金山

【摘?要】?數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)，是建立數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中舉足輕重，不僅擔(dān)負(fù)著學(xué)生知識結(jié)構(gòu)和思維能力發(fā)展的責(zé)任，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的一種重要途徑.文中以必修4弧度制的概念教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探討概念教學(xué)中如何凸顯概念的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】?教學(xué)設(shè)計(jì);概念教學(xué);弧度制;核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)，是判斷推理的基礎(chǔ)，是定理、法則、性質(zhì)的基本單位，是建立數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，正確理解、掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提.所以數(shù)學(xué)概念的教學(xué)具有十分重要的作用，不僅擔(dān)負(fù)著學(xué)生知識結(jié)構(gòu)和思維能力發(fā)展的責(zé)任，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的一種重要途徑.下面以最近筆者在一次市級公開課中，執(zhí)教的“弧度制”教學(xué)為例，談?wù)剬Ω拍罱虒W(xué)的認(rèn)識和感悟.

1?教材、學(xué)情分析

1.1?教材分析

本節(jié)所使用教材是蘇教版《必修4》第1章第1.1.2節(jié)“弧度制”.第1.1節(jié)分兩部分，前一部分是“任意角”，其中角的度量仍采用初中學(xué)過角度制.本節(jié)弧度制的基本思想是圓半徑與圓周長在同一度量單位下，用對應(yīng)的弧長與圓半徑之比來度量角.與角度制度相比，弧度制度量角在數(shù)學(xué)中顯示出很大的優(yōu)越性：一是10進(jìn)制取代了60進(jìn)制，便于數(shù)與數(shù)（角與角）之間比較，提高解決問題的效率，并且新的度量體系與角度制可以進(jìn)行對應(yīng)換算，保證與原有數(shù)學(xué)系統(tǒng)相容;二是三角函數(shù)中的自變量是角，因?yàn)楹瘮?shù)是數(shù)集到數(shù)集的對應(yīng)，自變量取實(shí)數(shù)才合理，若繼續(xù)采用角度制表示角，就會與函數(shù)的定義沖突;三是微積分中使用弧度制后，眾多公式可以簡化，從而推動了微積分的發(fā)展和普及.所以本節(jié)課的學(xué)習(xí)對本章以及今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)十分重要.

1.2?學(xué)情分析

授課班級是四星級高中普通理科班，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，具有探究熱情.從知識層面，學(xué)生已學(xué)過角度制度量角，掌握射線旋轉(zhuǎn)形成任意角等;從能力層面，學(xué)生具備一定的觀察事物能力，積累了一些不同度量系統(tǒng)之間換算的活動經(jīng)驗(yàn)，在一定程度上具備了抽象、概況的能力和語言轉(zhuǎn)換能力，這些都為本節(jié)課順利開展奠定了基礎(chǔ).

1.3?教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo) ?（1）理解弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度之間的換算，熟記特殊角的弧度數(shù);

（2）了解角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立其一一對應(yīng)的關(guān)系;

（3）掌握弧度制下的弧長公式，會利用弧度制解決某些簡單的實(shí)際問題.

教學(xué)重點(diǎn)?弧度制與角度制換算和弧長公式.

教學(xué)難點(diǎn)?理解弧度制意義及角與實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.

2?教學(xué)過程

2.1?情境引入 學(xué)會數(shù)學(xué)眼光觀察

PPT展示，扳手?jǐn)Q緊螺帽的場景對大家都不陌生，你能從中看出扳手轉(zhuǎn)動與螺帽轉(zhuǎn)動之間有什么特點(diǎn)和聯(lián)系？

設(shè)計(jì)意圖?弧度制是一種新的描述角的方法，在弧度制教學(xué)中，有些老師采用數(shù)學(xué)規(guī)定說，沒有強(qiáng)調(diào)它本身的數(shù)學(xué)含義和數(shù)學(xué)價(jià)值，強(qiáng)行讓學(xué)生接受，導(dǎo)致學(xué)生對概念缺乏數(shù)學(xué)理解.另外，讓弧度制以這種"冷酷"的面孔登場亮相，學(xué)生心里不情愿，學(xué)習(xí)缺少動力，自然效果低下.本節(jié)首先展示學(xué)生熟悉的生活場景，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察、思考，不僅可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也為理解弧度制做好鋪墊.

師：如圖2，扳手的另一端從點(diǎn)A轉(zhuǎn)動到點(diǎn)B，螺帽對應(yīng)點(diǎn)A1轉(zhuǎn)動到B1位置，從中你發(fā)現(xiàn)幾何數(shù)量之間具有哪些相等和不相等的關(guān)系？

生1：點(diǎn)A轉(zhuǎn)動的弧長與點(diǎn)A1轉(zhuǎn)動的弧長不相等;兩弧所在圓的半徑也不相等，扳手轉(zhuǎn)動的弧長大些，所在的圓半徑也大些.

