張 昆

（淮北師范大學數學科學學院，安徽 淮北 235000）

我們可以將數學教學經驗界定為，數學教師通過親身數學教學活動，經歷或體驗關于某個知識點的教學預設、預設的實施，并依據學生發(fā)生關于這個知識點認識時萌生的心理活動需要，在實施過程中進行相關的調整，所留存于教師心智中的教學觀念、教學技能、教學能力等要素稱為數學教學經驗。簡單地說，數學教學經驗就是通過教學活動過程在大腦中留下的經歷或體驗，因此，數學教學經驗就具有一種從無到有、從少到多的不斷積累的過程。

一、數學教學經驗的具體維度與數學教師的積累途徑

在數學教學實踐中，經常會出現(xiàn)這樣的問題，為什么那些知名的數學教育家會指導普通教師如何上好課，而自己卻不能將一個具體的數學知識點講得風生水起、生機勃勃呢？為什么普通一線數學教師有時可以將一個具體數學知識點講得活潑有致、合適得體呢？這是因為，數學教育家沒有講授某個具體數學知識點的數學教學經驗；相反，普通一線數學教師卻具有處理好某些具體的數學知識點的教學經驗。弗賴登塔爾說：“大多數教育家將他們的哲學系統(tǒng)地闡述為對于具體教師的各種要求。他們習慣于告訴其他人應該如何教。其中的有些教育家可能也演示一下，應該怎么做，但卻是淺嘗輒止。這就形成了數學教學活動中的教條主義?！盵1]這是對于數學教育家與普通數學教師之間的現(xiàn)實差別的準確概括，也說明了數學教學經驗在數學教師教學專業(yè)成長中的重要作用。

筆者從長期的數學教學活動中認識到，關于數學教學經驗可以具體體現(xiàn)于如下幾個關鍵性維度：其一，關于教材分析的經驗，教材分析最為重要，因為教學目標、教學起點、教學流程等的設計，教學媒體的選擇，無不源于教學分析；其二，教學重難點的把握與在教學中的處理；其三，感覺到學生在某個具體知識環(huán)節(jié)認識時會出現(xiàn)某些具體的疑難；其四，知道使用什么問題與什么樣的方式提問具有不同個性信息的學生；其五，選擇合適恰當的例子來體現(xiàn)具體的教學內容；其六，選擇哪些例題與習題鞏固具體的教學內容；其七，選擇將某個知識點在教學中的某些關鍵性環(huán)節(jié)寫到黑板上；其八，針對某種數學命題的特點評價學生時能夠估計到某個學生可以考出多少分，整個班級集體考試的平均分；等等。

數學教學經驗是教師對于數學教學的體驗與經驗以后，留存于心智之中的某些要素，這些要素通過經驗的自組織活動，構成了數學教學經驗系統(tǒng)。[2]由于有的體驗可以進行描述從而能夠傳達于他人；有的體驗屬于個體默會性的而不能傳達于他人。因此決定了數學教師積累數學教學經驗就需要從以下幾個方面入手：其一，關于可傳達性的經驗，需要數學教師閱讀優(yōu)秀教師的作品，從字里行間直接地吸收數學教學經驗；其二，對于默會的知識，數學教師應該對于任何一個所要施教的知識點，都要認真地思考；其三，盡可能地去現(xiàn)場觀摩相關優(yōu)秀教師的數學課，參加數學教研活動；其四，應該對自己與他人的教學行為進行反思，從中逐漸地領悟與體驗，形成自己個性化的數學教學經驗。

一般地說，通過上述分析，得到了主要的八個維度的數學教學經驗，又可以將八個維度的數學教學經驗概括為三個重要方面，即程序性數學教學經驗、策略性數學教學經驗與遷移性數學教學經驗，這三種不同類型的數學教學經驗在數學教師的專業(yè)成長中起著非常重要的作用。

二、積累程序性數學教學經驗的途徑

數學教師在教學準備或課堂教學活動中，常常需要按照某種程序組織材料，這些程序性的知識往往主要是從數學教學經驗中獲致的。例如在進行一個數學知識點的預設時，一般程序是：其一，教材分析，找出這個具體知識點在整個這類知識結構鏈條中所處的環(huán)節(jié)節(jié)點，這個知識點自身所蘊含的特點等；其二，學情分析，針對教材分析所得到的結論，揣摩學生發(fā)生具有這種知識特點認識時的心理活動環(huán)節(jié)；其三，基于教材分析與學情分析的結論，預設關于這個知識點的教學目標；其四，基于前三項分析，選擇教學手段，設計教學流程。這是關于每一個數學知識點教學都需要且不可逾越的程序性工作。

