張愛群

[摘? 要] 圓部分問題除了題干給出的條件外，圖形中還包含了較多的隱含條件，這就要求學(xué)生在審題的過程中兩者兼顧. 文章列舉了解決圓問題的兩種解題策略，并結(jié)合實例做了審題分析，為學(xué)生審題能力的培養(yǎng)提供參考依據(jù).

[關(guān)鍵詞] 圓;審題能力;策略探究

平面幾何是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，它對學(xué)生的抽象思維有一定的要求，很多學(xué)生在平面幾何面前存在較為強烈的畏懼情緒. 在平面幾何部分的內(nèi)容中，圓作為該部分的教學(xué)重點和難點，出題角度較為靈活，涵蓋的知識面較為廣泛，是教師教學(xué)關(guān)注的熱點問題，很多學(xué)生在該類問題屢屢出錯，其主要原因就是審題不清. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)試能力，教師往往會采用題海戰(zhàn)術(shù)，有的還會總結(jié)綜藝類問題的解題方法和技巧，但在“圓”部分的解題中，有些學(xué)生還是大量出錯，這就是沒有注重學(xué)生在“圓”部分審題能力的培養(yǎng). 審題是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時的第一步，想要準(zhǔn)確解答數(shù)學(xué)問題，審清題意是關(guān)鍵.

去粗取精策略

很多“圓”部分的數(shù)學(xué)問題并不是精練準(zhǔn)確的，它們給出的信息含量較大. 此外，除了題目中給出的已知條件外，受圓自身特點的影響，其圖形自身也含有大量的蘊含信息，這就需要學(xué)生從復(fù)雜的題干中提取有用的解題信息. 如果學(xué)生在審題過程中不能夠準(zhǔn)確把握這些信息，厘清這些信息，就會陷入解題困境，導(dǎo)致解題出錯. 因此，在審題過程中，去粗取精，尋找關(guān)鍵信息是培養(yǎng)學(xué)生審題能力的基礎(chǔ).

例1? 如圖1，圓O的半徑為5，AB，CD分別是圓O的兩條弦，其中AB=8，CD=6，MN是圓O的直徑，AB⊥MN交MN于點E，CD⊥MN交MN于點F，P為EF上的任意一點，那么PA+PC的最小值是多少？

審題分析：題目中“P為EF上的任意一點，那么PA+PC的最小值是多少”成為一個動點問題，無形之中給題目增加了難度. 學(xué)生在審題的過程中會發(fā)現(xiàn)，題干中幾乎所有的信息都是圍繞AB和CD來展開的，但是依然需要學(xué)生去抓住解題的關(guān)鍵信息“MN是圓O的直徑，AB⊥MN，CD⊥MN”，這時就可以根據(jù)圓自身的對稱性的特點得出PC=PD，那么原題就可以轉(zhuǎn)變?yōu)榍驪A+PD最小值的問題了，這樣就可以順利求解.

例2? 如圖2，圓O的直徑AB=6，E，F(xiàn)將AB分成三等份，M，N是弧AB上的兩點，且∠MEB=∠NFB=60°，那么EM+FN是多少？

審題分析：題干中僅通過“E，F(xiàn)將AB分成三等份，∠MEB=∠NFB=60°”去求EM+FN的值難度較大. 通過“E，F(xiàn)將AB分成三等份”這一條件就可以得出OE=OF， 又由∠MEB=∠NFB=60°就可以推出EM∥FN，這是解決這一問題的首要關(guān)鍵點. 然后，根據(jù)圓的對稱性延長ME到點P，那么PE=FN，于是就將求EM+FN的問題轉(zhuǎn)化為求PM的問題，題目就顯得非常簡單了. 如果學(xué)生在解題過程中，只是關(guān)注題目的表面信息，做不到去粗取精，那么整個題目的解題過程就會非常煩瑣，甚至出現(xiàn)錯誤. 由此可見，審清題意在解題過程中非常關(guān)鍵.

例3? 如圖3，在圓O中，P是弦AB上一點，連接OP，并作PC⊥OP，點C落在圓O上，如果AP=8，PB=2，那么PC多長？

審題分析：該問題的題干信息相對較為簡潔，如果因此粗心大意，不能夠做到去粗取精也是難以找到問題的突破口. 題目要求PC的長度，但是題干給出的信息只有PC⊥OP，AP=8，PB=2，這就顯得有些困難. 如果學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解PC⊥OP這一關(guān)鍵信息，就可以非常容易地完成求解. 延長CP交圓O于點M，根據(jù)垂徑定理就可以得知MP=PC. 又因為MC和AB是兩條相交弦，根據(jù)相交弦定理就可以輕易地求出PC的長度. 在這一類題目中，圓的垂徑定理是解題的重要突破口，但是題目中很少能夠直接提示學(xué)生，這就需要學(xué)生能夠去粗取精提取題目中的關(guān)鍵信息，審清題目.

