☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 黃成世

一、基本事實(shí)、公理化思想與公理的含義

1.基本事實(shí)的含義

辭海對(duì)“基本”的解釋是：根本，根本的；對(duì)“事實(shí)”的解釋是：事情的真實(shí)情況.由此推之，基本事實(shí)是指基本的事實(shí)，或者說是指根本的事實(shí).顯然，基本事實(shí)具有可感知性、真實(shí)性、基礎(chǔ)性等特點(diǎn).基本事實(shí)的可感知性是指借助于人的眼、耳、手等感覺器官可以感知這個(gè)基本事實(shí)；基本事實(shí)的真實(shí)性表示可以驗(yàn)證或證明；基本事實(shí)的基礎(chǔ)性是指能反映數(shù)學(xué)某個(gè)子系統(tǒng)最基本的規(guī)律或特點(diǎn).數(shù)學(xué)基本事實(shí)是數(shù)學(xué)研究中獲得的相對(duì)獨(dú)立的程式化的思考模式［1］.把數(shù)學(xué)基本事實(shí)直接看成“思考模式”未必會(huì)被學(xué)界普遍接受.研究者認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本事實(shí)是指能反映數(shù)學(xué)某個(gè)子系統(tǒng)最基本的規(guī)律或特點(diǎn)的事實(shí)，數(shù)學(xué)基本事實(shí)需得到數(shù)學(xué)界的普遍認(rèn)可.

2.公理化思想方法的含義

公理化思想方法（又稱公理化方法）最早出現(xiàn)在歐幾里得的《幾何原本》.歐幾里得選取了幾個(gè)不加定義的原始概念（或稱基本概念）和一組不需證明的幾何命題作為公理（或公設(shè)），使它們成為全部歐幾里得幾何的出發(fā)點(diǎn)和邏輯推理的前提，然后應(yīng)用亞里士多德提出的三段論推理，推演出一系列幾何定理，從而把關(guān)于幾何的知識(shí)整理為一個(gè)（比較）嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀螌W(xué)理論體系，這就形成了《幾何原本》.公理系統(tǒng)中的基本概念和公理（或公設(shè)），必須反映該學(xué)科中基本對(duì)象最簡(jiǎn)單、最本質(zhì)的內(nèi)部關(guān)系，它并非是人們憑自己的主觀意志或愿望而隨意創(chuàng)造的.在歷史上，公理化思想方法的發(fā)展經(jīng)過了4個(gè)時(shí)期：一是歐幾里得的直觀性公理化時(shí)期；二是非歐幾何的思辨性公理化時(shí)期；三是希爾伯特的形式主義公理化時(shí)期；四是法國(guó)的布爾巴基的結(jié)構(gòu)主義公理化時(shí)期［2］.中學(xué)幾何包括平面幾何和立體幾何，屬于直觀性公理化時(shí)期的歐幾里得幾何.中學(xué)幾何知識(shí)可以借助于人的眼、耳、手等感覺器官去感知并輔助學(xué)習(xí)，可以動(dòng)手做幾何模型，但非歐幾何更多的是靠思辨、想象、推理等方式去學(xué)習(xí)或理解.

3.公理的含義

很顯然，公理（或公設(shè)）是《幾何原本》最具有原創(chuàng)性的核心概念，也是公理化思想方法精髓的基本概念.辭海對(duì)“公理”的解釋是：“在一個(gè)系統(tǒng)中已為反復(fù)的實(shí)踐所證實(shí)而被認(rèn)為不需要證明的真理.”這里所說的真理是相對(duì)真理而非絕對(duì)真理.這個(gè)解釋適合于歐幾里得幾何，但對(duì)非歐幾何中的一些公理未必適合，例如，非歐幾何中的平行公理就沒法被“反復(fù)的實(shí)踐所證實(shí)”.公理一般需要數(shù)學(xué)中的一些基本概念來表達(dá)，而數(shù)學(xué)基本概念是理性思維的產(chǎn)物，因此，公理也是理性思維的產(chǎn)物.從嚴(yán)格意義上講，公理一般不能證明，它是不證自明的，它可以作為數(shù)學(xué)證明中的論據(jù).但考慮到中學(xué)生的認(rèn)知水平，為了降低教學(xué)的難度，節(jié)省教學(xué)時(shí)間，在中學(xué)教材里把一些重要的但其證明的難度較大的定理也作為公理，即中學(xué)幾何的公理體系是擴(kuò)大了的公理體系，也就是說，中學(xué)幾何的公理體系中的一些公理實(shí)質(zhì)上是定理，這些定理是可以證明的，但其證明的難度較大或較為麻煩.在中學(xué)，把一些難以證明的定理當(dāng)作公理，體現(xiàn)了“教育數(shù)學(xué)”理念，從教學(xué)實(shí)踐來看是可行的、成功的.