又如，在教學預設進入課堂教學流程時，又可以依據一種一般性程序：其一，復習舊知，主要依據最近發(fā)展區(qū)策略，這種策略的使用重在講究舊知與新知之間的關系，舊知構成了學生在這節(jié)課中學習新知的這個“最近發(fā)展區(qū)”的“根據地”（詳見下文課例的說明）；其二，引入新知，最好的手段是提出一個“初始問題”，由這個“初始問題”與舊知的“根據地”相結合，從而產生新知；其三，鞏固新知，使用例題與習題指導學生應用新知，促使新知在學生的認識結構中得以鞏固；其四，課堂小結，幫助學生梳理新知與舊知的關系，從而將新知納入學生的認知結構；其五，布置課外作業(yè)。這個過程的要素是次第發(fā)生的，構成一個完整的教學活動流程。

再如，如果我們將數學知識分為三類：其一，概念性知識；其二，原理性知識；其三，數學問題解決性知識。那么，關于原理性知識的教學活動又可以分為三個關鍵性的環(huán)節(jié)：其一，原理性知識的命題的發(fā)現(xiàn)環(huán)節(jié)，在這個環(huán)節(jié)中又可以分為幾個要素，首先是提出一個合適的“初始問題”，其次是引入新的數學觀念探究“初始問題”，形成一個猜想性的命題；其二，關于這個猜想性命題的證明環(huán)節(jié)，從而得到這個原理性知識；其三，應用這個原理性知識解決問題的環(huán)節(jié)。必須經由這三個環(huán)節(jié)過程，才能最大限度地發(fā)揮數學原理性知識的教學價值。

上述所分析、傳達的只是筆者經由長期教學經驗所積累的程序性知識的幾個例子，在教師默會性的教學經驗中，還存在著許多關于數學教學的程序性知識。那么，如何積累這些程序的數學教學經驗呢？關于積累這些數學教學的程序性知識，當然它需要經由數學教師的學習加以掌握，但更重要的是依靠數學教學經驗的積累而得到。因此，這是一線數學教師為了發(fā)展自己的教學技藝，不斷地從實踐中摸索、設想與對猜想的檢驗并著重加以反思，從而形成并不斷地優(yōu)化這些程序性的教學經驗，進而通過教學準備與教學活動的流程，最大限度地實現(xiàn)數學知識所內蘊的教學價值，實現(xiàn)數學知識的教學目標，如此，利用教師積累起來的程序性教學經驗為數學課程資源促進學生的發(fā)展創(chuàng)造了條件。

三、積累策略性數學教學經驗的途徑

我們可以將教學設計策略界定為在教學目標確定以后，根據已定的教學任務和學生學習這個任務時的心理特征與心理傾向性等發(fā)生認識作用的特點，有針對性地選擇與組合相關的教學內容、教學組織形式、教學方法和技術，形成具有效率意義的特定教學方案與執(zhí)行此方案的行動方針與行為方式。數學教學策略的選擇行為不是教師主觀隨意的，而是指向一定目標的。業(yè)已作出的選擇行為在具體的情境中會遇到意外的偶然事件，為了達到特定的目標，教師個體需要對選擇行為進行反省，繼而作出再選擇，直到達到設定好的教學目標為止。

數學教學策略的具體形式很多，它也可以分為使用語言文字傳達的教學策略與不能使用語言文字表達的默會性教學策略。關于可以使用文字語言傳達的主要具體策略有：創(chuàng)設問題情境策略、先行組織者策略、最近發(fā)展區(qū)策略與懸置問題結論策略，等等。不論對于可以表達的數學教學策略，還是默會的數學教學策略，數學教師形成這兩種（特別是默會的）教學策略的心理過程，主要是通過數學教學策略性經驗積累實現(xiàn)的。需要教師認真地進行教材分析，發(fā)現(xiàn)具體數學知識點所蘊含的具體特點，從而確定學生發(fā)生具有如此特點的數學知識點認識的心理活動過程，選擇具體教學策略來駕馭具有這種特點的知識點與學生發(fā)生認識的心理活動特點，從而形成有效的課堂教學活動。

