黃思婷，朱 哲

（浙江師范大學教師教育學院，浙江 金華 321004）

“數與代數”是義務教育階段數學四大課程內容之一，是研究現實世界事物的數量關系及其變化規(guī)律的數學模型，可幫助人們從數量關系的角度更準確地認識、描述和把握現實世界。[1]TIMSS2015評價框架，八年級評價的內容領域中“數與代數”共占60%，其中“數字”占30%，“代數”占30%，可見“數與代數”的重要性。中國和日本都屬于數學教育優(yōu)質的亞洲國家，故中國和日本的數學課程標準具有可比性。通過對中國現行、日本即將實行的課標中“數與代數”內容的比較，努力從中獲得些許啟示，為數學課程改革提供思考。

一、研究內容與方法

對中日數學課標中“數與代數”領域的內容標準進行比較分析，其中日本為《初中數學學習要領》（下文簡稱《要領》），于2017年3月頒布，2021年4月起施行。中國為《義務教育數學課程標準（2011年版）》（下文簡稱《標準》），由中華人民共和國教育部于2011年12月頒布，2012年秋季開始實施。

對兩國數學課標“數與代數”內容進行比較分析，主要回答幾個問題：課標中“數與代數”內容廣度如何？內容有何特征？內容的學習要求深度如何？學習要求有何特征？

TIMSS2015數學框架由內容維度和認知維度組成，課程內容與認知要求共同構成了課程標準中的內容標準，基于數學框架等理論分析，將從主題維度、認知維度兩方面進行剖析，且采用量化比較和質性分析相結合的方法。

二、研究結果

用量化比較和質性分析相結合的方法對主題、認知兩維度進行分析，得到如下研究結果。

（一）主題維度

初中學段，《課標》將“數與代數”領域分成三個維度：數與式，方程與不等式，函數；《要領》的相關內容分為“數與式”“函數”兩個知識模塊，涉及四個維度，即數與運算、代數式、方程、函數。綜合兩者的維度，將“數與代數”領域分成五個主題維度：數與運算、代數式、方程、不等式、函數。

1.主題維度的量化比較

統(tǒng)計五個主題維度下的內容條目，其中內容條目以最小的任務要求為基本單位，并用內容條目數刻畫內容廣度，具體如表1。

從表1可得，《課標》的內容條目總數要多于《要領》的內容條目數，在“數與代數”領域中《課標》的廣度要大于《要領》?！胺匠獭本S度中兩者的內容條目數相同，即廣度相同；其余四個維度，《課標》的內容條目數均大于《要領》，即廣度大于《要領》?！兑I》中“代數式”“方程”的占比要高于《課標》，其余三個維度均低于《課標》，其中《要領》中“代數式”和“函數”的占比相同，且占比最高；《課標》中“函數”占比最高，其次為“數與運算”“代數式”；“不等式”內容的占比均為最低。

表1 “數與代數”主題維度的內容條目數及其百分比表

2.主題維度的質性分析

《課標》和《要領》的五個主題維度內容相似，但存在差異，從主題覆蓋程度、主題邏輯結構兩方面對每個維度進行分析。

（1）數與運算

在主題覆蓋程度上，均出現“有理數、四則運算及應用”“平方根及運算”“無理數”的內容?！兑I》學習有理數、無理數、四則運算和簡單應用，沒有明確將數的范圍擴充到實數；用a×10n的形式表達處理誤差與近似值，該表示可明確數字的準確性、估計錯誤的范圍，具有針對性和精確性。《課標》借助負數將數系擴充到有理數，再由根式運算認識無理數，完成到實數的擴充，并將實數與數軸上的點一一對應；借助數軸理解相反數和絕對值，滲透數形結合思想；用有理數估計無理數的大致范圍，借助舊知理解新知，學生提升估算能力且培養(yǎng)數感。

