李文森,管聲啟,鄭 璐,梁 洪

(1.西安工程大學(xué) 機電工程學(xué)院,陜西 西安 710048;2.西安交通大學(xué) 機械工程學(xué)院,陜西 西安 710049)

0 引 言

隨著制造業(yè)迅速發(fā)展,零件的幾何形狀越來越復(fù)雜。但是大部分的數(shù)控系統(tǒng)難以有效處理此類參數(shù)形式的加工軌跡,一般通過CAM軟件生成連續(xù)小線段(G01命令)逼近加工軌跡[1]。由于在相鄰線段構(gòu)成的拐點處切向不連續(xù),機床在執(zhí)行這些指令時需要將速度降低到零。這種頻繁的加減速會增加加工時間和引發(fā)機床的振動,同時也降低了工件表面加工質(zhì)量[2-3]。因此,為了提高工件質(zhì)量及加工速度,必須對加工軌跡有效規(guī)劃。

為了改善線性加工軌跡的光滑性,許多學(xué)者提出了軌跡光順技術(shù),包括全局光順技術(shù)和局部光順技術(shù)[4-5]。全局光順技術(shù)通過高階參數(shù)曲線擬合或插值連續(xù)小線段來改善原有加工路徑,如B樣條曲線或NURBS[6-7]。然而,由于軌跡長度計算繁瑣[8],進給波動無法抑制[9-10],使實時插補成為困難。局部光順技術(shù)用微小曲線替換相鄰直線的拐角部分,實現(xiàn)運動的連續(xù)性。隨著高階參數(shù)擬合技術(shù)的發(fā)展和此類方法計算的便捷性,局部光順技術(shù)越來越受到學(xué)者的關(guān)注。司慧曉[11]用圓弧過渡拐角,但是圓弧只能實現(xiàn)C1連續(xù)。YUTKOWIZ[12]和ZHANG[13]提出用高階多項式混合過渡拐角,但是迭代方法確定多項式系數(shù)非常耗時。PATELOUP[14]采用8個控制頂點的3次B樣條來光順拐角,無法解析計算曲率極值。SHI[15]和FAROUKI[16]介紹了PH(Pythagorean Hodograph)曲線局部光順拐角的方法,控制點的確定需迭代優(yōu)化。FAN[17]和SENCER[18]分別用4次和5次Bézier曲線過渡光順拐角,曲率極值可解析確定。

盡管眾多研究方法能夠?qū)崿F(xiàn)對拐角處的光順, 實現(xiàn)連續(xù)的加工曲線。 但是, 存在以下問題尚未解決: 拐角處連接曲線的弧長需牛頓-辛普森迭代獲得;

精細插補產(chǎn)生的位移增加量需返回迭代。 這些問題會占用 CNC 系統(tǒng)的計算內(nèi)存, 使實時性變差。本文提出一種基于羊角曲線的過渡曲線光順方法, 能夠?qū)崿F(xiàn)加工軌跡的G2連續(xù)、 輪廓誤差可控和光順速度非零的效果。 同時光順曲線的長度可解析獲得, 精細插補的位置增量基于多項式計算, 效率更高。

1 幾何光順

羊角曲線的曲率值隨螺旋線長度線性增加,且具有G2連續(xù)性質(zhì)，見圖1。由于其優(yōu)良特性,被廣泛應(yīng)用于公路設(shè)計和機器人運動軌跡設(shè)計中。

圖 1 羊角曲線Fig.1 Clothoid curve

文獻[19] 對圖1 所示任意羊角曲線P(φ)={X(φ),Y(φ),Z(φ)} 的幾何特征進行了解釋, 其結(jié)論為

(1)

圖 2 羊角曲線光順實例Fig.2 Example of clothoid smoothing

1.1 G2連續(xù)性

1.2 輪廓誤差

輪廓誤差是光順曲線與原線性軌跡之間垂直于曲線切線的間距。顯然光順曲線相接處為輪廓誤差極值,也是光順曲線最大曲率所在位置，見圖3。如圖3所示,輪廓誤差ε可以表示為

(2)

由式(2)可知,輪廓誤差可以通過光順直線長度lt控制,因此在預(yù)定的最大輪廓誤差εp約束下的光順直線長度lt為

(3)

1.3 光順直線長度

圖 3 羊角曲線輪廓誤差Fig.3 Approximation error of clothoidcurve

圖 4 連續(xù)線段羊角光順Fig.4 Clothoid smoothing of continuous segment

(4)

此時,光順曲線的長度為

(5)

(6)

2 速度規(guī)劃及插補

為了將光順算法嵌入到CNC系統(tǒng)中,除了幾何光順算法之外,還需通過速度規(guī)劃和實時插補才能實現(xiàn)。速度規(guī)劃包含雙向看單元和速度規(guī)劃單元。雙向看單元即為雙向查看光順的混合加工軌跡,在運動學(xué)和動力學(xué)條件約束下得到速度敏感點的速度極值;速度規(guī)劃單元根據(jù)速度極值實行加減速規(guī)劃,從而得到連續(xù)穩(wěn)定的加減速。實時插補根據(jù)生成的速度曲線計算位置增量并作為位置參考指令發(fā)送給各運動軸。

