陶明偉
摘 要:分類討論是在初中階段數(shù)學(xué)解題教學(xué)中廣泛運(yùn)用的教學(xué)策略。旨在根據(jù)不同的題型,采取恰到好處的最優(yōu)解法,提升學(xué)生的解題技巧。針對(duì)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用,本文結(jié)合實(shí)例以及理論研究成果展開(kāi)探討。
關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué) 分類討論 解題 教學(xué)策略
一、初中數(shù)學(xué)分類討論思想的原則
分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題的運(yùn)用過(guò)程中,教師和學(xué)生應(yīng)當(dāng)遵循兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)原則。
首先是同一性與相稱性原則。這一原則要求分類標(biāo)準(zhǔn)保持一致,比如三角形的分類,按邊分類,可分為:等腰三角形(有且只有有兩條邊相等)、等邊三角形(三條邊都相等);不等邊三角形(三條邊都不相等);按角分類則可分為:銳角三角形(三個(gè)內(nèi)角都是銳角);直角三角形(有一個(gè)內(nèi)角為直角)、鈍角三角形(有一個(gè)內(nèi)角為鈍角);這樣的分類符合同一性原則。倘若有人將三角形分為:等腰三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形,則違反了同一性原則。是分類思想的錯(cuò)誤運(yùn)用。相稱性原則則是要求分類后子項(xiàng)的并集應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)外延相稱。[1]
另一原則是互斥性與多層次性原則?;コ庑栽瓌t意思是,經(jīng)過(guò)分類,各個(gè)子項(xiàng)之間應(yīng)該互相獨(dú)立,不存在交集,如三角形按角劃分時(shí),“沒(méi)有一個(gè)三角形既是鈍角三角形也是銳角三角形”。多層次性原則是指,在初中數(shù)學(xué)解題中,會(huì)遇到一些分類比較復(fù)雜的條件。此時(shí),教師和學(xué)生可以使用“二分法”,把需要討論的對(duì)象進(jìn)行逐層分類,分成具有層次性的互相獨(dú)立互相矛盾的概念,從而避免邏輯性的錯(cuò)誤。[2]
二、初中數(shù)學(xué)如何應(yīng)用分類討論思想
1.分類討論思想在代數(shù)的運(yùn)用
代數(shù)問(wèn)題占了初中數(shù)學(xué)問(wèn)題的半壁江山,討論的是數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。在解決代數(shù)問(wèn)題過(guò)程中應(yīng)用分類討論思想,可以避免考慮問(wèn)題的不全面導(dǎo)致的解題錯(cuò)誤。以下例子分兩種場(chǎng)景探討分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用。
例1(含絕對(duì)值的方程問(wèn)題):|5-x|+|x+2|=8,求x;
當(dāng)方程式中出現(xiàn)絕對(duì)值時(shí),絕對(duì)值內(nèi)的結(jié)果可能有三種情況:負(fù)數(shù)、正數(shù)、零,可以按照這三種情況進(jìn)行分類討論。
在本例子中,絕對(duì)值|5-x|中的對(duì)象:5-x可能有三種情況:5-x<0;5-x>0;5-x=0;根據(jù)這三種情況展開(kāi),例子中的方程式等價(jià)于:即:x>5;x<5;x=5,那么:
當(dāng)x>5時(shí),方程式等價(jià)于:-5+x+x+2=8,解得x=5.5;
當(dāng)x<5時(shí),方程式等價(jià)于:5-x+x+2=8,等式不成立,無(wú)解;
當(dāng)x=5時(shí),方程式等價(jià)于:5-5+5+2=8,等式不成立,無(wú)解;
所以可以得出原方程的解為x=5.5
例2(函數(shù)問(wèn)題):已知函數(shù)y=kx-k+a為一次函數(shù),當(dāng)1≦x≦3時(shí),-2≦y≦4,求ka的值。
根據(jù)題干,函數(shù)等價(jià)于:y=k(x-1)+a;0≦x-1≦2;k≠0
運(yùn)用分類討論思想,k有兩種情形:
情形1: k>0,y隨著(x-1)的增大而單調(diào)遞增,即隨著x的增大而增大,因此:
當(dāng)x-1=0,即x=1時(shí),y=-2
當(dāng)x-1=2,即x=3時(shí),y=4
代入函數(shù),得出:a=-2,且2k+a=4
解得:k=3,a=-2,ka=-6;
情形2:k<0,y隨著(x-1)的增大而單調(diào)遞減,即隨著x的增大而減小,因此:
當(dāng)x-1=0,即x=1時(shí),y=4
當(dāng)x-1=2,即x=3時(shí),y=-2
代入函數(shù),得出:a=4,且2k+a=-2
解得:k=-3,a=4,ka=-12
結(jié)合兩種情形,ka=-6或ka=-12