師：有相等的量嗎？

生1：點(diǎn)A和點(diǎn)A1轉(zhuǎn)動的角度相等.

師：很好.如果扳手變長，螺帽轉(zhuǎn)動相同的角度，扳手轉(zhuǎn)動的弧長怎么變化？

生眾：弧長更大.

設(shè)計(jì)意圖?螺帽轉(zhuǎn)動相同角度，扳手越長越省力，即扳手的長度（半徑）改變，扳手的另一端轉(zhuǎn)動弧長也改變，這是學(xué)生較為熟悉的生活體驗(yàn)，但其中隱含的“弧長與半徑比值為定值”的數(shù)學(xué)元素，對學(xué)生來說卻是陌生的、抽象的，設(shè)計(jì)這樣的環(huán)節(jié)主要是讓學(xué)生初步感受弧度制度量角的合理性.問題1?想一想，圓心角、半徑、弧長之間有什么關(guān)系？能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示三者之間的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖?教材上對弧度制沒有過多的引入，當(dāng)然可以從長度為例，用國際單位制“米”或我國古代“尺”來度量一個(gè)物體的長度，但這樣引入，會讓學(xué)生感覺弧度制是數(shù)學(xué)家們捏造出來的，有一種強(qiáng)行灌輸?shù)母杏X，很難激起學(xué)生相應(yīng)的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動機(jī).

學(xué)生分組討論，并選出代表交流.

生2：對于相等的圓心角，半徑越大弧長越長.所以我們小組猜想，用l，α，r表示圓心角、弧長、半徑，l與r成正比，三者之間可以用l=αr表示.

師：為什么比例系數(shù)是α呢？這樣合理嗎？

生3（與生2同組）：畫圖發(fā)現(xiàn)，r相等，l與α也成正比;l相等，r與α成反比，所以想到這樣表示，并且是合理的.

生眾：這還是猜出來的呀！

師：他們的猜想合情合理，這種猜想在數(shù)學(xué)中非常重要，當(dāng)然數(shù)學(xué)中的猜想是要驗(yàn)證的.大家現(xiàn)在的疑問是，l與r之間的變化是否只與α有關(guān)？會不會還受其它的量影響？

生4：利用初中學(xué)過的弧長公式，l=nπr180，其中n是圓心角的角度數(shù).所以

lr=nπ180，這個(gè)式子說明lr只與角大小有關(guān)，當(dāng)角確定，lr為定值.

師：太棒了！通過大家的探究、猜想、驗(yàn)證，我們得到：可以用l與r來表示α，即α=lr.這就是本節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的“弧度制”（引出課題）.

教學(xué)體會?在教學(xué)實(shí)踐中，重應(yīng)用、輕講解的概念教學(xué)仍普遍存在，學(xué)生被動接受概念，缺乏概念的理解，不能體會其意義和價(jià)值.弧度制是數(shù)學(xué)中的一種規(guī)定，但在學(xué)生眼中數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)、講究邏輯的科學(xué)，為什么要這樣規(guī)定？這樣規(guī)定是否合理？教師沒有一一回答這些疑問，而是通過學(xué)生自主探究、大膽猜想、小心驗(yàn)證，親身體會這種度量角的規(guī)定的合情性、合理性，學(xué)生欣然接受新的度量角的方法.

2.2?建構(gòu)數(shù)學(xué) 學(xué)會數(shù)學(xué)語言表達(dá)

問題2?用α=lr度量角，角的單位是什么？

設(shè)計(jì)意圖?問題2設(shè)計(jì)是為了讓學(xué)生理解弧長與半徑的比值表示角，了解弧度制的優(yōu)越在于：用實(shí)數(shù)表示角.

生5：因?yàn)閘與r是長度，所以它們的比值是個(gè)實(shí)數(shù)，沒有單位.

師：大家一開始對用實(shí)數(shù)來衡量角的大小可能不太適用，但通過上面探究我們知道這種方法在數(shù)學(xué)中是可行的、合理的.用數(shù)表示角大小，可以在數(shù)后面加上rad，這不是單位，只是提醒我們這個(gè)數(shù)在此表示角，等熟練了后，在不引起歧義的情況下通常省略.

問題3?任意角都可以用l與r的比值表示嗎？

設(shè)計(jì)意圖?問題3設(shè)計(jì)的目的是建立弧度制下的角與實(shí)數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系.

生6：任意角是從旋轉(zhuǎn)角度定義的，旋轉(zhuǎn)量從弧長可以得出，符號用旋轉(zhuǎn)方向規(guī)定的，所以任意角都可以用l與r的比值表示，正角、零角、負(fù)角分別用正數(shù)、零、負(fù)數(shù)表示.

