管甜甜

摘 要：分類討論是初中數(shù)學(xué)的重要思想方法，在等腰三角形、函數(shù)、方程等內(nèi)容當(dāng)中都有所應(yīng)用，用這種方法的關(guān)鍵是分類的依據(jù)要清晰，另一個(gè)關(guān)鍵是要對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證的標(biāo)準(zhǔn)是得出的這個(gè)結(jié)論能不能滿足已知條件。

關(guān)鍵詞：等腰三角形；分類討論；教學(xué)實(shí)踐

等腰三角形是一種特殊的三角形，它的性質(zhì)比較多，恰當(dāng)?shù)胤诸惪梢蕴岣邔W(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力。以下筆者總結(jié)了等腰三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的幾種需要分類討論的情況，希望給予學(xué)生一定的幫助。

一、關(guān)于等腰三角形邊的分類

當(dāng)題目當(dāng)中給出了三角形的邊長(zhǎng)，但是沒(méi)有明確地說(shuō)哪個(gè)邊是腰、哪個(gè)邊是底時(shí)，這個(gè)時(shí)候就需要進(jìn)行分類了，可以分為兩種情況進(jìn)行討論：第一種情況是設(shè)這個(gè)邊為腰；第二種情況是設(shè)這個(gè)邊為底。這只是理論上的假設(shè)，而實(shí)際上這樣求出來(lái)的兩組邊長(zhǎng)能否組成一個(gè)三角形，還要進(jìn)行驗(yàn)證，而進(jìn)行驗(yàn)證的標(biāo)準(zhǔn)就是三角形的性質(zhì)：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

例如，已知等腰三角形的周長(zhǎng)為15，其中一個(gè)邊長(zhǎng)為6，那么它的底邊長(zhǎng)多少？在解答這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，題目當(dāng)中的關(guān)鍵信息是邊長(zhǎng)為6的邊不確定是腰還是底，這時(shí)分類討論的兩種情況分別是：第一種情況是設(shè)長(zhǎng)為6的邊為腰，則另兩條邊為6，3；第二種情況是設(shè)長(zhǎng)為6的邊為底，則另兩條邊是4.5，4.5。這時(shí)，要驗(yàn)證這樣兩組邊長(zhǎng)能不能組成一個(gè)三角形，也就是滿不滿足三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。經(jīng)驗(yàn)證滿足三角形的三邊關(guān)系定理，所以等腰三角形的底邊為6或4.5。

例如，當(dāng)已知等腰三角形的兩個(gè)邊的邊長(zhǎng)：一邊長(zhǎng)是6，另一邊長(zhǎng)是17，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)時(shí)。很多學(xué)生會(huì)想到應(yīng)該分類討論：第一種情況是設(shè)腰為6，底為17時(shí)，則三角形的三個(gè)邊分別是6，6，17，這時(shí)要根據(jù)三角形的性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證，因?yàn)?+6小于17，不符合三角形的性質(zhì)，這樣的三個(gè)邊組不成三角形，所以這種假設(shè)是不成立的。第二種情況是設(shè)腰為17，底為6，則三角形的三個(gè)邊分別是17，17，6，根據(jù)三角形的性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證，經(jīng)驗(yàn)證符合三角形的性質(zhì)，所以這個(gè)三角形是成立的，則其周長(zhǎng)為17+17+6=40。

二、關(guān)于等腰三角形角的分類

我們都知道在等腰三角形中，因?yàn)閮蓚€(gè)底角相等，所以只要已知一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，就能算出其他兩個(gè)角的度數(shù)。當(dāng)已知頂角或底角時(shí)，這個(gè)三角形形狀是確定的；當(dāng)已知的內(nèi)角為直角或鈍角是，可以確定這個(gè)角就是頂角，因?yàn)槿绻苯腔蜮g角是一個(gè)底角的話，那么三個(gè)角的和就會(huì)大于180°；當(dāng)已知內(nèi)角為銳角時(shí)，這個(gè)三角形的形狀其實(shí)是不確定的，這時(shí)就要進(jìn)行分類討論。可以分兩種情況，第一種情況是設(shè)這個(gè)角為底角，第二種情況是設(shè)這個(gè)角為頂角，當(dāng)分別求出另外兩個(gè)角的度數(shù)后，還需要檢驗(yàn)這兩種情況滿不滿足三角形的基本條件，檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)就是三角形內(nèi)角和為180°，至少有兩個(gè)角是相等的。

例如，已知等腰三角形的一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，求這個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角大小時(shí)。設(shè)一個(gè)角是x，另一個(gè)角就是2x，這時(shí)就要分情況進(jìn)行討論了。第一種情況是x為頂角，則另兩個(gè)角都是2x，根據(jù)三角之和為180°，得x+2x+2x=180°，解得x=36°，則這個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是36°，72°，72°。第二種情況是當(dāng)x為底角時(shí)，則另兩個(gè)角是x，2x，得x+2x+x=180°，解得x=45°，則這個(gè)等腰三角形三個(gè)內(nèi)角分別是45°，45°，90°。所以這個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角大小是36°，72°，72°或90°，45°，45°。

三、關(guān)于等腰三角形形狀的分類

在等腰三角形中，有銳角等腰三角形、直角等腰三角形，也有鈍角等腰三角形，銳角三角形的腰上的高在三角形內(nèi)部，而鈍角三角形的腰上的高在三角形的外部，直角等腰三角形腰上高就是另一條腰，所以當(dāng)三角形的形狀不確定時(shí)，必須分三種情況進(jìn)行討論。第一種情況是設(shè)三角形是銳角三角形，第二種情況是設(shè)三角形是鈍角三角形，第三種情況是設(shè)三角形是直角三角形。當(dāng)然這些都是假設(shè)的情況，當(dāng)確定三角形的各要素后，還要進(jìn)行驗(yàn)證，除了滿足三角形的性質(zhì)定理以外，還要滿足已知條件。

例如，已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是40°，求這個(gè)等腰三角形的頂角。因?yàn)檠系母呖赡苁侨切蝺?nèi)部，也可能是在三角形的外部，還可能是在三角形的邊上，已知條件中說(shuō)腰上的高與另一腰的夾角是40°，所以就要對(duì)三角形的形狀進(jìn)行分類，分三種情況，第一種情況是設(shè)△ABC為銳角等腰三角形，其中AB=AC，過(guò)B作BD⊥AC于D，則∠ABD為40°，在直角△ABD中，則∠A為90°-40°=50°。第二種情況是設(shè)△ABC為鈍角等腰三角形，AB=AC，過(guò)BD垂直于射線CA于D，則∠ABD=40°，所以∠BAC=130°。第三種情況是設(shè)△ABC是直角三角形，AB=AC，則BA就是AC上的高，所以∠ABD是0°，與題目不符。所以這個(gè)三角形的頂角是50°或130°。

等腰三角形既符合一般三角形的性質(zhì)和定理，而且還具有自身的特殊性質(zhì)，在解答問(wèn)題時(shí)，一定要考慮不同的情況進(jìn)行分析和討論，當(dāng)?shù)贸鼋Y(jié)論之后還要進(jìn)行驗(yàn)證，因?yàn)榉智闆r進(jìn)行討論的時(shí)候，理論上得出的結(jié)論不一定能組成一個(gè)三角形，所以還要進(jìn)行驗(yàn)證。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐仁杰.等腰三角形中的分類討論（初二）[J].數(shù)理天地（初中版），2017（9）：12-13.

[2]錢榮妹.從等腰三角形壓軸問(wèn)題管窺分類討論思想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（10）：95-97.