二、基本事實(shí)是公理嗎？公理是基本事實(shí)嗎？

基本事實(shí)和公理是兩個(gè)不同概念，它們既有聯(lián)系又有區(qū)別.在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》［3］（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)2011版》）的第31、32、33、37頁(yè)提出了要求學(xué)生掌握的關(guān)于“圖形與幾何”的基本事實(shí)共9個(gè)，如“基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短”.［3］這9個(gè)基本事實(shí)在課改之前都叫作公理.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》［4］（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)2017版》）也把課改之前的公理全改為基本事實(shí).有意思的是，《課標(biāo)2017版》在第28頁(yè)的腳注中指出“基本事實(shí)1-4也稱公理”，《課標(biāo)2017版》顯然把“基本事實(shí)”和“公理”當(dāng)成了同一個(gè)概念.既然“基本事實(shí)”和“公理”是同一概念，那么就沒有必要用4個(gè)字的“基本事實(shí)”去替換僅有2個(gè)字的“公理”.

1.幾何中的“點(diǎn)”是基本事實(shí)嗎？

幾何圖形一般可以看成“點(diǎn)”的集合.“點(diǎn)”是幾何中最基本的概念，“點(diǎn)”是基本事實(shí)嗎？著名數(shù)學(xué)家龐加萊說：“許多人都認(rèn)為空間中的點(diǎn)的概念是人們熟知的，沒有必要給出什么定義.但是在我看來，像數(shù)學(xué)中的點(diǎn)那樣沒有長(zhǎng)短、大小、厚薄之分的微妙概念，并不是世人想象的那樣直觀明了，而是需要作完整說明的東西.然而，我們并不打算在這里給‘點(diǎn)’下個(gè)定義，因?yàn)槿绻讯x按順序追序上去，就會(huì)到達(dá)不能給出定義的地步，到了那時(shí)就不得不停下定義了.那么，我們應(yīng)該在什么時(shí)候停下來呢？大體是到達(dá)我們的感官能感覺到的程度，或者到達(dá)我們能夠產(chǎn)生影像的地步時(shí)就停止.到這時(shí)，定義就失去了作用.”［5］龐加萊對(duì)“點(diǎn)”這個(gè)概念，想下一個(gè)定義但最終沒有給出定義，想把它說清楚但他又感到說不清楚.他認(rèn)為，“點(diǎn)”是個(gè)微妙概念，意味著口欲言而不能；“點(diǎn)”不是世人想象的那樣直觀明了，“不直觀”意味著不能被看見或者難以被看見，進(jìn)一步講，“點(diǎn)”是不能或難以被感知的.事實(shí)上，不能給“點(diǎn)”下一個(gè)定義，這是因?yàn)椤包c(diǎn)”作為原始（基本）概念是沒有定義的.大家知道，幾何中的基本概念如“點(diǎn)”“直線”“平面”等是沒有任何物質(zhì)屬性的.由于“點(diǎn)”沒有大小，“直線”沒有粗細(xì)，“平面”沒有厚薄，因此“點(diǎn)”“直線”“平面”這些基本的幾何研究對(duì)象，用人的眼睛是看不見的，用手也是摸不到的.再有，“直線”“平面”都具有無限延伸或無限延展的特點(diǎn)，人用有限的眼光（人眼的視力總是有限的）是不可能看到無限遠(yuǎn)的，這也決定了“直線”和“平面”是永遠(yuǎn)看不到盡頭的，這是因?yàn)樗鼈儽旧砭蜎]有盡頭.“點(diǎn)”“直線”“平面”等這些基本的幾何研究對(duì)象，都不會(huì)發(fā)出任何聲音，用人的耳朵去聽是聽不出任何聲音的.因此，幾何中的“點(diǎn)”“直線”“平面”等基本概念靠眼、耳、手等感覺器官是無法感知或難以感知的.即“點(diǎn)”“直線”“平面”等幾何研究對(duì)象都不是基本事實(shí).由此從嚴(yán)密邏輯性的角度講，“兩點(diǎn)之間線段最短”不是人們能夠感知到的基本事實(shí)，而是人類在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上理性思維的結(jié)果.

可能有人會(huì)說，“點(diǎn)”“直線”“平面”我們可以畫出來.但應(yīng)注意的是，“點(diǎn)”沒有大小、“直線”沒有粗細(xì)、“平面”沒有厚薄，“直線”和“平面”還具有無限性的特點(diǎn)，它們能真實(shí)地畫出來嗎？回答是否定的.我們能夠畫出來的只是“點(diǎn)”“直線”“平面”的示意圖而非其本身.