在主題邏輯結構上，《要領》：正數與負數；四則運算；應用→平方根；運算；靈活運用→有理數、無理數。《課標》：有理數；運算；應用；絕對值、相反數→平方根、立方根；運算→無理數；實數→近似數。兩者的邏輯結構基本一致——擴充數系，通過運算及應用等，培養(yǎng)數感與運算能力，并關注數感培養(yǎng)的階段性與發(fā)展性?！墩n標》初中完成實數的數系擴充，相比較完善邏輯結構的進程比《要領》快。

（2）代數式

在主題覆蓋程度上，均出現“代數式、運算及應用”“單項式、多項式及四則運算”“因式分解”的內容。日本在小學已掌握用字母表示數，具有符號意識，初中重點是用字母表示數量關系和定理等，提升運算與數學表達的能力；《要領》講解代數式的除法，不涉及除式間的運算；因式分解是乘法公式展開的逆運算，重視十字交叉的掌握及應用。《課標》認識字母表示數具有一般意義，建立符號意識；類比數的運算，認識到代數式的形式變換，本質是恒等變換，并非單純的字母游戲，對提高運算能力，培養(yǎng)數感與符號意識、類比思想均具有重要意義。

在主題邏輯結構上，《要領》：單字母代數式的四則運算；代數式的建立→單項式、多項式各自的四則運算；代數式的應用→單項式與多項式的乘法、除法運算→乘法公式；因式分解?！墩n標》：用字母表示數；代數式表示及求值→整式的加法、減法、乘法→乘法公式；因式分解→分式；分式的四則運算?！兑I》中代數式四則運算的分類依據代數式的類型，考慮到知識的階梯性與學生的階段性，重視知識的螺旋式上升?！墩n標》先學習整式加法、減法、乘法的內容，包括乘法公式與因式分解，最后引進整式的除法與分式運算。相比較，《課標》注重邏輯結構的完整性，《要領》更重視學生的階段性、知識的邏輯性。

（3）方程

在主題覆蓋程度上，均出現“（解）一元一次方程及應用”“（解）二元一次方程”“（解）一元二次方程”的內容?！兑I》重視方程的應用；《課標》結合實際問題檢驗方程根的合理性。方程是刻畫數量間等量關系的數學模型，由具體問題的數量關系列出方程，培養(yǎng)學生數學建模的核心素養(yǎng)。

在主題邏輯結構上，兩者均遵循一元一次方程→二元一次方程組→一元二次方程的邏輯，兩者的邏輯結構基本一致。

（4）不等式

《要領》沒有解不等式的相關內容，但介紹數量間有等式或不等式兩種關系?！墩n標》結合具體問題，解一元一次不等式（組）并用數軸表示解集，強調不等式與方程之間的聯系，從等量關系到不等關系，學生掌握遷移、轉換與類比的數學思想方法。

（5）函數

在主題覆蓋程度上，均出現“函數”“一次函數表達式、圖像、變化情況與應用”“二次函數表達式、圖像、性質、變化情況與應用”的內容?！兑I》在學習比例關系基礎上借助函數的觀點理解量的變化關系，重視具體問題的變域（定義域和值域）；從二元一次方程的觀點觀察一次函數，得到二元一次方程的解是平面直角坐標系中兩條直線的交點，這些交點組成的圖形為該一次函數圖像；一次函數y=ax+b，a為斜率決定直線的傾斜角度與增減；只學習特別的二次函數y=ax2，不涉及一般的二次函數?！墩n標》講解一次函數y=kx+b（k≠0），k 的正負和圖像增減的關系，未明確決定直線的傾斜程度；學習反比例函數的圖像及變化情況；用描點法畫二次函數的圖像；二次函數一般式與標準形的轉換，得到頂點坐標、開口方向與對稱軸等；利用二次函數圖像得一元二次方程的近似解，體現數形結合的數學思想方法，同時借助函數深化對方程的理解。

