礎(chǔ)教育領(lǐng)域掀起波瀾。［1］國際學(xué)生評價(jià)項(xiàng)目PISA（Programme for International Student Assessment）倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并認(rèn)為：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是個(gè)體作為一個(gè)有創(chuàng)新精神、關(guān)心他人及具有反思性的公民所應(yīng)具有的數(shù)學(xué)能力，這種能力包括能夠理解數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中的作用；能運(yùn)用數(shù)學(xué)做出決策；能在個(gè)人生活和未來社會中使用和滲透數(shù)學(xué)。具體而言，高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。［2］

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的，而應(yīng)該在具體的課堂教學(xué)中循序漸進(jìn)地落實(shí)。學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高也不是空泛的，要落實(shí)到具體的數(shù)學(xué)教學(xué)過程之中，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中。在不同領(lǐng)域不同內(nèi)容的教學(xué)中，教師在關(guān)注具體知識技能的同時(shí)，更應(yīng)當(dāng)關(guān)注這些知識技能中所蘊(yùn)含的、所需要的以及可以培養(yǎng)的核心素養(yǎng)。因而本研究依托具體的高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，探究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在“斜率乘積為定值”這一課題中的彰顯與落實(shí)，為在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供建議。

二、“斜率乘積為定值”教學(xué)內(nèi)容簡介

為探究高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中的體現(xiàn)，研究選取了“斜率乘積為定值”這一高中階段的重要知識點(diǎn)，主要的教學(xué)內(nèi)容及安排如下：

1.復(fù)習(xí)引入：搭建新舊知識的橋梁

以下述問題1引入本節(jié)課的新內(nèi)容。問題1是學(xué)生曾學(xué)習(xí)過的高二課本中的一道習(xí)題，學(xué)生相對熟悉。

問題1：

設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（－5，0），（5，0），直線AP、BP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為則點(diǎn)P的軌跡方程為：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

動點(diǎn)的軌跡問題相關(guān)解法學(xué)生已經(jīng)熟悉。問題1立足于學(xué)生熟悉的知識和解題方法，正向求解，告訴學(xué)生斜率乘積為定值，讓學(xué)生求解點(diǎn)的軌跡。

2.探究思考：斜率乘積為定值問題串

美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家G·波利亞說過：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個(gè)?！北竟?jié)課的設(shè)計(jì)遵從這一精神原則與要旨，設(shè)計(jì)了三個(gè)探究問題，形成問題串，促進(jìn)學(xué)生積極思維，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

探究一：

探究一由教師給予一定的引導(dǎo)，通過不斷提問，促進(jìn)學(xué)生的思維生成，并且鼓勵(lì)不同學(xué)生的不同解法，鼓勵(lì)一題多解，并最終引出學(xué)生的四種不同解法。這一過程中全班學(xué)生都得到較高強(qiáng)度的參與，教學(xué)效果較好。故而，進(jìn)一步提出探究二。

圖1

探究二：

探究二是對問題1和探究一的條件和結(jié)論再次進(jìn)行轉(zhuǎn)化，教學(xué)過程中教師鼓勵(lì)學(xué)生動手操作，學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的方法，可以通過猜想獲得結(jié)論，進(jìn)一步在運(yùn)算和思維演練的基礎(chǔ)之上，進(jìn)行抽象思維，構(gòu)建數(shù)學(xué)圖形，鞏固猜想，獲得結(jié)論，生成知識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象以及數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)在這一課題中的培養(yǎng)與落實(shí)。且探究二為探究三做好鋪墊：如果斜率之積不為而為其他數(shù)值時(shí)是否也過定點(diǎn)呢？如果過定點(diǎn)，定點(diǎn)是哪個(gè)點(diǎn)，并以斜率乘積等于－1為例，引申出探究三。

探究三：

教師的教學(xué)設(shè)計(jì)充分建立在學(xué)生的思維邏輯之上，具有一定的條理，利于學(xué)生知識的自然生長和習(xí)得。探究三的解題過程，由教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探討，并在斜率乘積為定值的題目背景下，總結(jié)出定點(diǎn)問題的解題策略。探究三是對探究二的進(jìn)一步改變：改變斜率之積，從特殊值變換成其他值。且探究三先取普通數(shù)值－1，為探究四引出任意特殊值做鋪墊。