2.基本事實(shí)是公理嗎？

基本事實(shí)未必是公理.由于公理是描述基本概念之間內(nèi)在基本關(guān)系的真命題，因此，刻畫“點(diǎn)”“直線”“平面”等幾何對(duì)象的關(guān)系的一些公理被直接認(rèn)定為真命題.

在人們的實(shí)踐和生活中，有很多基本事實(shí)都不能作為數(shù)學(xué)中的公理，比如，“熟了的梨子是甜的”，這顯然是一個(gè)基本事實(shí)，但它永遠(yuǎn)不能作為一條數(shù)學(xué)公理.非數(shù)學(xué)的其他科學(xué)中的基本事實(shí)也不能直接作為數(shù)學(xué)中的公理，如“硫酸具有腐蝕性”是化學(xué)中的基本事實(shí)，但此性質(zhì)永遠(yuǎn)都不能作為數(shù)學(xué)中的公理.這是因?yàn)閿?shù)學(xué)不會(huì)直接研究梨子、硫酸等，也不能用數(shù)學(xué)的方法去證明梨子是甜的、硫酸具有腐蝕性.

3.公理是基本事實(shí)嗎？

張楚廷教授認(rèn)為，“歐幾里得的《幾何原本》所體現(xiàn)的公理化思想，不是來自于任何自然現(xiàn)象，而是來自于古希臘圣哲們的邏輯思想，并非來自于自然和社會(huì).而邏輯思想來自人的思想本身，來自人的心靈”.“是人締造了數(shù)學(xué)”.［6］既然歐幾里得幾何不是直接來自于任何自然現(xiàn)象，也不是直接來自于人類生活，那么歐幾里得幾何中的基本概念和公理（公設(shè)）也不是直接來自于任何自然現(xiàn)象和人類生活.也就是說，歐幾里得幾何中的基本概念和公理（公設(shè)）不是自然現(xiàn)象和人類生活中的基本事實(shí).因此，歐幾里得幾何中的公理（公設(shè)）未必都是基本事實(shí).

當(dāng)然，有的基本事實(shí)可以看成公理，有的公理可以看成基本事實(shí).以《課標(biāo)2011版》的第31頁(yè)的“基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短”［3］為例，人們普遍能夠接受“兩點(diǎn)之間線段最短”這個(gè)結(jié)論，因此，把“兩點(diǎn)之間線段最短”看成基本事實(shí)或者看成公理，都不會(huì)有異議.但也有一些基本事實(shí)不能看成公理，也有一些公理不能看成基本事實(shí).以《課標(biāo)2011版》的第32頁(yè)的“基本事實(shí)：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”［2］為例，這實(shí)質(zhì)上是歐幾里得的《幾何原本》中的平行公理（又叫第五公設(shè)）.在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，很多數(shù)學(xué)家認(rèn)為這不是一條獨(dú)立的公理，總是想盡辦法試圖去證明它，但均以失敗告終.羅巴切夫斯基、鮑耶、高斯、黎曼等數(shù)學(xué)家研究了失敗的原因，對(duì)“《幾何原本》中的平行公理可以證明”開始是質(zhì)疑（懷疑），接著他們認(rèn)為《幾何原本》中的平行公理不能證明，于是就創(chuàng)造性地提出了非歐幾何中的平行公理，由此就創(chuàng)立了非歐幾何.因此，數(shù)學(xué)中的一些公理一般不能看成人們的實(shí)踐和生活中的基本事實(shí).

三、幾點(diǎn)思考

1.公理化思想方法具有較高的教育價(jià)值

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，某一個(gè)分支成熟的標(biāo)志是該分支建構(gòu)了（比較）嚴(yán)格的公理系統(tǒng).運(yùn)用公理化思想方法建立起來的系統(tǒng)的知識(shí)體系稱為公理系統(tǒng).一門科學(xué)在其發(fā)展的初期和中期，必然會(huì)積累大量經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)和不少理論知識(shí)，也就是當(dāng)人們對(duì)一門科學(xué)認(rèn)知了一定數(shù)量的概念（原理）、規(guī)律、法則（準(zhǔn)則）和算法等之后，就可以運(yùn)用公理化方法對(duì)該門科學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)的、嚴(yán)密的邏輯整理，使該門科學(xué)能夠構(gòu)成一個(gè)（比較）嚴(yán)格的公理系統(tǒng)，這時(shí)就可以說該門科學(xué)嚴(yán)密化了、成熟了.

在科學(xué)史上，牛頓是運(yùn)用公理化方法的天才，他在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中，第一次系統(tǒng)地運(yùn)用公理化方法演繹了經(jīng)典力學(xué)的理論體系，成為科學(xué)史上第一個(gè)把公理化方法運(yùn)用于物理學(xué)的典范.