可見(jiàn),在代數(shù)問(wèn)題中運(yùn)用分類討論的思想,可以避免解題出現(xiàn)漏解、錯(cuò)解的情況。
2.分類討論思想在幾何中的運(yùn)用
幾何問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)問(wèn)題中頻繁出現(xiàn)的題型。在幾何問(wèn)題的解決中,也時(shí)??梢赃\(yùn)用分類討論的思想。以下例子討論分類討論思想在幾何問(wèn)題解題中的運(yùn)用。
例3(等腰三角形問(wèn)題):已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為:a=3,b=4,求三角形的周長(zhǎng)。
在這個(gè)例子中,題干上并沒(méi)有說(shuō)明a和b哪一條是底邊,哪一條是腰,所以應(yīng)用分類討論思想,可以有兩種情形:
情形1:a為底邊,b為腰
則:周長(zhǎng)=a+2b=3+2*4=11
情形2:a為腰,b為底邊
則:周長(zhǎng)=2a+b=2*3+4=10
所以這個(gè)問(wèn)題的解為:周長(zhǎng)等于11或10
例4(角的問(wèn)題):在同一平面上,∠AOB=70°,∠BOC=30°,射線OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,求∠MON的大小。
運(yùn)用分類討論思想,可分兩種情形:
情形1:射線OC在∠AOB內(nèi):畫(huà)圖可得∠MON=30°
情形2:射線OC在∠AOB外:畫(huà)圖可得∠MON=30°
總結(jié):兩種情形下,均有 ∠MON=30°。在運(yùn)用分類討論方法時(shí),總結(jié)也很重要。
三、初中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用分類討論思想的意義
1.提高思維嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性
初中階段是學(xué)生成長(zhǎng)中的一個(gè)關(guān)鍵階段,在這一階段養(yǎng)成良好的縝密的思維邏輯習(xí)慣,對(duì)于以后的學(xué)習(xí)、邁入社會(huì)后的工作都有重大意義。綜合以上的例子可見(jiàn),分類討論思想,是一種邏輯嚴(yán)謹(jǐn),有條理的解題方式。隨著中小學(xué)生數(shù)學(xué)課程的難度提升,數(shù)學(xué)這一學(xué)科對(duì)于學(xué)生的思維邏輯有了越來(lái)越高的要求。學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,運(yùn)用分類討論思想,學(xué)習(xí)和解決遇到的各種類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題,可以在這一階段獲得成長(zhǎng),為將來(lái)難度更高的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。
2.培養(yǎng)良好的解題思路和習(xí)慣
很多學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不佳,關(guān)鍵還在于沒(méi)有掌握正確的學(xué)習(xí)方法論。在解題過(guò)程中,對(duì)題干不做全面的解讀,沒(méi)有層層解析題目中給出的條件和信息,以至于解題時(shí),只抓住片面的信息,思路混亂,遺漏一些需要考慮的因素,掉進(jìn)出題人的陷阱。分類討論思想這一學(xué)習(xí)方法論,是學(xué)生和教師在解題時(shí)的重要武器,有了分類的意識(shí),掌握了這一武器的正確使用方式,許多問(wèn)題便能迎刃而解,避免了不該出現(xiàn)的疏忽、遺漏和錯(cuò)誤。
結(jié)語(yǔ)
分類討論的題型,是目前初中數(shù)學(xué)考試中高頻率出現(xiàn)的熱門題型。分類討論思想是初中階段數(shù)學(xué)問(wèn)題解決時(shí)十分常用的一種數(shù)學(xué)解題思想,也是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。初中教師在教學(xué)過(guò)程中要將分類討論思想和運(yùn)用分類討論思想解題的方法滲透課堂,使學(xué)生對(duì)分類討論思想形成深刻的認(rèn)識(shí),養(yǎng)成縝密的思維習(xí)慣。在運(yùn)用分類討論思想解題時(shí),務(wù)必注意同一性、相稱性、互斥性和多層次性原則,否則會(huì)導(dǎo)致分類討論思想的誤用。此外,分類討論結(jié)束后也要注意總結(jié)。
參考文獻(xiàn)
[1]紐曼曼.初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用探討[J].教育現(xiàn)代化,2016,3(08):234-236.
[2]祁永前.初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用體會(huì)[J].考試周刊,2013(75):53-54.