武漢市鋼都中學 梅柳紅

隨著新課程的實施，教材中數(shù)學史的內(nèi)容所占比例大幅增加，但從教學實際來看，數(shù)學史受重視的程度并未發(fā)生太大的改變，挖掘高考中的數(shù)學史因素，并有效應用于教學，是將數(shù)學史和高中數(shù)學教學結(jié)合的有效途徑。下面我們一起來欣賞近年來高考卷中的數(shù)學史，借以說明數(shù)學史的人才選拔功能。

例1.（2006年湖北卷第15題）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分數(shù)，就得到一個如圖所示的分數(shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形。從萊布尼茨三角形可看出：，其中x=___

例2.（2007年高考湖南卷理科15題）將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0-1三角數(shù)表.從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行的數(shù)都為1的是第___行；第61行中1的個數(shù)是 .

答案：2n-1，32

數(shù)學史背景鏈接：楊輝三角。

“楊輝三角”，也稱“賈憲三角”，在西方文獻中則成為“帕斯卡三角”。賈憲是北宋人，約公元1050年完成一部叫《黃帝九章算術(shù)細草》的著作，原書丟失，但其主要內(nèi)容被南宋數(shù)學家楊輝著《詳解九章算法》（1261）摘錄，因能傳世?！皸钶x三角”，它實際上是一張二項系數(shù)表，與我們現(xiàn)在的學習聯(lián)系最緊密的是二項式展開式的系數(shù)規(guī)律。楊輝三角最本質(zhì)的特征是：它的兩條斜線數(shù)字都是1，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個數(shù)之和。宋元時期是中國古代數(shù)學發(fā)展的高峰時期，也是中國數(shù)學史上名家輩出、成果迭起的重要時期，“楊輝三角”的發(fā)現(xiàn)就是其中精彩的一頁，在競賽中也常常會用到，最簡單的就是叫你找規(guī)律。

例3.（2007年湖北卷第21題）已知m,n為正整數(shù).

(Ⅰ)用數(shù)學歸納法證明：當x＞-1時，(1+x)m≥1+mx；

解答：（Ⅰ）證：用數(shù)學歸納法證明：

（ⅰ）當 m =1時，原不等式成立；

∵ x2≥0，∴左邊≥右邊，原不等式成立；

綜合（?。?，（ⅱ）知，對一切正整數(shù)m，不等式都成立。

即當 n ≥ 6 時，不存在滿足該等式的正整數(shù)n

故只需討論n=1，2，3，4，5的情形，

當n=1時，3≠4，等式不成立；

當n=2時，32+42=52，等式成立；

當n=3時，33+43+53=63，等式成立；

當n=4時，34+44+54+64為偶數(shù)，而74為奇數(shù)，

故34+44+54+64≠74，等式不成立；

當n=5時，同n=4的情形可分析出，等式不成立；

綜上，所求的n只有n=2，3.

數(shù)學史背景鏈接：伯努利不等式，埃斯柯特（Escott）猜想。

第(Ⅰ)問所要證明的不等式實際上是伯努利（Bernoulli）不等式的一個變式，伯努利不等式的一般形式為：

設x＞-1，則當0＜α ＜1時，有(1+ x )α≤1+ α x ，而當α ＜0或α ＞1時，有(1+ x )α≥1+ α x，當且僅當 x = 0 時取等號。

第（Ⅲ）問是數(shù)論中典型的不定方程問題，它源于埃斯柯特（Escott）猜想，而埃斯柯特是基于波文（Bowen）猜想：方程沒 有非平凡解 (平凡解指,即1+2=3)。而Escott猜想是柯召等人進行研究的，它比Bowen猜想更具有一般性：當n＞1時，關于n，h，x的方程的正整數(shù)解只有（n，h，x）=（2，1，3），（3，2，3）。.對于第（Ⅲ）問，只是Escott猜想的一個特殊情況，即令，僅求n。

與此如出一轍的還有商高定理（即勾股定理）的推廣：

一般而言，證明：

商高定理在中國有悠久的歷史，可以上溯到大禹治水時代（公元前21世紀）或周公時代（公元前11世紀）。普遍定理至晚到陳子時代（公元前6、7世紀）已經(jīng)明確認識并廣泛應用。而后人對前人的成果予以加工，得到的結(jié)構(gòu)也是妙不可言。

例4.（2008年湖北卷第15題）觀察下列等式：

數(shù)學史背景鏈接：垛積術(shù)。

南宋的楊輝在《詳解九章算法》中明確提出了一些高階等差數(shù)列的求和公式，朱世杰在這方面獲得系統(tǒng)和普遍結(jié)果。朱世杰在《四元玉鑒》中給出了一系列所謂“三角垛”公式：

……

這樣，朱世杰相繼以前一個級數(shù)的和作為新級數(shù)的一般項，就得到了P階等差級數(shù)求和的一般公式：

從北宋到元代中葉，中國數(shù)學有了一套嚴整的系統(tǒng)和完備的算法，是中國古代數(shù)學的全盛時期，這時歐洲還處在中世紀，中國數(shù)學家光輝燦爛的成就遠遠走在世界的前列！

例5.（2009年湖北卷第10題）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)。比如：

他們研究過圖1中的1，3，6，10，……，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，……這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）

A.289 B.1024 C.1225 D.1378

把四個選項的數(shù)字，分別代入上述兩個通項公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1225.