對(duì)“公理”的處理，《課標(biāo)2011版》及配套教材的做法是淡化“公理”的概念，甚至在《課標(biāo)2011版》根本就看不到“公理”二字.這種做法的本意是想降低初中學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何的難度，其初心是好的，但這樣做的本質(zhì)是淡化公理化思想方法，進(jìn)一步講，淡化“公理”概念的必然結(jié)果是淡化演繹推理及數(shù)學(xué)證明的邏輯起點(diǎn).淡化“公理”的概念和淡化公理化思想方法，容易形成“輕發(fā)現(xiàn)”“輕科學(xué)”“輕理性”“輕理論”等不良局面，正如張楚廷先生的憂慮：“在我們的文化傳統(tǒng)里，重發(fā)明，輕發(fā)現(xiàn)；重技術(shù)，輕科學(xué)；重感性，輕理性；重實(shí)用，輕理論.”［7］

2.基本事實(shí)與公理是兩個(gè)容易混淆的概念

有的基本事實(shí)可以看成公理，有的公理可以看成基本事實(shí).比如，“兩點(diǎn)之間線段最短”，既可以看成數(shù)學(xué)中的基本事實(shí)，也是一條公理.

由于“基本事實(shí)”與“公理”屬于交叉概念，因此這兩個(gè)概念是容易混淆的.

3.基本事實(shí)與公理的認(rèn)知邏輯不相同

基本事實(shí)是需要驗(yàn)證或證明的.基本事實(shí)的認(rèn)知邏輯主要是人們用眼、耳、手等去感知事物的本質(zhì)屬性，其感知的結(jié)果能夠得到主流學(xué)術(shù)界的認(rèn)可.在實(shí)踐、生活、非數(shù)學(xué)的學(xué)科中，有很多基本事實(shí)不能作為數(shù)學(xué)中的公理.數(shù)學(xué)中的很多基本事實(shí)也不能作為公理.

公理一般是無需驗(yàn)證的.一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓眢w系中的公理一般是不能證明的.公理是描述概念或概念之間關(guān)系的真命題.公理是建立在數(shù)學(xué)基本概念之上的.公理（或公理體系）的認(rèn)知邏輯是，通過對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)、關(guān)系、規(guī)律和信息等的抽象概括而得到數(shù)學(xué)基本概念，接著通過對(duì)基本概念之間的內(nèi)在關(guān)系的探索與發(fā)現(xiàn)得到公理，最后運(yùn)用邏輯規(guī)則優(yōu)選出一些基本概念和一些公理就構(gòu)成公理體系.由此可以歸結(jié)出建構(gòu)公理體系的一般模式，即“客觀事物→基本事實(shí)→基本概念→公理→公理體系”.從而可以看到，基本概念是連接客觀事物和公理的橋梁，公理是連接數(shù)學(xué)基本概念和公理體系的橋梁，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)在于幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)并建立這兩座橋梁.這個(gè)一般模式，體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的理念與方法.如果把建構(gòu)公理體系的一般模式再往前延伸，就能得到完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知模式，即“客觀事物→基本事實(shí)→基本概念→公理→公理體系→定理（公式）→應(yīng)用（用數(shù)學(xué)）”.

4.建議把中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的基本事實(shí)全部改為公理

把數(shù)學(xué)教材中的“基本事實(shí)”改為“公理”有幾大好處：一是“公理”能準(zhǔn)確地體現(xiàn)公理化思想方法，而“基本事實(shí)”不一定能體現(xiàn)公理化思想方法；二是學(xué)生通過對(duì)“公理”的學(xué)習(xí)，可以了解公理化思想方法；三是學(xué)生通過對(duì)“公理”的學(xué)習(xí)，可以認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)理性思維的意義和價(jià)值；四是在中學(xué)滲透公理化思想，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有益；五是中學(xué)數(shù)學(xué)教師都對(duì)“公理”很熟悉，在教學(xué)時(shí)不會(huì)產(chǎn)生知識(shí)理解上的偏差；六是“公理”比“基本事實(shí)”既簡(jiǎn)單、又“節(jié)約”、還準(zhǔn)確，“公理”比“基本事實(shí)”少寫、少讀兩個(gè)字，其表達(dá)和書寫都更簡(jiǎn)潔.研究者認(rèn)為，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和中學(xué)教材都刻意回避“公理”的概念，是不夠嚴(yán)謹(jǐn)、不夠穩(wěn)妥的，并且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的理性思維是不利的.基于此，我們建議把數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)教材中的基本事實(shí)全部改為公理.