賀祝華

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，其幾何表現(xiàn)是圖像的對稱性.對具有對稱性特征的函數(shù)問題，我們可以借助函數(shù)奇偶性的工具作用來解答.

一、利用奇偶性研究函數(shù)圖像的對稱性

一般地，若函數(shù)y= （x+a）-b為奇函數(shù)，則其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，6）對稱;若函數(shù)y=f（x+a）為偶函數(shù)，則其圖像關(guān)于y軸對稱，從而函數(shù)y= f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱.

小結(jié) 先對f（x）的解析式進(jìn)行適當(dāng)變形，再找一個(gè)與f（x）相關(guān)聯(lián)的偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的圖像關(guān)于γ軸對稱，通過圖像變換求f（x）圖像的對稱軸.

二、利用奇偶性研究兩函數(shù)交點(diǎn)或函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系

奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于γ軸對稱，若奇函數(shù)或偶函數(shù)有零點(diǎn)，則所有零點(diǎn)的和為零.

小結(jié) 此類問題求解的關(guān)鍵是找到兩個(gè)函數(shù)共同的對稱中心，靈活運(yùn)用對稱性求解，或者構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的零點(diǎn)之和為零求解.

解 由函數(shù)解析式可知兩函數(shù)的圖像都關(guān)于直線x=l對稱，作出兩函數(shù)的大致圖像如右圖所示.由圖可知兩函數(shù)圖像共有6個(gè)交點(diǎn)，則兩個(gè)關(guān)于直線x=l對稱的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于2.故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于6.選B.

小結(jié) 本題需要利用函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的圖像特點(diǎn)，其中函數(shù)圖像的對稱性是非常重要的性質(zhì)，與函數(shù)奇偶性密切相關(guān).

三、利用奇偶性研究函數(shù)值的相互關(guān)系

例5已知函數(shù)f（x）=（x-1）3+l，則f（-4）+f（-3）+…+f（0）+…f（5）+f（6）=____.

小結(jié) 此類問題需要判斷出該函數(shù)是由什么樣的奇函數(shù)或偶函數(shù)通過平移變換所得，再借助圖像的對稱性解決問題.“y=f（X）的圖像關(guān)于點(diǎn)P（a，6）成中心對稱圖形”的充要條件為“y=f （x+a）一6是奇函數(shù)”.

例6 （2012年高考全國新課標(biāo)文科卷第16題）設(shè)函數(shù)f（x）=的最大值為M，最小值為m，則M+m=____.

由f（x）=1+g（x），可知f（x）的圖像可由g（x）的圖像向上平移1個(gè)單位長度得到，f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，1）對稱.若當(dāng)x=xo時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值M，則由對稱性可知，當(dāng)x=-xo時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值m.所以M+m= f（xo）+f（-xo）=2.

小結(jié) 通過將已知的奇函數(shù)的圖像平移，使得新函數(shù)圖像仍具有點(diǎn)的對稱性.

我們可以從這三類問題中發(fā)現(xiàn)，對與圖像對稱性相關(guān)的問題，要學(xué)會借助函數(shù)奇偶性的工具作用，抓住問題的本質(zhì)，制訂解題方案，從而快速解決問題.