在主題邏輯結構上，《要領》在學習比例式與反比例式的基礎上，引入一次函數和二次函數，《課標》指導下“函數”的學習順序基本有兩種，具體如表2。相比較，《課標》中“函數”邏輯結構的完整性比《要領》高，《要領》學習函數的順序更符合學生的認知規(guī)律。

表2 函數學習的順序表

（二）認知維度

在分析“數與代數”主題維度的基礎上，對內容的學習要求進行分析，得到認知維度的相關結論。

1.認知維度的量化比較

美國心理學家布盧姆提出教育目標分類學理論，將教育目標分為認知領域、情感領域和動作技能領域三個主要部分。TIMSS2015評價框架中的“認知領域”分為了解、應用和推理三類。參考并結合認知維度相關框架，得到表3，將“數與代數”領域的認知維度分為四個遞進的要求層次：A，B，C，D，分別賦值1，2，3，4，對總要求進行求和，再得到算數平均值，以該值作為認知深度。[2]

表3 學習要求賦值表

通過對“數與代數”內容的學習要求進行分類、統(tǒng)計、求和、算平均，得到課標的認知深度，具體如表4。從表可得，兩者在“數與代數”領域的認知深度基本一致，但《課標》的學習要求數遠多于《要領》，這與上述《課標》內容廣度比《要領》大保持同步，同時體現《課標》中“數與代數”內容廣而不深的特點。

在學習要求層次分布上，《課標》層次B的占比（48.91%）比《要領》低（77.05%），其他三個層次的占比均比《要領》高，其中層次A（26.09%）、層次C（15.22%）的占比遠高于《要領》（9.84%，4.92%），層次D兩者的占比基本相同?！墩n標》和《要領》的層次B占比均最高，《課標》層次D的占比最低，《要領》層次C的占比最低，則高水平層次的要求占比低于低水平層次的要求，強調掌握并應用具體內容解決簡單實際問題，但并不多，主要還是以基礎知識的了解、理解等為主。

2.認知維度的質性分析

在量化比較的基礎上，從內容要求的語言表述、學習內容的處理、與信息技術結合三方面對學習要求進行質性分析。

在內容要求的語言表述上：《標準》對每個知識內容都提出準確且具體的要求，并用豐富的動詞進行描述，如“能用/解/比較”“會用/求”等，并在內容要求的基礎上配套相關的實例加以理解。《要領》的行為動詞也非常豐富，且具有一定的層次性，但對各個知識點的要求的具體性與準確性不足，比較寬泛，如“在具體場景中使用”“考慮并表達”等；沒有配套相關的實例，但每一年級的模塊內容后均給出“數學活用”和“內容處理”。其中“數學活用”內容基本相同，強調通過數學活動培養(yǎng)學生發(fā)現、分析和解決問題并進行表述的能力，旨在掌握知識與技能的基礎上培養(yǎng)學生數學思考力、判斷力和表現力；“內容處理”聯系四個模塊的內容，也考慮到自小學至高中階段相關內容的銜接，具有很強的指導意義。[3]

在學習內容的處理上：《課標》重視與現實生活的聯系，如“借助現實情境”“分析具體問題”“根據特定問題”等，結合生活情境或具體實例，培養(yǎng)運用數學解決實際問題的能力，提升學習數學的興趣等；現實中的問題一般有多種解決方案，同一問題啟發(fā)學生從不同角度入手，比較不同的方法，加深對所建模型的理解，并嘗試尋找最優(yōu)化的數學模型，培養(yǎng)數學建模的核心素養(yǎng)?！兑I》重視對所掌握的知識進行數學表達的能力，強調與具體場景結合相關知識方法的表述，如“表達與具體場景相關的線性加減法的方法”“表達基于方程性質求解線性方程的方法”等，注重培養(yǎng)學生的思考力、判斷力與表現力。

在與信息技術結合上：《課標》多個知識點借助信息技術簡化運算、理解知識等，如“會用計算器求平方根和立方根”“能用計算器進行近似計算”“能根據特定問題查閱資料”等?！兑I》在內容方面并沒有體現與信息技術的結合，但在“指導計劃的寫作與內容處理”中考慮可適當地使用計算器等信息技術手段提高學習效率。