上述教學(xué)的安排顯示了由表及里抓本質(zhì)、抽象概念再創(chuàng)新的設(shè)計(jì)意圖，其條理和邏輯意在深化和完善概念解析，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)，提高學(xué)生的抽象思維能力。

3.鞏固深化：從特殊到一般的理論升華

探究四是對上述三個(gè)探究活動的總結(jié)和升華，具體如下所示：

探究四：

根據(jù)以上的結(jié)論，你能歸納出一般的結(jié)論嗎？你有更一般化的猜想嗎？

對于探究四，學(xué)生往往在給出怎樣形式和結(jié)構(gòu)的猜想方面存在困難，因而教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)：

根據(jù)以上的結(jié)論，你認(rèn)為當(dāng)kPAkPB＝λ時(shí)，直線AB是否過定點(diǎn)？

能否類比到雙曲線和拋物線呢？

探究四的教學(xué)過程，首先教師給予學(xué)生充分的時(shí)間讓學(xué)生放開思維，展開想象；進(jìn)而，教師通過幾何畫板演示，幫助學(xué)生獲得并鞏固結(jié)論。這一設(shè)計(jì)的意圖在于：一是把斜率之積推廣到任意實(shí)數(shù)，探究是否過定點(diǎn)；二是把曲線從橢圓推廣到雙曲線和拋物線，探究結(jié)論是否依然成立。

對于探究四也可以進(jìn)一步拓展與深化：

如果斜率之和是定值，差為定值或商為定值，分別能得到什么結(jié)論？

4.小結(jié)內(nèi)化：課堂總結(jié)與新的問題提出

在課堂總結(jié)部分，教師請學(xué)生來總結(jié)本節(jié)課收獲和所得，重新概括求解斜率乘積為定值問題的一般方法與步驟。在課堂總結(jié)的基礎(chǔ)之上，教師進(jìn)一步提出問題2，留作學(xué)生的課后思考，輔助其形成新的知識生長點(diǎn)，在新的最近發(fā)展區(qū)收獲更多。

問題2：

過拋物線y2＝2px（p＞0）上一定點(diǎn)P（x0，y0）的兩條直線PA，PB分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)且kPA＋kPB＝0，那么直線AB的斜率是否為定值？說明理由。

縱觀整個(gè)課堂的教學(xué)設(shè)計(jì)與安排，教學(xué)上各個(gè)環(huán)節(jié)相互銜接、渾然一體，形成了一節(jié)完整而系統(tǒng)的課。充分著眼于學(xué)生思維的發(fā)展，符合其認(rèn)知規(guī)律，能夠有條理、有邏輯地組織教學(xué)，輔助學(xué)生的高效學(xué)習(xí)。整個(gè)教學(xué)的安排有利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

三、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中的滲透

高中階段學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有賴于其在義務(wù)教育階段的積累，也離不開高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐的培養(yǎng)?！靶甭食朔e為定值”這一問題充分契合培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的時(shí)代需求，并適宜在課堂教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要表現(xiàn)在如下幾方面：

1.體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的課堂滲透

學(xué)生在數(shù)學(xué)建模思想引領(lǐng)下學(xué)習(xí)，可以形成良好的問題意識和創(chuàng)新理念，鍛煉邏輯思維能力，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)積極性，促進(jìn)主動學(xué)習(xí)、深入思考，同時(shí)也有利于團(tuán)隊(duì)合作精神的形成。教師在數(shù)學(xué)建模思想引領(lǐng)下教學(xué)，可以促進(jìn)教師自身素養(yǎng)的提高，通過開發(fā)設(shè)計(jì)合適的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生關(guān)注生活實(shí)際，讓數(shù)學(xué)知識為現(xiàn)實(shí)生活服務(wù)。［3］

“斜率乘積為定值”這一問題需要學(xué)生熟練掌握已有知識，具備進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的基本能力，能夠依據(jù)題目信息創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，建立已有知識和新問題解決之間的橋梁，對問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和解決實(shí)際問題。

2.體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的課堂滲透

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)這一學(xué)科的典型特征，也是重要的核心素養(yǎng)之一。這一問題需要學(xué)生在已完成數(shù)學(xué)建模將問題“翻譯”成明確可解的數(shù)學(xué)問題、明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中的落實(shí)。