審題過程中，學(xué)生如果能夠做到去粗取精抓住關(guān)鍵信息，這不僅能夠幫助學(xué)生完成審題，還能夠拓展學(xué)生的解題思維，能夠發(fā)現(xiàn)解題的新角度. 通過對關(guān)鍵信息的分析，能夠有效地降低題目的難度，給學(xué)生提供更加便捷的解題思路.

等價變換策略

能夠?qū)?shù)學(xué)問題中的不同語言進行靈活轉(zhuǎn)化是學(xué)生審題的基本技能，在審題過程中，不僅要求學(xué)生能夠?qū)㈩}干中的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，還要能夠?qū)︻}目中的條件進行等價轉(zhuǎn)換. 尤其是在圓部分的問題審題中，要能夠透過圖形，翻譯里面的集合信息，結(jié)合題干中的已知信息進行等價交換，這樣才能夠準(zhǔn)確地把握考查點，順利完成審題.

例4? 如圖4，在圓O上的四點A，B，C，D，弧AB等于弧BD，BM⊥AC交AC于點M. 求證：AM=DC+CM.

審題分析：通過題目的分析我們可以看出如果要證明AM=DC+CM，題干中的已知條件就顯得比較少，很難找到問題解決的突破口. 結(jié)合圖形我們可以發(fā)現(xiàn)，要求的DC和CM不在一條直線上，要求不在一條直線上的兩條線段相加難度較大，我們可以借助圓的特征將它加以轉(zhuǎn)化. 題目中弧AB等于弧BD，根據(jù)圓等弧對等弦和同弧對圓周角相等的性質(zhì)，就可以得出∠BCA=∠BAD，BA=BD，這樣通過等量關(guān)系轉(zhuǎn)化就可以完成證明求解.

例5? 如圖5，在圓O中，A，B，C，D，E均是圓O上的點，并且AC為圓O的直徑， 求∠A+∠B+∠C的度數(shù).

審題分析：拿著這個問題，很多學(xué)生會感覺無從下手，因為題干中并沒有出現(xiàn)角的度數(shù)，而問題的最終卻要求∠A+∠B+∠C的度數(shù)，這就需要學(xué)生能夠在題干中通過等價變換來尋找隱含的條件. 在圓部分的問題中，角在圓的求解和轉(zhuǎn)化中運用較為廣泛，題目中要求∠A+∠B+∠C的度數(shù)，通過弧與角的對應(yīng)關(guān)系，就可以將要求的角的問題轉(zhuǎn)化為弧的問題，∠A+∠B+∠C對應(yīng)的角就是圓弧AC對應(yīng)的圓周角，于是就可以求出∠A+∠B+∠C的度數(shù).

例6? 如圖6，在圓O中有內(nèi)接四邊形ABCD，其中四邊形的對角線BD平分AC于點E. 求證：= .

審題分析：題目中要求證明=，我們在幾何證明題里很少看見證明兩個數(shù)量關(guān)系相除的問題，我們可以先將它們進行轉(zhuǎn)化，變成等積的形式AB·AD=BC·CD. 題目中已知BD將四邊形ABCD分為了兩個內(nèi)接三角形，我們就可以向圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)靠攏. 分別作AF⊥BD交BD于F，CG⊥ BD交BD于點G，那么就將求證=的問題轉(zhuǎn)化為求證AF·d=CG·d的問題，于是解決該問題的關(guān)鍵就是要證明AF=CG. 結(jié)合題目中的已知條件，利用全等三角形的性質(zhì)就可以求出AF=CG. 在該題中，通過對相關(guān)信息的兩次等價變換將證明線段相除的問題轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題，降低了題目的難度，為學(xué)生問題解答提供了便利.

圓作為一種特殊的圖形，其內(nèi)包含多種性質(zhì)，在審題的時候不僅要閱讀題干信息，還要了解圓圖形中包含的信息，并且這些信息之間需要靈活的轉(zhuǎn)換，這就要求學(xué)生對問題中的信息進行等價轉(zhuǎn)換. 在關(guān)于圓的證明里邊，角應(yīng)用得最為廣泛，圓中角的靈活性非常強，例如，圓心角和圓周角之間，已知其中一個角就可以求出另一個角;根據(jù)同弧或等弧對應(yīng)的圓周角相等的性質(zhì)，可以在圓上移動對應(yīng)的頂點，探究問題的解決方法.

小結(jié)

審題是做題的前提和基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的關(guān)鍵，一個學(xué)生如果審題能力較強，那么就能夠順利讀懂題意，就能夠制定出正確的解題計劃;如果學(xué)生審題能力較差，解決數(shù)學(xué)問題更是天方夜譚. 因此，在圓部分的教學(xué)中，除了教授學(xué)生必要的知識和技能以外，還要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，進而提高他們的解題能力.