陳偉

【摘要】 高中學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識(shí)時(shí)，一定要認(rèn)真大量地做題以及動(dòng)腦思考.因此，作為高中教師，一定要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣，然而導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)中相對(duì)而言較難、較抽象的一部分內(nèi)容，因此，為了更好地便于學(xué)生學(xué)習(xí)和理解，本文以“APOS理論”為指導(dǎo)在教學(xué)方法上創(chuàng)新，主要將“APOS理論”中的第一階段與第四階段進(jìn)行重點(diǎn)分析，通過這種方法能夠有效地促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教師概念教學(xué)的質(zhì)量和效率，輔助學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升.

【關(guān)鍵詞】 導(dǎo)數(shù);高中數(shù)學(xué);解題方法;運(yùn)用分析

一、“APOS理論”的四個(gè)階段

（一）活動(dòng)階段

對(duì)此階段來(lái)說主要是將概念的引入，是在學(xué)生已經(jīng)對(duì)所學(xué)的知識(shí)的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)有了初期的認(rèn)識(shí)，然后結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，同時(shí)針對(duì)性地分析內(nèi)容后建立的一種概念體系.其主要的核心是最大限度上發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生親身經(jīng)歷，主動(dòng)建構(gòu)，從而對(duì)所授概念形成較直觀的理解.在實(shí)際教學(xué)中，筆者采用了游戲?qū)氲姆绞剑汗P者指導(dǎo)學(xué)生通過幾張邊長(zhǎng)為48 cm的正方形紙，去掉四個(gè)角的小正方形來(lái)制作一個(gè)長(zhǎng)方形的紙盒，然后將截取的小正方形的邊長(zhǎng)為變量，要學(xué)生感受隨著小正方形邊長(zhǎng)的變化，紙盒所能承載的容積的變化.

（二）程序階段（以直觀形象增加學(xué)生對(duì)概念的理解）

該階段是概念的定義階段，是對(duì)第一階段“活動(dòng)”后進(jìn)行全面思考，通過一定的抽象得出概念的特有性質(zhì)，從而初步形成概念的一般定義的“過程”.在學(xué)生進(jìn)行第一階段的動(dòng)手操作之后，筆者會(huì)讓他們思考紙盒的容積會(huì)產(chǎn)生什么樣的變化，最大的容積是多少？通過這些問題的設(shè)立將導(dǎo)數(shù)的概念加深.

高中導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)具有較強(qiáng)的邏輯性，學(xué)生要具備一定的能力才能有效地掌握，有些時(shí)候數(shù)學(xué)題目具有較強(qiáng)的相似性，這就要求學(xué)生具備較強(qiáng)的洞察力，能夠細(xì)致認(rèn)真地分析題目，避免因觀察不足而導(dǎo)致的錯(cuò)誤，基于“APOS”理論，教師在實(shí)際教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生觀察能力的培養(yǎng)，使學(xué)生帶著目的性對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)和題目進(jìn)行分析，對(duì)觀察過程中存在的問題教師在分析過后要讓學(xué)生進(jìn)行自我總結(jié)，發(fā)現(xiàn)自身不足，及時(shí)優(yōu)化整改.

（三）對(duì)象階段

該階段為概念的分析階段，是對(duì)“活動(dòng)”與“過程”的升華，將抽象出的概念賦予其形式化的定義及符號(hào)，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)具體的“對(duì)象”，并由學(xué)生主動(dòng)將其納入已有概念體系的階段.

在高中范圍內(nèi)，我們所常見的導(dǎo)函數(shù)幾乎全部是由二次函數(shù)與一個(gè)在定義域內(nèi)恒為整數(shù)或負(fù)數(shù)的其他函數(shù)相乘或相除得到的，因此，討論函數(shù)的單調(diào)性即是在討論二次函數(shù)的正負(fù)性和根的分布并對(duì)根加以判斷.在這類基礎(chǔ)問題上，解題步驟如下：

1.求出函數(shù)定義域并進(jìn)行求導(dǎo)，將導(dǎo)函數(shù)化為可見的二次函數(shù)和在定義域內(nèi)非負(fù)（或非正）的函數(shù).

2.求出二次函數(shù)判別式為0的情況并做出其根軸圖以確定區(qū)間正負(fù).

3.從判別式小于0開始討論至等于零再至大于0.

4.在判別式大于0的區(qū)間里利用求根公式求出二次函數(shù)兩根x1，x2的值并通過韋達(dá)定理判斷二次函數(shù)圖像走向.

5.綜上所述，得出結(jié)論.

為了便于大家理解這個(gè)問題，下面這道例題即是這種方法的應(yīng)用.

例題 ?已知函數(shù)f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0），討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

解 ?由已知，f（x）的定義域?yàn)?R ，

f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，則Δ=36（1-a）.

① 若a≥1，則Δ≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在 R 上是遞增函數(shù);

② 因?yàn)閍≠0，∴當(dāng)a<1時(shí)，Δ>0，f′（x）=0，方程有兩個(gè)根，x1= -1+ 1-a? a ，x2= -1- 1-a? a ，當(dāng)00，故函數(shù)在（-∞，x2）或（x1，+∞）是增函數(shù);在（x2，x1）是減函數(shù);

當(dāng)a<0時(shí)，則當(dāng)x∈（-∞，x1）或（x2，+∞）時(shí)，f′（x）<0，故函數(shù)在（-∞，x1）或（x2，+∞）上是減函數(shù);在（x1，x2）是增函數(shù).

（四）過程階段，體驗(yàn)概念的形成過程（極值點(diǎn)偏移問題與構(gòu)造法）

這是一類模式相對(duì)固定卻鍛煉學(xué)生觀察能力和思維能力的題目，因其所用的方法大都為構(gòu)造法，因而，將這兩種方法歸為第四類.極值點(diǎn)偏移問題由三種具體的方法：

1.構(gòu)造二次函數(shù)法.

由極值點(diǎn)偏移的實(shí)質(zhì)筆者進(jìn)行了分析，并查閱了相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)必定有一個(gè)頂點(diǎn)與原函數(shù)駐點(diǎn)相同，且同一個(gè)y值的兩個(gè)函數(shù)值均小于原函數(shù)函數(shù)值的二次函數(shù)，因此，我們可以考慮構(gòu)造費(fèi)馬二次工具：g（x）= 1 2 f″（x0）（x-x0）2+f（x0），x0即是導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，將x0代入后，再構(gòu)造h（x）=f（x）-g（x），看單調(diào)性的情況.

2.對(duì)稱構(gòu)造法.

這種構(gòu)造方法是同學(xué)們?cè)诰毩?xí)中常用的方法，因此，在這里不多做贅述，這種方法在解決雙邊界問題的不等式證明問題上有著很顯著的優(yōu)勢(shì).

3.構(gòu)造對(duì)數(shù)均值函數(shù)法.

這類題的最優(yōu)解法也正是這種方法.具體的步驟如下：

（1）將直線與曲線方程聯(lián)立，得到兩個(gè)關(guān)于x1，x2的等式.

（2）將兩式分別相加和相減，并將所得的兩個(gè)式子進(jìn)行消元，最終將兩個(gè)變量相乘變?yōu)閮蓚€(gè)變量相加或相減的形式，從而證得不等式成立.

二、結(jié)束語(yǔ)

以上解題方法經(jīng)過了很多思考和修正，始終堅(jiān)持在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和方法，這不僅有益于高中學(xué)生的學(xué)習(xí)，更有益于增加學(xué)生看待事物的方法和角度，希望高中教師能從中獲得一些啟發(fā)，為在高中導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)解題中能夠更好地應(yīng)用.

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