表4 “數與代數”各層次學習要求數目統(tǒng)計表

三、結論與思考

1.比較的結論

（1）在主題維度上，《課標》的內容廣度要大于《要領》。兩國課標的基本內容類似，但存在差別：《課標》更重視知識邏輯結構的完整性，且相關內容的學習進程一般比《要領》快；《要領》知識編排考慮學生的階段性與發(fā)展性，重視學生的認知規(guī)律。

（2）在認知維度上，兩者課程深度基本一致，但《課標》的學習要求遠多于《要領》，這體現《課標》內容廣而不深的特點。兩者均重視基礎知識與基本技能，低水平要求高于高水平要求；《課標》重視學生在現實情境中理解、應用知識；《要領》重視學生的數學表達能力，在具體場景中表述所學知識；《課標》在信息技術結合方面的體現度比《要領》高。

2.對數學課程改革的思考

（1）發(fā)揚“雙基”優(yōu)勢，提升學生表現力與應用意識?！兑I》的特點之一是“資質與能力的培養(yǎng)”，其中包括“知識與技能”“思考力、表現力與判斷力”“學習志向、能力與人性”三個支柱?！爸R與技能”即掌握基礎知識與基本技能，并做到自主地掌握?！八伎剂?、表現力與判斷力”指從這三個視點出發(fā)，謀求知識技能與實際生活的聯系，并將知識技能與三力相互關聯、融合和深化?！皩W習志向、能力與人性”包括不斷創(chuàng)新知識技能的學習意欲和態(tài)度，尊重他者和不同社會的價值觀并與之共處，重視自然和環(huán)境并與之共生，培養(yǎng)自主學習能力、獨立思考能力等。結合我國的國情，發(fā)揚注重“雙基”的優(yōu)勢，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，借鑒國外“發(fā)展思考力、表現力和判斷力”“注重培養(yǎng)學生的應用意識”等理念與經驗[4]，鼓勵學生在具體情境中將習得的知識與技能進行表達與應用，實現中國特色的數學課程體系的進一步完善。

（2）課程的內容的選取和編排要考慮學生的階段性，加強知識間的銜接性。充分考慮學生的階段性和知識間的銜接性，在學生最近發(fā)展區(qū)內設置內容，提升學生學習數學的自信。基于此教師引導學生主動、自動地學習數學，培養(yǎng)其學習動機，并在取得一定學業(yè)成就的同時予以及時的鼓勵。《要領》分年級給出內容標準，考慮知識的層次性與學生的階段性，且幼兒園到高中的要領基本是同時修訂且實行的，知識間的銜接性較強。《課標》偏重知識邏輯結構間的完整性，課程內容有“廣而不深”的特點，可在學生學力能及的情況下，適當拓寬當下知識點的深度，并運用螺旋式的編排方式，基于新知加深對舊知的理解，實現知識“既廣又深”。同時充分結合數學知識的內在邏輯、學生螺旋的心理邏輯等，編寫恰當的數學教材。

（3）加強“數與代數”教學與信息技術的有機整合。《課標》中多個內容條目借助信息技術，“數與代數”領域的知識與信息技術的結合是必然的。[5]這種必然性需在數學教學中加以體現，一方面信息技術的使用可簡化繁瑣的計算，同時讓學生有時間去關注問題的本質而不僅停留在計算層面；另一方面，信息技術的使用能顯示概念的本質屬性與特征，能使得一些知識形象化，如函數和圖像的結合，學生可直觀感知函數的變化情況等，更易理解和掌握知識，從而提高教學的效果。在信息技術的支持下，學生能通過查找文獻了解知識的背景；與教師進行觀察、探究、推理與交流等數學活動，能積累數學活動經驗，培養(yǎng)探究精神，有利于創(chuàng)造性地解決問題?！?/p>