“小步向前（Small steps in teaching）”和“變式教學(xué)（Variations in exercise）”是廣受國內(nèi)外數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)教育專家認(rèn)可的中國課堂的特色［4］，變式練習(xí)是中國數(shù)學(xué)教育的一個(gè)創(chuàng)造。在問題1的基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)提出三個(gè)變式，改變的是題目條件，其背后的解題思想方法一致。這三個(gè)變式層層遞進(jìn)，分別是斜率之積為負(fù)數(shù)、為正數(shù)、為參數(shù)，通過變式練習(xí)，促進(jìn)學(xué)生更為扎實(shí)地掌握該部分內(nèi)容的求解方法，并在求解過程中落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，體會從特殊到一般的策略。

3.體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的課堂滲透

數(shù)學(xué)抽象是一個(gè)“剖開現(xiàn)象看本質(zhì)”的過程?！靶甭食朔e為定值”中的相關(guān)問題有時(shí)需要學(xué)生具備這一“看本質(zhì)”的能力，即數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)，舍去或解讀題目的一切非數(shù)學(xué)屬性，從中得到待解決問題的本質(zhì)，并進(jìn)行數(shù)學(xué)解題。

學(xué)生解法一：

在探究一中，學(xué)生給出了四種不同的解法，以學(xué)生解法一為例，該解法需要學(xué)生進(jìn)行抽象的數(shù)學(xué)思維以及大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中得以落實(shí)。由學(xué)生比較四種解法，并歸納總結(jié)出解決定值問題的一般步驟：設(shè)參數(shù)?用參數(shù)表示相關(guān)的量?恒等變形、消元?定值。四種解決方法體現(xiàn)了學(xué)生思維的多元。

探究一的設(shè)計(jì)意圖在于：和上述問題1的條件結(jié)論互換：已知P點(diǎn)的軌跡，AB關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，PA、PB斜率乘積是否為定值。學(xué)生剛剛解決了問題1，因而對于探究一的內(nèi)容呈現(xiàn)形式和結(jié)果均會較為熟悉。同時(shí)，探究一作為斜率乘積為定值這一課學(xué)習(xí)的第一個(gè)例題，旨在借助它幫助學(xué)生對與定值問題的解題策略進(jìn)行探究，并歸納整理這一類問題的解題步驟。

4.體現(xiàn)直觀想象核心素養(yǎng)的課堂滲透

直觀想象這一核心素養(yǎng)有利于學(xué)生建立思維與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)學(xué)科培養(yǎng)學(xué)生思維的重要方面。在問題1的求解過程中，幾何畫板對于這一問題和結(jié)果的直觀呈現(xiàn)具有很好的引領(lǐng)示范作用（如圖2），這一動態(tài)幾何軟件的使用能夠幫助學(xué)生更好地建立圖形圖像與其直觀思維之間的關(guān)聯(lián)，亦有利于直觀想象這一核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

5.體現(xiàn)邏輯推理核心素養(yǎng)的課堂滲透

邏輯推理是一種高階思維方式，需要學(xué)生從已有數(shù)學(xué)知識命題出發(fā)，推導(dǎo)出更深層次的知識或者發(fā)展新的數(shù)學(xué)命題。邏輯推理既是數(shù)學(xué)活動的核心之一，也是培養(yǎng)學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)乃至科學(xué)素養(yǎng)的重要途徑。

圖2 問題1軌跡方程的幾何畫板演示

本課題亦力圖在課堂教學(xué)中滲透這一核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。例如：通過探究一、探究二與探究三的求解與證明過程可以發(fā)現(xiàn)大部分的運(yùn)算過程利用學(xué)生熟悉的“韋達(dá)定理，設(shè)而不求”實(shí)現(xiàn)計(jì)算的化簡，最后將參變量進(jìn)行相應(yīng)的變化。這是斜率乘積為定值這一類問題常見的解題思路。而這一解題思路充分利用了學(xué)生的邏輯推理能力，并在已有能力基礎(chǔ)上不斷開發(fā)最近發(fā)展區(qū)，形成更深的邏輯推理能力，以推理和“設(shè)而不求”等方式完成問題解決。