例6.（2006年高考數(shù)學廣東卷第14題）在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個球，第2、3、4 堆最底層（第一層）分別按圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆 n層就放一個乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則 f (3) =_____， f (n) =______.

數(shù)學史背景鏈接：形數(shù)。

畢達哥拉斯很注意形與數(shù)的關系?！靶螖?shù)”（figurate number）就是形與數(shù)的結(jié)合物，如本題中的三角形數(shù)、正方形數(shù)。諸如此類的還有五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等。這一類數(shù)列現(xiàn)在可歸入高階等差數(shù)列的范圍。用同樣的方式可以定義所有的多邊形數(shù)。這一過程還可以推廣到三維空間去構(gòu)造多面體數(shù)?！靶螖?shù)”體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合。除此之外，畢達哥拉斯學派還給出了其他數(shù)形結(jié)合的例子，如畢達哥拉斯三元數(shù)組：（m為奇整數(shù)），它們分別表示一個直角三角形的兩條直角邊和斜邊，與勾股定理密切相關。關于數(shù)的研究，還有很多例子，反映了古代人的智慧，值得我們好好學習。

解答：由a6=1，得a5=2，a4=4，a3=1或8，a2=2或16，a1=4或5或32

數(shù)學史背景鏈接：角谷猜想

角谷猜想，在西方它常被稱為西拉古斯（Syracuse)猜想，因為據(jù)說這個問題首先是在美國的西拉古斯大學被研究的；而在東方，這個問題由將它帶到日本的日本數(shù)學家角谷靜夫的名字命名，被稱作角谷猜想。它的問題是：從1到n的任何一個自然數(shù), 只要對n反復進行下列兩種運算：如果n是偶數(shù), 就除以2 ；如果n是奇數(shù), 就乘以3加1，最后的結(jié)果總是1。今天在數(shù)學文獻里，大家就簡單地把它稱作“3x +1問題”。因為這是個形式上很簡單的問題，要理解這個問題所需要的知識不超過小學三年級的水平，所以每一個數(shù)學愛好者都可以來碰碰運氣，試試是不是能證明它。不乏天才和世界上第一流的數(shù)學家，他們都沒有成功。數(shù)論學家保爾?厄爾多斯(Paul Erdos) ：“數(shù)學還沒有準備好來回答這樣的問題?！?/p>

例8.（2009年高考數(shù)學湖北卷文科第9題）設,xR∈記不超過x的最大整數(shù)為[x],令{x}=-[x]，則

A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列

B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列

C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

數(shù)學史背景鏈接：黃金分割

例9.（2007年高考數(shù)學北京卷第13題）2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會，會標是我國以古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎設計的。弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）。如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cosθ的值等于______.

解答：由題意可知，大、小正方形邊長分別為5、 1.設直角三角形較短邊長為a，則

另外一方面，由勾三股四弦五，直接檢驗也可以快速解決問題。

數(shù)學史背景鏈接：勾股定理

勾股定理又叫商高定理，或稱畢達哥拉斯定理。在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等于兩條直角邊邊長平方之和。據(jù)考證，人類對這條定理的認識，少說也超過4000年！中國最早的一部數(shù)學著作——《周髀算經(jīng)》，就有這條定理的相關內(nèi)容。我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理這一重要的數(shù)學原理了。 在西方有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據(jù)說當他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀，故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。

勾股定理是幾何學中的明珠，它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有數(shù)學家、畫家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者，比如一位美國國家總統(tǒng)也給出過一種很經(jīng)典的方法。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法，這是其它任何定理無法比擬的。

在一般人看來，數(shù)學是一門枯燥無味的學科，因而很多人視其為畏途。從某種程度上說，如果在數(shù)學教學中滲透數(shù)學史內(nèi)容而讓數(shù)學活起來，這樣便可以激發(fā)學生的學習興趣，也有助于學生對數(shù)學概念、方法和原理的理解與認識的深化。而以高考題為線索去了解數(shù)學史，使得枯燥的文字介紹多了一層理論基礎，同時也使得單調(diào)的數(shù)學試題，籠罩了一層歷史的神秘美感。