師：任意一個(gè)角都可以用唯一實(shí)數(shù)表示，那么任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以表示角嗎？唯一嗎？

生7：可以而且是唯一的.

師：很好，如圖3所示，實(shí)數(shù)和角之間是一一對應(yīng)的關(guān)系.

問題4?由問題1的探究過程你可以得到弧度制與角度制下角的關(guān)系嗎？

生8：設(shè)角的弧度數(shù)為α，角度為n°，因?yàn)閘r=nπ180，所以α=nπ180，n=180π·α.

設(shè)計(jì)意圖?第（1）問要求學(xué)生掌握換算的算理，第（2）問要求記憶特殊角的弧度數(shù).通過探究，讓學(xué)生理解角的兩個(gè)度量系統(tǒng)相容性，掌握兩種度量角之間的互換，利用熟悉的角度制感受用實(shí)數(shù)表示的角的大小.

問題6?根據(jù)角的弧度制定義，探究扇形的弧長、面積公式.

設(shè)計(jì)意圖?弧度制的優(yōu)越性不僅在于用實(shí)數(shù)表示角，還表現(xiàn)在一些公式因?yàn)榛《戎频囊胧沟眯问胶喕?問題4的設(shè)計(jì)讓學(xué)生通過親身經(jīng)歷簡化過程，更容易記住扇形中的幾個(gè)量之間的關(guān)系，體會到弧度制給研究問題帶來的方便.

學(xué)生探討、師生交流過程略.2.3?數(shù)學(xué)運(yùn)用?學(xué)會數(shù)學(xué)分析

例1?把下列各角從弧度化為度：（1）3π5;（2）3.5.

例2?把下列各角從度化為弧度：（1）252°;（2）11°15′.

設(shè)計(jì)意圖?弧度制與角度制換算是本節(jié)課的重點(diǎn)，通過例題鞏固學(xué)生對弧度制角的認(rèn)識.

例3?已知扇形的周長為8cm，圓心角為2rad，求扇形的面積.

變式?已知扇形的周長為8cm，當(dāng)圓心角為多少時(shí)，扇形面積最大.

設(shè)計(jì)意圖?概念學(xué)習(xí)后，學(xué)生自然會發(fā)問：概念有什么用？怎么用？通過例3讓學(xué)生簡單了解弧度制在實(shí)際中的應(yīng)用，加強(qiáng)知識的訓(xùn)練，形成知識網(wǎng)絡(luò).

3?教學(xué)感悟

3.1?引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，激發(fā)學(xué)習(xí)概念的興趣

概念課的引入，若采用平鋪直敘、機(jī)械灌輸?shù)姆椒?，由于對概念的?shù)學(xué)理解的缺失，導(dǎo)致學(xué)生感到概念枯燥乏味、抽象難懂.根據(jù)建構(gòu)主義理論，建立在真實(shí)事件或真實(shí)問題上的概念生成，不僅能夠激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且對學(xué)生更具有感染力.本節(jié)課從扳手?jǐn)Q緊螺帽的生活場景引入，雖然這一情境對學(xué)生來說并不陌生，但一般不會留意到其中蘊(yùn)含的圓心角、弧長、半徑之間的關(guān)系.通過引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察場景，提煉其中數(shù)學(xué)元素，在激起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和好奇心同時(shí)，巧妙聯(lián)系圓心角、弧長和半徑，為新知搭建橋梁，促使學(xué)生順理成章進(jìn)入到了弧度制概念的探究.

3.2?引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法研究世界，親身經(jīng)歷概念形成過程

第斯多慧說過，“不稱職的教師強(qiáng)迫學(xué)生接受真知，優(yōu)秀的教師則教學(xué)生主動尋求真知.”并強(qiáng)調(diào)：“教師先不要急于給學(xué)生講解觀點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)啟發(fā)學(xué)生自己去尋求答案，主動去掌握知識.”在概念的教學(xué)中，有些教師重概念應(yīng)用、輕概念形成，學(xué)生對概念缺乏數(shù)學(xué)理解，不能體會其意義和價(jià)值.弧度制概念對學(xué)生而言，難點(diǎn)在于為什么可以這樣規(guī)定？這樣規(guī)定合乎數(shù)學(xué)道理嗎？為了讓學(xué)生突破這些困惑，教學(xué)中弧長與半徑的比值為定值沒有直接呈現(xiàn)給學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、自主探究，通過學(xué)生與情境、學(xué)生與學(xué)生、教師與學(xué)生之間的多邊活動，通過學(xué)生認(rèn)真思考與反思，成為概念建構(gòu)的真正主人.概念形成的教學(xué)過程，由于學(xué)生思維的高度參與，課堂充滿了活力，學(xué)生對弧度制本質(zhì)有了更深刻的理解，培養(yǎng)了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)精神.

參考文獻(xiàn)

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