2.1 速度規(guī)劃

首先對光順后的加工軌跡進行雙向查看,以獲得曲率極值點(速度敏感點)的允許速度。曲率極值為光順曲線對的連接點,利用曲率計算公式可計算出曲率極值。結(jié)合法向/切向加速度(AN/Amax)、法向/切向躍度(JN/Jmax)和弓差等確定速度敏感點速度。雙向看策略分為2個部分。

(vJE-vs)3+4vs(vJE-vs)2+

(7)

式中:vJE和vs分別代表每個單元切向躍度約束下的末速度及初速度,Jmax為切向躍度。根據(jù)公式(7)求出vJE,考慮到切向加速度、弓差極值δmax、曲率及法向運動的約束,逆向看末速度還應(yīng)該滿足：

(8)

式中:Ts為采樣時間間隔。此時的末速度即為下一個單元序列的初速度,循環(huán)公式(7)和(8),完成逆向看速度掃描。

(9)

雙向看策略之后, 速度敏感點的速度都已求得, 從而獲得整段刀具路徑的速度約束。為實現(xiàn)精細插補計算, 有必要將速度約束與位移結(jié)合起來, 利用文獻[21]中的S加速法得到連續(xù)光滑的速度-時間曲線。

2.2 插補算法

插補算法是利用速度規(guī)劃出的速度極值來確定某一采樣時間Ts的位移量及插補點坐標。由于混合加工軌跡中包含線性段和曲線段插補,因此根據(jù)插補點的位置在線性段或者曲線段來分別計算?；旌霞庸ぼ壽E如圖5所示,當(dāng)插補點I(kTs)位于線性段,插補算法如下:

(10)

S(θi+1)UN]

(11)

(12)

S(ΔLk)UN]

(13)

最終獲得的位置指令被輸送給運動控制器,進行反饋控制。

3 結(jié)果與分析

為驗證羊角光順算法的可行性,本文對UGNX生成的連續(xù)小線段蝴蝶圖形進行光順,并設(shè)置參數(shù):最大進給速率F為20 mm/s,最大切向/法向加速度Amax為200 mm/s2,最大切向/法向躍度Jmax為3 000 mm/s3,輪廓誤差εp為50 μm,最大弓差為5 μm,采樣時間Ts為1 ms。該仿真算法在MATLAB環(huán)境中實現(xiàn)。

首先,如圖5(a),將光順算法應(yīng)用在蝴蝶圖形線性加工軌跡的拐角處。圖5(b)為放大黑色小方框后的圖像,不難看出詳細光順軌跡。

(a) 蝴蝶線性軌跡

(b) 拐角光順仿真圖 5 混合加工軌跡仿真

圖6(a)為混合加工軌跡的輪廓誤差分布,其輪廓誤差都滿足預(yù)先設(shè)定的約束大小。圖6(b)為速度曲線,藍色實線為未光順線性加工軌跡速度曲線,紅色虛線為混合加工軌跡速度曲線。不難看出混合加工軌跡的速度除了初、末速度為0之外,其余速度均不為0,實現(xiàn)了加工速度非零的效果。與未光順線性加工軌跡相比較,仿真加工總時間從59.469 s降低到18.631 s,提高了效率。

圖7(a)為混合加工軌跡的加速度,虛線為預(yù)定最大加速度值,可以看出加速度滿足預(yù)先設(shè)定的約束值。圖7(b)為混合加工軌跡躍度,虛線為預(yù)定最大躍度值,結(jié)果表明躍度滿足預(yù)先設(shè)定的約束值。分別放大兩圖中部分圖像,黑色小方框中的圖像表明了光順曲線處加速度和躍度的連續(xù)性。

(a) 輪廓誤差分布

(b) 混合加工軌跡速度曲線

(a) 加速度曲線

(b) 躍度曲線

在運動控制環(huán)節(jié),計算機會將混合軌跡插補后所生成的位置指令傳送到運動控制器中以便于反饋控制。圖8(a)為插補仿真結(jié)果,將紅色小方框中圖像放大可以看到藍色粗實線為線性軌跡,紅色細實線為羊角光順軌跡,黑色叉點為插補點的分布。圖8(b)中,紅色細實線為x位置指令,藍色粗實線為y位置指令。實驗結(jié)果表明,本文提出的光順算法能夠有效實現(xiàn)連續(xù)微小線性加工軌跡的G2連續(xù)光順,實現(xiàn)了加工速度連續(xù)且非零的效果,從而可提高加工效率。

(a) 插補點分布

(b) 位置指令

4 結(jié) 語

利用羊角曲線過渡線性加工軌跡連接處所產(chǎn)生的拐角,該方法采用雙向看策略確定速度規(guī)劃,再利用插補算法求出混合加工軌跡的插補點。通過MATLAB對算法仿真分析,結(jié)果表明該方法能夠?qū)崿F(xiàn)加工軌跡的G2連續(xù)、輪廓誤差可控和光順速度非零的效果。