對于可以傳達的教學策略，積累策略性教學經驗的過程大致要經歷：其一，策略的萌生，針對具體知識點的特點與學生發(fā)生這種具體特點的數學知識點的心理活動特點，在教學預設中極具針對性地萌生相關的教學策略；其二，策略的優(yōu)化，將這種萌生的具體教學策略在具體的課堂教學活動中加以檢驗、修正與優(yōu)化，并且盡可能地內化到教師的意識結構中去；其三，策略的定型，將優(yōu)化好了的教學策略加以語言表述，從而進入教師的智囊，為這種教學策略的遷移奠定基礎。對于難以表達的教學策略，也需要一個這樣的積累過程，才能自覺遷移到教師自己將來的教學活動中去。

為了探討積累策略性數學教學經驗的實踐過程，這里筆者使用“兩角差的余弦公式”，即cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ這個知識點，在教學準備工作中，運用“最近發(fā)展區(qū)”這種可以表述的數學教學策略為例，說明數學教師通過教學準備活動及其體驗過程，積累策略性數學教學經驗的途徑。首先實錄筆者關于這個知識點的課堂教學活動關鍵環(huán)節(jié)（其中的省略號表示學生思維在這個地方產生中斷）：

師（選擇“最近發(fā)展區(qū)”策略，進行相關前在數學知識的復習）cosβ②；cosβ④。大家從這四個誘導公式中，可以提出某些一般性問題嗎？

設計意圖：這個公式⑤就是前述的四個誘導公式的“最近發(fā)展區(qū)”，而前述四個誘導公式就是公式⑤的“根據地”?！白罱l(fā)展區(qū)”策略的實現(xiàn)，重在使用數學知識的結構性。這是筆者通過啟發(fā)學生自己的審視信息，從中提出“結構性初始問題”的手段，這比筆者自己直接地向學生提出“初始問題”的教學途徑要好得多，因為，學生特別關注自己所提出的問題在課堂學習過程中的實現(xiàn)過程，將會全神貫注地跟蹤解決這個問題的過程。

師：那么，關于cos(α-β)⑤，可能存在一個怎樣的表達式呢？

生：……

師：大家仔細考察前述的誘導公式①②③④與所要求的表達式⑤具有怎樣的關系？

生2：可以說明表達式⑤的結構中一定含有s inβ與cos β這樣的兩個元素。

師：我也是這樣想的。那么，除了含有s inβ與cos β外，表達式⑤的結構中還可能含有其他元素嗎？

生3：應該還含有s inα與cos α這樣的兩個元素。

師：為什么？

生 4：因為，在⑤式中，由于 cos(α -β)=cos [ -(β-α)=cos(β-α)]從而，知α與β具有對等性，于是，只要取，就一定可以得到生3所獲得的相似結果，只不過將這些結果中的α換成了β。

師：好！由此分析發(fā)現(xiàn)，在表達式⑤的結構中，一定包含有s inα,cos α，s inβ與cos β這些形式的元素。我們現(xiàn)在考察，它們可能構成怎樣的一種運算結構形式呢？

生5：我經過賦值法發(fā)現(xiàn)，這四者完全相加或相乘都不行，同時，它們之間不可能形成相除的結果，因此，它的運算結構應該是其中的部分元素相乘，然后，將相乘的結果再相加。

師：你說的我還不大明白，哪個同學可否更加具體地解釋一下？

生6：我首先注意研究①式，如果上面討論的結果正確的話，那么，就知道的表達式中也應該含有，s in β,cos這樣的四個元素的一種組合，而s inβ①就意味著……

師：生6果然驗證了生7的發(fā)現(xiàn)是正確的，完全相加或相乘，在其結論的組成結構要素中，要么結論是0，要么必然出現(xiàn)1作為它的一項，都不是s inβ這樣的結果?，F(xiàn)在的問題是，由①式知，需要探討的是s inβ,cos β,1與0這四個元素經過怎樣的組合形成了s inβ這樣的結論？