四、啟示與反思

圓錐曲線中的定值問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)，在教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)了許多圓錐曲線中過定點(diǎn)或?yàn)槎ㄖ祮栴}。作為高三復(fù)習(xí)課，講清楚這類問題不難，教師只要講清這類問題的原理為等式恒成立，方法為待定系數(shù)法即可。可是這類問題內(nèi)容頗多，筆者試圖從一個(gè)課本問題出發(fā)，著重對“斜率之積為定值”問題進(jìn)行展開探究，形成了以下四點(diǎn)感受：

其一，課堂教學(xué)中應(yīng)積極落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本節(jié)課的教學(xué)過程中充分鼓勵(lì)學(xué)生的主動參與和親身體驗(yàn)。學(xué)生需要一定的邏輯推理素養(yǎng)以充分地理解題目，并在理解的基礎(chǔ)之上形成解題思路，促進(jìn)解題步驟的建構(gòu)；學(xué)生通過理解題目，尤其是類似于探究四這樣的提問方式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)，將文字的表達(dá)以數(shù)學(xué)符號這一更為學(xué)生熟悉的形式呈現(xiàn)，輔助其數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)解題；斜率乘積為定值問題的學(xué)習(xí)過程中，對于學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的需求較大，即調(diào)用學(xué)生已有的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，又在計(jì)算過程中提升這一素養(yǎng)。

其二，把握小切口，追求新視角。本節(jié)課試圖圍繞“斜率之積為定值”問題進(jìn)行探究。引入問題是高二課本上的一道例題，進(jìn)而不斷設(shè)計(jì)新的變式或探究，引導(dǎo)學(xué)生不斷深入，層層遞進(jìn)，不斷變換。通過變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生從舊問題中挖掘新問題，推陳出新，對課本知識和素材靈活分析，變“練”題為“用”題，通過變式訓(xùn)練，可以夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)，提高能力，特別是培養(yǎng)他們的發(fā)散能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力。

其三，借助多媒體，實(shí)現(xiàn)新飛躍。定點(diǎn)問題一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)教師重點(diǎn)復(fù)習(xí)的知識，但是在實(shí)際的考試中，學(xué)生的得分率比較低。究其原因，主要在于學(xué)生不理解定點(diǎn)產(chǎn)生的原因和過程。本節(jié)課中筆者采用了多媒體的手段，讓學(xué)生對定點(diǎn)的產(chǎn)生有了直觀的感受，從而體會定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題的可行性，加深了對定點(diǎn)問題的研究。適時(shí)合理地采用多媒體手段，能夠增加學(xué)生的感性認(rèn)識，實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識向理性認(rèn)識的轉(zhuǎn)變。

其四，教學(xué)過程的不足。本課在教學(xué)上應(yīng)該是各個(gè)環(huán)節(jié)相互銜接，能夠形成一節(jié)完整而系統(tǒng)的課，本節(jié)課的教學(xué)過程分為復(fù)習(xí)引入，變式訓(xùn)練，探究學(xué)習(xí)，課堂小結(jié)，布置作業(yè)。但在教學(xué)過程中，筆者認(rèn)為還有很多的不足。例如：學(xué)生比較緊張或生疏，設(shè)參時(shí)不夠準(zhǔn)確，致使有些題目的過程是教師單方面呈現(xiàn)出來；課堂容量較大，解析幾何計(jì)算過程也比較繁瑣，授課過程中有點(diǎn)趕時(shí)間，方法總結(jié)上有點(diǎn)倉促；可以加強(qiáng)與學(xué)生的互動，從而更好地理解學(xué)生的想法，幫助其解決學(xué)習(xí)中的困難。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是一個(gè)復(fù)雜的動態(tài)過程。上好復(fù)習(xí)課不僅可以鞏固、深化所學(xué)知識，發(fā)現(xiàn)、解決教學(xué)疑難，改進(jìn)、提升數(shù)學(xué)教學(xué)效率，而且可以促使學(xué)生不斷總結(jié)吸收前面各階段學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)。要想使復(fù)習(xí)課真正有效，教師一定要認(rèn)真?zhèn)湔n、精心設(shè)計(jì)，并在課后充分反思?？傊?，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也不是一個(gè)束之高閣的問題，完全可以通過精心設(shè)計(jì)的教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂中予以落實(shí)。