生8：我對①式進行探查，發(fā)現(xiàn)cos(π-β)=cos π cos β +s in π s in β⑦也是應該成立的。

師：這些都說明了什么？

生9：將⑥⑦兩個式子一般化，就可以得到cos(α -β )=cos α cos β +s in α s in β⑧。

師：式子⑧是正確的嗎？（轉入證明過程略）

這種采用“最近發(fā)展區(qū)”策略的實現(xiàn)，筆者從中體驗到了這種策略性數學教學經驗，它的要點就是充分利用數學知識的結構性（這種結構性從現(xiàn)象上往往是難以發(fā)現(xiàn)的，它要求教師對于知識結構所存有的環(huán)節(jié)進行細心的研磨與考察，才有可能認識到），尋獲體現(xiàn)這種數學結構具體環(huán)節(jié)的教學素材，啟發(fā)（至少是教學自己向）學生提出“結構性初始問題”。[3]這個“初始問題”就大致地規(guī)劃好了這節(jié)課的基調及其思維運動的軌跡。筆者經歷了萌生運用這種“最近發(fā)展區(qū)”策略的體驗，這整個的策略過程就作為經驗持存于自己的意識結構，在將來處理相關的數學知識點的教學時，就會自覺或不自覺地考慮使用這一策略，這就是策略性數學教學經驗的積累。

四、積累遷移性數學教學經驗的途徑

學習中的遷移是一個心理學的概念，它指的是一種材料的學習活動對另一種材料的學習活動的影響，或從一種學科內容習得時所獲致的經驗對完成其他學科內容活動經驗的影響。筆者于1983年中師畢業(yè)后主要從事小學語文教學對于教學經驗的遷移及其作用具有切身體驗。在學習語文教學活動中，第一要務就是學習透過小學生的語文現(xiàn)實理解語文的教學素材，在教學時，要求換成兒童的語言才能很好地實現(xiàn)語文教學的有效性，這練就了筆者與十歲左右的兒童進行“心理換位”的能力，形成了教學經驗。[4]在進入初中數學教學時，這種能力與經驗很好地遷移了過來，為理解初中學生學習數學的心理活動奠定了非常好的基礎。

進入初中進行數學教學活動時，筆者花了大量的時間進行相關的閱讀。首先，窺破了“發(fā)現(xiàn)法”教學的環(huán)節(jié)及其形成的途徑；其次，掌握了“結構教學法”的結構；再次，習得了一系列的教學（如本文所提到的這些比較重要的）策略。這些都作為經驗進入了筆者的智囊。進入高中數學教學時，雖然筆者在做學生的時候對這些高中數學知識點還幾乎沒有學習過，但是卻信心滿滿地相信自己一定能夠勝任高中數學教學工作。這就是因為自己所積累起來的那些教學經驗是可以遷移的，從而認識到，只要研究好高中數學知識點，教學活動是不存在問題的，使從初中數學教師向高中數學教師的過渡水到渠成。

兩年小學語文教學活動經驗起到了特別重要的作用，使筆者認識到將教師的語言兒童化，從而適應年幼學生的認知方式與話語水平組織教學活動非常重要。這種歷練，生成了有價值的教學觀念，為中學數學教學積累了有益的經驗，并打下了扎實的教學基本功。教學有效性的首要標志，是教師將要傳授的知識轉化為學生易于理解的語言在課堂上與學生進行討論，只有如此，才能有效地刺激學生的思維活動，才能將思維動機聚焦于那個知識所形成的問題，才能激發(fā)學生的數學學習興趣、產生數學學習動機，基于此，實現(xiàn)一系列的數學教學目標。[5]

遷移性教學經驗更多地是默會的、難于傳達的，因此，這種遷移性教學經驗，更需要我們（不只是數學）教師自己在進行教學準備或將準備的內容在課堂教學中實施時，去揣摩、去體會，從現(xiàn)場中去吸收，融入自己的教學經驗系統(tǒng)，通過數學教師自己的反思活動，這種經驗系統(tǒng)地為遷移到新的教學環(huán)境中去創(chuàng)造好了條件。

五、結語

數學教師教學專業(yè)成長需要汲取各個方面的營養(yǎng)，這些營養(yǎng)的來源不外乎兩個重要途徑：其一，理論學習，從而接受時代優(yōu)勢的教學理念；其二，創(chuàng)新實踐，將理論學習所獲致的教學理念運用于自己的教學實踐，從中形成教學經驗。數學教學經驗包括數學教育教學活動的方方面面，可以說是一切經歷與體驗的總和，其中有些是可以表述的，有些是默會的，可表達的能夠通過閱讀或聽講加以吸收，默會的一定要通過身教，即多聽具有豐富數學教學經驗的老師的課加以體會吸收。這是提高數學教師教學水平繞不過去的途徑，是數學教師專業(yè)成長中非常重要的一個環(huán)節(jié)?！?/p>